农场问题 数学建模.doc

关于农场问题的探讨郑振凡 刘远桃湖南工学院 衡阳 湖南指导老师：周斌 李国平摘 要本文对农场养牛的问题给出了非线性动态规划模型，利用题目规划目的，给出的各项关系式，分别建立一个关于5年养牛所得纯利润和养牛消费的函数式，利用题目所给的限制条件和lingo软件求出目标函数的最大值，从而得到规划5年养牛的最优解，即最大利润为：2325155元。五年计划安排如下表：当年幼牛总数当年产奶牛总数卖掉的产奶牛数卖掉的小母牛数卖掉的小公牛数第一年初20100000第二年初6498155第三年初52955454第四年初01345252第五年初01127272第六年初01386868关键词动态规划 LINGO非线性动态规划 影子利润 规划模型 养牛消费一、 问题的重述某公司计划承包有200亩土地的农场，建立奶牛场，雇佣工人进行奶牛养殖经营。由于承租费用较高，公司只能向银行贷款进行生产经营。现在要为未来的五年制定生产计划，并向银行还本付息，使公司盈利最大。开始承包时农场有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，生出后不久即卖掉，平均每头卖300元；另一半为母牛，可以在出生后不久卖掉，平均每头卖400元，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就卖掉，平均每头卖1200元。现在有20头幼牛，0岁和1岁各10头；100头产奶牛，从2岁至11岁，每一年龄的都有10头。应该卖掉的小母牛都已卖掉。所有20头是要饲养成产奶牛的。一头牛所产的奶提供年收入3700元。现在农场最多只能养130头牛。超过此数每多养一头，要投资2000元。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。每头小牛每年消耗粮食和甜菜量为奶牛的2/3。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每亩产甜菜1.5吨。只有80亩的土地适于种粮食，产量平均0.9吨。从市场购粮食每吨900元，卖出750元。买甜菜每吨700元，卖出500元。 养牛和种植所需的劳动量为：每头小牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一亩粮食每年需20小时；种一亩甜菜每年需30小时。其它费用：每头幼牛每年500元，产奶牛每头每年1000元；种粮食每亩每年150元，种甜菜每亩每年100元。劳动力成本为每小时费用为10元。承包农场需要一笔费用，其中一部分是土地承租费用，每年6万元（每年底付清），另一部分用于支付开始承包时农场已有的120头牛的费用。平均产奶牛每头4000元，小牛每头400元，到承包结束时，农场的牛按此价折价抵卖。任何投资都是从5年期的贷款得到。贷款的年利率为12%，每年偿还本息总共的1/5，五年还清。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末与现在相比减少超过50%，也不希望增加超过75%。试分析承包人有无盈利的可能性。若有，应如何安排5年的生产，使得五年的净收益为最大？更进一步讨论，若遇到银行利率波动（例如上下波动2个百分点），还贷方式改变（如规定每年还息，改变还本的方式），由于气候等外因变化引起的农产品产量与价格的变化及劳动力市场价格的变动等将会对你的五年生产计划及收益产生怎样的影响。二、模型的假设1、 假设每年剩余的粮食和甜菜没有地方贮存，全部卖出。2、 假设年损失的奶牛和小牛并未精心照顾，在出生后不久据已经死亡，消耗的劳动量忽略不计。3、 假设承包的5年截止日期可等到母奶牛产子后一起卖出。4、 假设在承包的5年过程中没有重大变故使得农场主停止承包或者奶牛的头数下降超过年损失率。5、 假设每亩田种植粮食和甜菜的产量没有改变。6、 假设在计算过程中不考虑算得的牛头数出现小数四舍五入的情况。7、 假设在生产过程中不考虑贩卖12岁以下产奶牛的情况。