高中数学 2.4 向量的数量积课件 新人教版必修4.ppt

向量的数量积 第一课时 情境创设 问题1向量与向量之间有没有 乘法 运算呢 这种运算的结果又是什么呢 问题2物理中有没有其它的向量运算呢 学生活动 问题3物理学中 物体所受力为f 在力的方向上产生的位移是s时 力对物体所做的功是多少 问题4如图 当力f和位移s存在一个夹角 时 力对物体所做的功是多少 意义建构 问题5从求功的运算中 能否抽象出某种数学运算 问题6在向量数量积的定义中 提到了 两个向量的夹角 这一概念 那么如何定义两个向量的夹角呢 向量a与b的夹角 练习1请同学们指出下列图中两个向量 或 的夹角 向量a与b的夹角的取值范围 特别地 当向量a与b的夹角为0 时 这两个向量同向 当向量a与b的夹角为180 时 这两个向量反向 当向量a与b的夹角是90 我们说a与b垂直 记作a b 问题7零向量与其他向量有没有数量积 应如何定义 规定 零向量与任意向量的数量积为0 即0 a 0 数学理论 向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 我们把数量 a b cos 叫做a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b a b cos 同时规定 零向量与任何向量的数量积为0 即0 a 0 练习2判断下列结论是否正确 1 若a 0 则对任意非零向量b 都有a b 0 2 若a 0 则对任意非零向量b 都有a b 0 3 若b 0 a b b c 则a c 4 若a b 0 则向量a与b的夹角为钝角 5 若a b均为非零向量 且a b a b 则a b 问题8向量的数量积有什么性质 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 当b a 有a a a 2 或 a 记a a a2 问题9向量的数量积有什么样的运算性质 已知向量a b c和实数 则向量的数量积满足下列运算律 1 a bb a 交换律 2 a b a b a b 对数乘运算的结合律 3 a b c a c b c 分配律 数学运用 例1已知向量a与b的夹角为 a 4 b 3 分别在下列条件下求a b 1 45 2 90 3 120 例2已知正 abc的边长为2 设bc a ac b ab c 求a b b c 练习3 1 已知 a 4 b 3 分别在下列条件下求a b 1 a b 2 a b 2 试利用向量数量积的运算律证明 a b 2 a2 2a b b2 向量的数量积 第二课时 复习回顾 1 平面向量的夹角 2 平面向量的数量积 已知两个非零向量a b 在平面上任取一点作a b 则 0 叫做向量a与b的夹角 已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 我们把数量 a b 叫做a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b a b 3 向量的数量积的性质 4 向量的数量积的运算律 已知向量a b c和实数 则向量的数量积满足下列运算律 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b 3 a b c a c b c 向量的数量积运算不满足结合律 数学运用 例3求证 1 a b 2 a2 2a b b2 2 a b a b a2 b2 例4已知 a 6 b 4 a与b的夹角为60 求 a 2b a 3b 例5已知 a 3 b 4 且a与b不共线 当且仅当k为何值时 向量a kb与a kb互相垂直 例6设x y轴正方向上的单位向量分别为和 若a b 2i 8j a b 8i 16j 求a b 例7设和是夹角为的两个单位向量 且 试求的值 向量的数量积 第三课时 问题情境 问题1若两个向量为a x1 y1 b x2 y2 如何用向量a b的坐标来表示它们的数量积a b 数学理论 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即a b x1x2 y1y2 数学运用 例9设a m 1 3 b 1 m 1 若 a b a b 求m的值 例10已知a b 2 8 a b 8 16 求a b及向量a与b的夹角 的余弦值 课堂练习 1 设 5 7 6 4 求a b 及a与b的夹角 2 已知a 4 2 b 6 1 求 1 a b 2 2a b a 2b 3 2a 3b 向量的数量积 第四课时 复习回顾 1 平面向量数量积的坐标表示 设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 向量垂直的等价结论 设 x1 y1 x2 y2 则 3 向量模的坐标计算 设a x y 则 a 2 x2 y2 或 a 数学运用 例11已知a 1 2 b 1 y 若向量a b的夹角为锐角 求实数y的取值范围 例12平面内有向量 1 7 5 1 2 1 点p是直线oc上一个动点 1 当 取最小值时 求的坐标 2 当点p满足 1 的条件和结论时 求cos apb的值 例13ad be cf是 abc的三条高 求证 ad be cf相交于一点 例14求证 直径上