2014-2015选修2-1-3课时提升作业(二十六) 3.2.2.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十六)空间向量与垂直关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.若平面,的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()A.B.C.,相交但不垂直D.以上均不正确【解析】选C.因为n1n2=2(-3)+(-3)1+5(-4)0,所以n1与n2不垂直,又2-3-315-4,所以与相交但不垂直. 新|课 |标 |第 | 一| 网2.(2014青岛高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是()A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直【解析】选C.建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),NO=(-1,0,-2),AM=(-2,0,1),NOAM=0,则直线NO,AM的位置关系是异面垂直.3.(2014丹东高二检测)已知平面内有一个点A(2,-1,2),的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面内的是()A.(1,-1,1)B.1,3,32C.1,-3,-32D.-1,3,-32【解析】选B.对于选项A,PA=(1,0,1),则PAn=(1,0,1)(3,1,2)=50,故排除A;对于选项B,PA=1,-4,12,则PAn=1,-4,12(3,1,2)=0,故B正确,验证可知C,D均不满足PAn=0. xKb 1 .Com 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A【解析】选B.如图所示,建立直角坐标系Dxyz,设AB=1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),E(12,12,1),所以CE=(12,-12,1),AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1D=(-1,0,-1),A1A=(0,0,-1),所以CEBD=0,所以CEBD,即CEBD.5.(2014桂林高二检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0), D1(0,0,1),A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=13,13,-13,BD1=(-1,-1,1),EF=-13BD1,A1DEF=ACEF=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.6.下列命题中,正确命题的个数为()若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2=0;若n是平面的法向量,a与共面,则na=0;若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.命题中平面,可能平行,也可能重合;结合平面法向量的概念,易知命题正确.二、填空题(每小题4分,共12分)7.若向量a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面内的两个不共线的向量,直线l的一个方向向量m=(2,3,1),则l与的位置关系是(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”).【解析】ma=(2,3,1)(-1,2,-4)=-2+6-4=0,mb=(2,3,1)(2,-2,3)=4-6+3=10.所以l与相交但不垂直.答案:相交但不垂直8.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若PAAB,PAAC,则点P的坐标为.【解析】因为AB=(-1,-1,1),AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z),由PAAB=0, PAAC=0,得x-1-z=0,-2x-z=0,则x=13,z=-23,所以P13,0,-23.答案:13,0,-239.(2014长春高二检测)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于结论:APAB;APAD;AP是平面ABCD的法向量;APBD.其中正确的是.【解析】由于APAB=-12+(-1)2+(-4)(-1)=0,APAD=4(-1)+22+0(-1)=0,所以正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)x.k.b.110.(2014广州高二检测)用向量方法证明:如果两个相交平面与第三个平面垂直,则它们的交线也与第三个平面垂直.【解析】已知:如图,=l,.求证:l.证明:设平面,的法向量分别为a,b,c,直线l的方向向量为e,则ae=0,be=0.因为a,b与e不共面,故存在实数x,y,z,使c=xa+yb+ze.因为ac,bc,所以即因为与相交,所以a与b不共线,所以所以方程组有惟一解x=0,y=0,所以c=ze,即ce,从而有l.11.(2014上海高二检测)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=2,M是AD中点,N是B1C1中点.(1)求证:NA1CM.(2)求证:平面A1MCN平面A1BD1.【证明】以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz.所以B(2,1,0),A1(2,0,1),D1(0,0,1),C(0,1,0),M22,0,0,N22,1,1.(1)NA1=22,-1,0,CM=22,-1,0.所以NA1=CM,所以NA1CM.(2)方法一:D1B=(2,1,-1),MN=(0,1,1),CM=22,-1,0,所以D1BMN=0+1-1=0,D1BCM=1-1+0=0,所以D1BMN,D1BCM,又MNCM=M,所以D1B平面A1MCN,又D1B平面A1BD1,所以平面A1MCN平面A1BD1.方法二:D1A1=(2,0,0),D1B=(2,1,-1),MN=(0,1,1),CM=22,-1,0.设平面A1MCN的法向量为n=(x,y,z),所以取n=(2,1,-1).设平面A1BD1的法向量为m=(x1,y1,z1),所以取m=(0,1,1),因为nm=(2,1,-1)(0,1,1)=0+1-1=0,所以nm,所以平面A1MCN平面A1BD1.【变式训练】在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BEEC=PFFB=12.求证:平面GEF平面PBC.【证明】如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.令PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),于是PA=(3,0,0),FG=(1,0,0),故PA=3FG,所以PAFG.而PA平面PBC,所以FG平面PBC.又FG平面EFG,所以平面EFG平面PBC.【一题多解】如解析建立的空间直角坐标系,则E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0).