8、 假设所要还清的利息为5年内一次性贷款的总利息，将总利息分为5份，按年还清。三、符号说明： 承包农场的年数（表示第年末）； 母牛的年龄； 第年末年龄幼母牛存活下来的头数（j=0.1）； 年份年龄的母牛头数（；！ 在第年内所有产奶牛的头数； 第年末母牛的总头数；(5%) 幼牛的年损失率；(2%) 产奶牛的年损失率；(1.1) 每头产奶牛平均每年的产子量； 第年出生不卖掉的幼母牛占第年出身的幼母牛比例； 第年新生母牛不卖掉的头数； 第年用于种植粮食的土地（亩）； 第年用于种植甜菜的土地（亩）；没有说明的符号在文章中说明。四、问题分析本文是一个典型的线性动态规划模型，针对问题一如何安排生产，使得五年的净收益最大的问题，根据题目中所给的条件列出每年的产奶牛，幼母牛的头数的函数式，结合实际生产中的盈利问题和农场主的希望，设立限制条件，描述出每年奶牛产子时须得卖出的幼牛头数。通过盈利的来源：卖幼母牛，所有公牛，12岁产奶牛，可能剩余的粮食和甜菜，产奶牛的牛奶，最终将所有产奶牛均卖出去的钱，减去消费的金额（包括土地承包费用，向银行贷款的利息，雇佣工人的工资，粮食和甜菜种植的钱，可能从市场购买甜菜和粮食的钱，母奶牛的其他费用）建立一个关于盈利和消费之差的目标函数。利用lingo编程，求出最优方案。针对问题二，我们采用分析法，列出可能发生的情况，并采取相应的措施。五、模型的建立问题一：第一步：利用题目中所给的条件罗列出条件之间的关系根据模型假设，第一年初一岁和新生的幼母牛的头数如下：由：1、 存活下来的新生的幼母牛=刚出生的幼母牛-出生后损失的幼母牛；2、 一岁的幼母牛=上一年末新生的存活下来的幼母牛-0岁的幼母牛在生长过程中损失的幼母牛。则在第年末，一岁和新生存活下来的幼母牛头数为：3、 新生的幼母牛头数这一年末所有产奶牛的头数平均每头产奶牛每年的产子率 幼母牛所占的出生比例不卖掉的幼母牛所占这一年幼母牛的出生比例；则第年末母奶牛产下的幼母牛头数：第一年初不同年龄的产奶牛的总头数：第一年初，不同年龄的产奶牛的头数为：每过一年，年龄的产奶牛的头数的变化以及不同年龄之间的关系4、 第年岁的幼母牛=年岁的幼母牛头数年岁的幼母牛在生长过程中损失的头数，所以：第年内所有母牛的总头数（包括幼母牛的头数和产奶牛的头数）设当牛的头数超过一定数目时，会产生额外投资由条件可得，土地种植粮食比种植甜菜利润高，所以考虑在允许的情况下，种植粮食的地方全部种植粮食，即：每头牛每年消耗的粮食和甜菜如下图：粮食（亩）甜菜（亩）产奶牛小牛设种植粮食和甜菜剩余所得的影子利润当粮食(甜菜)有剩余时，所得粮食(甜菜)影子利润分别剩余的粮食(甜菜)粮食(甜菜)卖出的价格当粮食(甜菜)没有剩余或不足时，所得粮食(甜菜)的影子利润当粮食或甜菜不足时，必须从外界购买，假设牛每年需要从外界购买的粮食和甜菜分别为和，所需费用设为当粮食(甜菜)不足时，所购买粮食(甜菜)的费用分别剩余的粮食(甜菜)粮食(甜菜)买进的价格当粮食(甜菜)没有不足时，所从外界购买的粮食(甜菜)需要消耗的金额；假设向银行贷款为元，利息为设所要还清的利息为5年内一次性贷款的总利息，将总利息分为5份，按年还清。则设每年必须向银行还的钱为 我们认为农场主向银行贷款的钱为第一年使得农场运作所需的费用，其后农场运作费用由农场本身盈利提供。=承包土地费用+其他费用+劳动成本费根据以上，下面我们从消费和利润着手，得出目标函数。一、设承包养殖过程中所消耗的费用。根据：承包养殖过程中所消耗的费用=雇佣工人的工资（工资包括四部分：养殖幼母牛、养殖产奶牛、种植粮食、种植甜菜）+幼母牛每年消耗的其他费用+产奶牛每年消耗的其他费用+种植粮食消耗的其他费用+种植甜菜消耗的其他费用+每年的承包费用+可能从外界购买粮食和甜菜的费用+每年向银行贷款所需要还的本金和利息+超过农场养牛限制130所需要的额外投资。所以设承包养殖过程中所消耗的费用为 整理得：二、设在承包农场的过程中5年所获得的利润为。