非常好的讲义----二次函数图像与性质.doc

二次函数图像及性质一、二次函数的定义一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，、分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数注意：和一元二次方程类似，二次项系数，而、可以为零二次函数的自变量的取值范围是全体实数二、二次函数的图象1二次函数图象与系数的关系（1）决定抛物线的开口方向当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下反之亦然决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反（2）和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）当时，抛物线的对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴； 当时，交点在轴的负半轴2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点3.点的坐标设法 一次函数（）图像上的任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点. 二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点 点关于的对称点为4.二次函数的图象信息 根据抛物线的开口方向判断的正负性 根据抛物线的对称轴判断的大小 根据抛物线与轴的交点，判断的大小 根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于的等式 根据抛物线的顶点，判断的大小三、二次函数的图象及性质1 二次函数的性质：抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（ 轴）函数的图像与的符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点；的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3 二次函数或（）的性质开口方向： 对称轴：（或）顶点坐标：（或）最值： 时有最小值（或）（如图1）； 时有最大值（或）（如图2）；单调性(单调性的概念无需掌握)：二次函数（）的变化情况（增减性）如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧 ，随的增大而增大；如图2所示，当时，对称轴左侧， y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小；与坐标轴的交点：与轴的交点：（0，C）；与轴的交点：使方程（或）成立的值例题精讲一、二次函数的概念【例1】 已知函数当，是怎样的数时，它是一次函数？当，是怎样的数时，它是正比例函数？当，是怎样的数时，它是二次函数？二、二次函数的图象及性质1、画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值2、画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值【例2】 已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（ ）第一、二、三象限第一、二、四象限第二、三、四象限第一、三、四象限【例3】 已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第 象限.【例4】 函数与的图象可能是( ) 【例5】 在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（）【例6】 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ） 【例7】 下左图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（ ） 第一象限 第二象限第三象限 第四象限【例8】 已知，如图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限【例9】 已知二次函数的与的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴C. 当时， D. 方程的正根在与之间【例10】 若二次函数（，为常数）的图象如右图，则的值为（ ） 【例11】 设二次函数图像如图所示，试判断的符号【例12】 二次函数的图象如下左图所示，判断，的符号【例13】 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是（ ）ABC D【例14】 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论； 方程的两根之和大于0；随的增大而增大； ，其中正确的个数（ ）A4个 B3个 C2个 D1个【例15】 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；，其中正确结论的个数为（ ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个【例16】 如下右图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：；其中正确的有（ ）个 个 个 个【例17】 二次函数在其图象对称轴的左侧，随着的增大而减小，则的值为_【例18】 二次函数在其图象对称轴的右侧，随着的增大而减小，则的值为_【例19】 已知点，是函数上两点，则当时，函数值y= .【例20】 已知，当取不同的值，时函数值相等，则当时的值（ ）与的函数相等 与的函数相等与的函数相等 与的函数相等【例21】 若二次函数有最大值，则_【例22】 若二次函数有最小值，则_【例23】 二次函数的图象上最低点的坐标是 （ ）A（-1，-2） B（1，-2） C（-1，2） D（1，2）【例24】 抛物线的顶点坐标是（ ）A B C D【例25】 已知，点，都在函数的图象上，则（ ） 【例26】 已知二次函数的图象过点若点，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）ABCD【例27】 若，为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（ ）A B CD【例28】 已知二次函数和分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点【例29】 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点， 试比较和的大小：_（填“”，“”或“=”）【例30】 已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于轴的负半轴，则的取值范围是_【例31】 设抛物线为，根据下列各条件，求的值 抛物线的顶点在轴上； 抛物线的