所以EF=(0,-1,-1),EG=(1,-1,-1).设平面EFG的法向量是n=(x,y,z),则有nEF,nEG.所以y+z=0,x-y-z=0.令y=1,得z=-1,x=0,即n=(0,1,-1). X| k |B| 1 . c| O |m显然PA=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.又nPA=0,所以nPA,即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量互相垂直,所以平面GEF平面PBC.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知A(3,0,-1),B(0,-2,-6),C(2,4,-2),则ABC是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.AB=(-3,-2,-5),AC=(-1,4,-1),则ABAC=-3(-1)-24+5=0.所以ABAC,故ABC为直角三角形.又|AB|AC|故选C.2.平面的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l平面,则直线l的单位方向向量s=()A.(0,1,-1)B.0,22,-22新 课 标 第 一 网C.(0,2,-2)D.(0,2,-2)【解析】选B.直线l的方向向量平行于平面的法向量,故直线l的单位方向向量是s=0,22,-22.3.如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=12PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定【解析】选B.如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).则DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0).因为PQDQ=0,PQDC=0.所以PQDQ,PQDC.所以PQ平面DCQ.w w w .x k b 1.c o m又PQ平面PQC,所以平面PQC平面DCQ.4.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,ABAC0;ABDC;BDAC;平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.建立以D为坐标原点,以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴的空间坐标系,设斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1)则AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),DC=(0,1,0), BD=(-1,0,0)从而有ABAC=0+0+1=1,故错误,ABDC=0,故正确,BDAC=0,故正确,易知平面ADC的一个法向量为向量BD=(-1,0,0),平面ABC的法向量设为n=(x,y,z),由ABn=x-z=0,ACn=y-z=0,令y=1,则x=1,z=1,故n=(1,1,1),BDn=-1,故错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014上海高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1, 2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中x0,.若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为.【解析】由题意得OPOQ.所以cosx(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.所以2cos2x-cosx=0.所以cosx=0或cosx=12.又x0,所以x=2或x=3.答案:2或36.(2014南京高二检测)已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).若在直线AB上,存在一点E,使得OEb(O为原点)则E点的坐标为.【解题指南】先设点E在AB上的位置,利用垂直关系建立与E点坐标有关的方程,求出点E.【解析】OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),因OEb,则OEb=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=95,因此存在点E,使得OEb,此时E点的坐标为-65,-145,25.答案:-65,-145,25三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014银川高二检测)已知正方体ABCD-ABCD中,点M,N分别在面对角线AD和面对角线BD上,并且AMAD=BNBD.求证:MNAD.【证明】设正方体棱长为1,AMAD=BNBD=,AB=a,AD=b,AA=c,则MN=AN-AM= AB+BN-AM=AB+BD-AD=a+(b-a)-(b+c)=(1-)a-c且ab=0,ac=0,bc=0,所以ADMN=b(1-)a-c=(1-)ba-bc=0,新*课标*第*一*网所以ADMN,所以MNAD.【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,M为四边形ABCD的中心.求证:对A1B1上任一点N,都有MNAP.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),P0,0,12, M12,12,0,N(1,y,1).所以AP=-1,0,12,MN=12,y-12,1.所以APMN=(-1)12+0y-12+121=0,所以APMN,即对A1B1上任意一点N都有MNAP. 新 课 标 第 一 网8.(2014广州高二检测)如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,BB1=2,M是线段B1D1的中点.(1)求证:BM平面D1AC.X k b 1 . c o m(2)求证:D1O平面AB1C.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则点O(1,1,0),D1(0,0,2),所以OD1=(-1,-1,2),又点B(2,2,0),M(1,1,2),所以BM=(-1,-1,2),所以OD1=BM,又因为OD1与BM不共线,所以OD1BM.w w w .x k b 1.c o mX Kb 1.Co m又OD1平面D1AC,BM平面D1AC,所以BM平面D1AC.(2)连接OB1.因为OD1OB1=(-1,-1,2)(1,1,2)=0,OD1AC= (-1,-1,2)(-2,2,0)=0,所以OD1OB1,OD1AC,即OD1OB1,OD1AC,又OB1AC=O,所以D1O平面AB1C.【变式训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF平面B1AC.【解题指南】思路一:EFAB1,EFB1C得EF平面B1AC;思路二:求平面B1AC的法向量n证明EFn从而EF平面B1AC.【证明】设AB=a,AA1=b,AD=c,则EF=EB1+B1F=12(BB1+B1D1)=12(AA1+BD