减肥数学模型.doc

数学建模期末论文 题目：A减肥的数学模型 随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断地提高.由于营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已成为全社会关注的一个重要问题.无论从健康的角度还是从审美的角度，人们越来越重视自己形体的健美，从而导致目前社会上出现了各种各样的所谓“减肥药品”，“减肥食品”及名目繁多的健美中心. 你如何对待减肥问题？试建立模型，从数学的角度对有关的规律做进一步的探讨和分析. 注：建模所需用的文件、医学知识和相关数据等，可以查相关资料或在网上搜索.摘要： 随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要问题。无论从健康角度还是从审美角度， 人们越来越重视自己形体的健美，从而就导致目前社会上出现了各种各样的减肥食品（或营养素）、减肥饮料、减肥服装、减肥药和名目繁多的健美中心 ，让人目不暇接，不知所措，上当受骗者也不在少数.以至各种媒体经常提醒人们减肥一定要慎重，如何对待减肥是我们一定要正确对待的问题，于是了解减肥的机理成为减肥的关键。此外，对于从事某些体育项目的运动员（例如：举重、体操、游泳等）来说，在比赛前也有都一个正确减肥的问题。 肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。该模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。在问题一中，我们找到营养的供给、成人（男、女）每天需要的热量、热量的主要构成、活动强度系数表以及三种热量构成物的单位产热量等方面数据，并结合肥胖的三个要素（进食、活动、新陈代谢），建立了如下的数学模型：w(t)= 其a=;c=(1+10+)4.2/。同时也提出了，模型的改造方法一跟二。在问题二中，实际应用上面的数学模型，重点对“NRG清赘减肥胶囊”减肥药广告以及“10步易学瘦身操模型论述”减肥方法广告进行了论述和判断其是否对人体有副作用。在对“10步易学瘦身操模型论述”减肥方法广告进行的论述中，还进行了定量的计算。一 模型假设人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标。对于一个成年人来说体重主要有三部分组成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为J的能量。记D= J/kg，成为脂肪的能量转换系数。人的体重仅仅看成是时间t的函数w(t)，而与其它因素无关，这意味着在研究减肥过程中，我们忽略了个体的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影响。体重随时间是连续变化的，即w(t)是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的。不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗与体重有关，例如：体重分别为50 kg和100kg的人都跑1000m，所耗的能量显然不同。可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制定一个合理且相对稳定的减肥计划，我们可以假设在单位时间(1日)内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记B为每1kg体重每天因活动所消耗的能量单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量成正比于人的体重。记C为1kg体重每天消耗的能量。减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A。注意：假设人的体重由碳水化使物、脂肪、蛋白质三部分组成,不考虑其它成分;假设人每天摄入的食物中能转化为热量的只有碳水化使物、脂肪、蛋白质;摄入的食物全部转化为热量。二 模型构成背景知识： 根据中国科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知： 每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人体健康而提出的膳食质量标准。营养素的需求量系指维持身体正常的生理功能所需要的营养素的数量。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响。 人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。人们热能需要量的多少，主要取决于三个方面：维持人们基本代谢所需的能量、从事劳动和其他活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。一般情况下，成年男子每1kg体重每小时平均消耗热量为4200J。一般情况下 ，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的 10%。根据背景知识成人每天所需要的热量由人体基本代谢所需需热量、体力活动所需热量和食物的特殊动力的作用所需要的热量三部分组成. (下面以成人男子为分析对象,未成年男子和女子代入其相应的数据即可得到)成人每天的基本代谢所需热量为:w(t)10 4. 2 J成人每天的体力活动所需热为:w(t) 10 4. 2 J成人每天由于食物的特殊动力的作用所需热量为:w ( t )4. 2 J已知人每天摄入的总热量为:现在我们研究在时间(t ,t + t) 内能量的变化。摄入与消耗能量之差为: t - w(t) (1+ 10 + 10 )体重改变的能量变化为: w(t + t) - w(t) 由能量的守恒可得等式:以t 除等式两边且t0 ,可得其中a = c=(1+10+)*/于是我们给出了一个减肥的数学模型。建模过程中，我们以“天”为时间单位。根据假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化。 根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差。 