2019高考数学二轮复习_专题八 数学思想、数学核心素养与数学文化 第2讲 函数与方程、数形结合思想课件

第2讲函数与方程 数形结合思想 数学思想解读1 函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点 描述两个量之间的依赖关系 刻画数量之间的本质特征 在提出数学问题时 抛开一些非数学特征 抽象出数量特征 建立明确的函数关系 并运用函数的知识和方法解决问题 有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系 列出方程 组 进而通过解方程 组 求得未知量 函数与方程思想是相互联系 相互为用的 2 数形结合思想 就是根据数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 数形结合思想的应用包括以下两个方面 1 以形助数 把某些抽象的数学问题直观化 生动化 能够变抽象思维为形象思维 揭示数学问题的本质 2 以数定形 把直观图形数量化 使形更加精确 热点一函数与方程思想应用1求解不等式 函数零点的问题 例1 1 设0 a 1 e为自然对数的底数 则a ae ea 1的大小关系为 解析 1 设f x ex x 1 x 0 则f x ex 1 0 f x 在 0 上是增函数 且f 0 0 f x 0 ex 1 x 即ea 1 a 又y ax 0ae 从而ea 1 a ae 答案 1 B 2 B 探究提高1 第 1 题构造函数 转化为判定函数值的大小 利用函数的单调性与不等式的性质求解 2 函数方程思想求解方程的根或图象交点问题 1 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题 应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题 2 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决 2 依题意 f x 在 0 上单调递减 且f x 在R上是偶函数 f x 在 0 上是增函数 且f 1 f 1 1 答案 1 C 2 A 又 an 是正项等差数列 故d 0 2 2d 2 2 d 3 3d 得d 2或d 1 舍去 数列 an 的通项公式an 2n f x 在 1 上是增函数 要使对任意的正整数n 不等式bn k恒成立 探究提高1 本题完美体现函数与方程思想的应用 第 2 问利用裂项相消求bn 构造函数 利用单调性求bn的最大值 2 数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数 数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式 因此解决数列最值 范围 问题的方法如下 1 由其表达式判断单调性 求出最值 2 由表达式不易判断单调性时 借助an 1 an的正负判断其单调性 训练2 2018 东北三省四校二模 已知等差数列 an 的公差d 1 等比数列 bn 的公比q 2 若1是a1 b1的等比中项 设向量a a1 a2 b b1 b2 且a b 5 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设cn 2anlog2bn 求数列 cn 的前n项和Tn 解 1 依题设 a1b1 1 且a b 5 数列 an 的公差为d 1 bn 的公比q 2 所以an n bn 2n 1 n N Tn n 2 2n 1 4 n N 2 cn 2anlog2bn 2n log22n 1 n 1 2n n N Tn c1 c2 cn 22 2 23 3 24 n 1 2n 2Tn 23 2 24 3 25 n 1 2n 1 两式相减得 Tn 22 23 24 2n n 1 2n 1 应用3函数与方程思想在几何问题中的应用 例3 设椭圆中心在坐标原点 A 2 0 B 0 1 是它的两个顶点 直线y kx k 0 与AB相交于点D 与椭圆相交于E F两点 如图 设D x0 kx0 E x1 kx1 F x2 kx2 其中x1 x2 且x1 x2满足方程 1 4k2 x2 4 2 根据点到直线的距离公式和 式知 点E F到AB的距离分别为 探究提高几何中的最值是高考的热点 在圆锥曲线的综合问题中经常出现 求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中 抓住函数关系 将目标量表示为一个 或者多个 变量的函数 然后借助于函数最值的求法来求解 这是求面积 线段长最值 范围 问题的基本方法 2 由c 2得a2 1 4 所以a2 3 解析 1 在同一坐标系中作出三个函数y x2 1 y x 3 y 13 x的图象如图 由图可知 在实数集R上 min x2 1 x 3 13 x 为y x 3上A点下方的射线 抛物线AB之间的部分 线段BC 与直线y 13 x点C下方的部分的组合图 显然 在区间 0 上 在C点时 y min x2 1 x 3 13 x 取得最大值 2 作出f x 的图象如图所示 当x m时 x2 2mx 4m x m 2 4m m2 要使方程f x b有三个不同的根 则有4m m20 又m 0 解得m 3 答案 1 C 2 3 探究提高1 第 1 题利用函数的图象求最值 避免分段函数的讨论 第 2 题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题 利用几何直观求解 2 探究方程解的问题应注意两点 1 讨论方程的解 或函数的零点 一般可构造两个函数 使问题转化为讨论两曲线的交点问题 2 正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键 数形结合应以快和准为原则 不要刻意去用数形结合 解析 x 1 0 时 f x x 当x 0 1 时 1 x 1 0 因为g x f x mx m有两个零点 y f x 的图象与直线y m x 1 在区间 1 1 上有两个交点 y 2x z过点B时 直线在y轴上的截距最小 此时z 2x y取得最大值 答案 1 A 2 C 探究提高1 平面向量中数形结合关注点 1 能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系 2 重视坐标运算 数量积及有关几何意义求解 2 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象 根据不等式中量的特点 选择适当的两个 或多个 函数 利用两个函数图象的上 下位置关系转化为数量关系解决问题 解析 1 由题意 易知a 1 在同一坐标系内作出y x 1 2 x 1 2 及y logax的图象 若y logax过点 2 1 得loga2 1 所以a 2 根据题意 函数y logax x 1 2 的图象恒在y x 1 2 x 1 2 的上方 结合图象 a的取值范围是 1 2 2 因为 a c b c 0 所以 a c b c 如图所示 答案 1 1 2 2 C 应用3圆锥曲线中的数形结合思想 例6 已知抛物线的方程为x2 8y 点F是其焦点 点A 2 4 在此抛物线上求一点P 使 APF的周长最小 此时点P的坐标为 解析因为 2 2 8 4 所以点A 2 4 在抛物线x2 8y的内部 如图 设抛物线的准线为l 过点P作PQ l于点Q 过点A作AB l于点B 连接AQ 则 APF的周长为 PF PA AF PQ PA AF AQ AF AB AF 当且仅当P B A三点共线时 APF的周长取得最小值 即 AB AF 探究提高1