考虑时间区间内能量的改变,根据能量平衡原理,有三 模型求解当t =0为模型启动的初始时刻,此时人的体重为w(0)=, 通过变量分离, 两边积分易得(l)的解为: w(t)= 其中 a=; C=(1+10+)4.2/于是我们得到了一个体重与时间、饮食摄入、运动强度之间的关系模型四 模型分析 人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标。对于一个成年人来说体重主要有三部分组成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为 J的能量。记D= J/kg，成为脂肪的能量转换系数。 人的体重仅仅看成是时间t的函数w(t)，而与其它因素无关，这意味着在研究减肥过程中，我们忽略了个体的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影响。体重随时间是连续变化的，即w(t)是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的。 不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗与体重有关，例如：体重分别为50 kg和100kg的人都跑1000m，所耗的能量显然不同。可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制定一个合理且相对稳定的减肥计划，我们可以假设在单位时间(1日)内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记B为每1kg体重每天因活动所消耗的能量单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量成正比于人的体重。记C为1kg体重每天消耗的能量。减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A。 根据上述背景知识和模型的假设，我们就可以组建减肥的数学模型。 该小题要求，收集的相关数据,并在此基础上，对减肥问题建立数学模型。对于此问题的解决，我们要先从营养的供给、成人（男、女）每天需要的热量、热量的主要构成、活动强度系数表以及三种热量构成物的单位产热量等方面收集到上述数据。然后，再根据数据以及能量平衡定理，列出方程，再结合积分的知识，求出W（t）的关系式即减肥问题的数学模型。因为是人的体重转化为热量的一个系数, 所以恒不等于0 ,且是一个常数。若a =0,则这说明如果不进食,人的体重只与人自身的代谢和体力活动有关,这是完全合理的。若a 增大,则w（t）增大,说明能量摄入越多,体重就不断增加;若c 增大,即 增大,则w(t)下降,这表明活动强度越大,消耗的能量越多。表明能量的摄取量是对能量消耗的一种补充。综上分析,认为本模型得出结果是比较科学和合理的。五 模型检验六 模型评注1）a/b是模型中的一个重要参数。A=A/D是每天由于能量的摄入而增加的体重。b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的体重。 2)假设a=0,即停止进食，无任何能量摄入，体重的变化（减少）完全是脂肪的消耗而产生。此时， （1）不进食的节食减肥法是很危险的。因为 ，即体重（脂肪）都消耗尽了，如何能活命！实际上，媒体报道过很多例子，都是产生厌食症从而身体抵抗力减弱，导致其它并发疾病而死亡。 （2）当a=0时，由解式有 这表明在0，t内体重减少的百分率为 ，称之为0,t内体重消耗率。特别的，是单位时间内体重的消耗率，事实上，所以自然 为0,t内的体重保存率，它表明t时刻体重占初始体重的百分率，基于上面的分析，又解式可知，t时刻的体重由两部分组成：一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得的补充量，这一解释从直观上理解也是合理的。3)另外对于此模型，容易证明，当且仅当 时有dw/dt0，这表明只有当 才有可能产生减肥的效果。由解式有也就是说此模型的解渐进稳定与 ，他给出了减肥的最终结果，称 为减肥效果指标。因为 衰减很快，在有限时间内， 就很小，可以忽略；当t充分大时， w(t)=a/b=A/(B+C),这表明任何人都不必为自己的体重担心（肥胖、瘦小）。从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适当调节A（进食）、B（活动）、C（新陈代谢）。同时也说明了，任何减肥方法都是考虑和调节上述三个要素：节食是调节A、活动是调节B、减肥药是调节C。由于C是基础代谢和食物特殊动力的消耗，他不可能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人而言可以认为是一个常数。有大量事实表明，通过调整新陈代谢的方法来减肥是值得推敲的。于是我们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素控制：进食摄取能量和活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是控制饮食和增加活动量。这也是熟知的常识。4)进一步讨论能量的摄取量A与活动消耗量B对减肥效果的影响。由 =A/(B+C)有A= B+ C,在A-B坐标系内表示一条过点（-C,0）斜率为 的直线。根据背景知识，任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持正常生理公能所需要的能量。因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限 ，当 时表明能量摄入过低，无法满足维持人体正常的生理功能所需要的能量。这时减肥得到的结果不能认为是有效的，它将危及人体的健康，是非常危险的，因而称 为减肥临界指标。此外，人们为减肥所采用的各种体力活动对能量的消耗也有一个人体所能承受的范围，即存在 使得0B ,于是在A-B平面上由B=0、B= 和A=0所界出的上半带形区域被直线 ：A= B+ C和 ：A= B+ C分割成三个区域： 、 和 ，这表明减肥的效果是控制饮食和增加消耗综合作用、相互协调的结果。在区域 中，能量的摄取量A大于体重为 （初始体重）时的消耗量 （B+C），这时体重将在 基础上继续增加，故称之为非减肥区。而在区域 中，能量的摄取量A低于体重为 时的消耗量 （B+C)体重将减少到临界减肥指标以下，这将危及人的健康，故称 为减肥危险区。只有区域 所表示的A和B的组合才能实现有效的减肥