因为包括以下部分：1、5年产奶牛产奶所得的利润：2、5年中卖12岁的产奶牛所得利润：3、5年甜菜和粮食作物所得的利润：4、5年内卖公牛所得的利润：5、5年中卖幼母牛所得利润：6、在第六年卖掉所有的牛所得的利润：所以假设可以求得：5年产奶牛产奶所得的利润：5年中卖12岁的产奶牛所得利润：5年甜菜和粮食作物所得的利润：5年内卖公牛所得的利润：5年中卖幼母牛所得利润：在第六年卖掉所有的牛所得的利润：则：综合上诉所得，目标函数为方便计算及说明，下面我们采用第年出生不卖掉的幼母牛占第年出身的幼母牛比例来表示各年生产安排，如下表： 项目年份卖掉的产奶牛数卖掉的小母牛数卖掉的小公牛数第一年初000第二年初55（1-）55第三年初53.9（1-）53.9第四年初52.5（1-）52.3第五年初(27.3006+45.3937) （1-）27.3+45.4第六年初(26.7+28.7+40.1) （1-）26.7+28.7+40.1结合上面的表格，将各个利润来源用的形式表示出来：所可得规划模型为：使用LINGO软件对此问题编制和求解程序及分析报告见附录1。LINGO规划结果为：；农场的计划安排如下：第二年初：卖掉的产奶牛数为：；卖掉的小母牛数为：1头；卖掉的小公牛数为55头。第三年初：卖掉的产奶牛数为：；卖掉的小母牛数为：54头；卖掉的小公牛数为54头。第四年初：卖掉的产奶牛数为：；卖掉的小母牛数为：52头；卖掉的小公牛数为52头。第五年初：卖掉的产奶牛数为：；卖掉的小母牛数为：72头；卖掉的小公牛数为72头。第六年初：卖掉的产奶牛数为：；卖掉的小母牛数为：68头；卖掉的小公牛数为68头。当年幼牛总数当年产奶牛总数卖掉的产奶牛数卖掉的小母牛数卖掉的小公牛数第一年初20100000第二年初6498155第三年初52955454第四年初01345252第五年初01127272第六年初01386868以表格形式如下：问题二：如遇到银行利率波动，还贷方式改变，其后等外因变化引起的农产品产量与价格的变化及劳动力市场价格的变动等影响，可能造成农场主的生产安排和盈利出现一些变化。当银行的利率向上波动为时，银行贷款的利息会增加，改变还本方式，假设每年只还利息，在第五年内将本金和利息一共还清。则每年的还款为：；当天气的影响造成农产品的产量下降时，假设粮食的产量和甜菜的产量分别下降到和；假设粮食的价格和甜菜的卖出的价格分别增加到和，买进的价格分别增加到 和；则可得到下列关于如何购买和卖出的函数关系式和：当劳动力市场价格变动时，会造成农场主所要付的工资发生变化：原市场劳动力所得的总工资；由消费可知，会随着利率的上下波动而波动，由养牛过程中粮食和甜菜总体上不足可知和会随着产量和的降低，买进卖出的价格、的升高而降低的值。劳动力工资也会随着市场的需求的增加而增加，降低而降低。所以我们作以下分析：劳动力的变化：1、 当劳动力供大于求时，劳动力的价格会降低，在总体上如果不能够过多地养牛，我们可以考虑不雇佣一些工人。2、 当劳动力供不应求时，劳动力的价格会增加，在总体上如果多养牛所得的利润对劳动力工资方面的差额没有什么很大的影响时，我们考虑仍然按照原计划养牛。在总体上如果多养牛所得的利润对劳动力工资方面的差额有了较大的影响，平均每头牛的价值减少时，我们考虑减少牛的养殖。银行的利率波动：1、 在银行的利率方面，我们考虑如何向银行贷款付息的问题，采用每年还每年产生的利息，最后一年将本金和利息还清。甜菜和粮食的价格和产量变化:1、 如果在5年内气候不适合种植粮食和甜菜，我们可以考虑不承包那么多亩地，只是承包可能满足需要的土地，而不考虑种植粮食或甜菜可能卖出去的情况。尽量减少买进来的粮食和甜菜的量。六、模型优缺点及改进方向优点：本模型运用线性规划清晰而又直观的描述了不同年份的奶牛头数，对于如何生产和安排。本题数据量处理较大，但是采用了统一表示，使得模型简单统一简单明了。缺点：我们在模型当中，假设每年剩余的粮食和甜菜没有地方贮存，全部卖出。这一点可能偏离了实际情况。并且在计算过程中采取了牛头数出现小数四舍五入的计算。使得误差可能较大。改进方向：考虑粮食的贮存问题及变故，并且对结果进行灵敏度的分析。七、参考文献1姜启源等 数学模型（第三版）高等教育出版社，北京，20032黄开枝等 MATLAB7基础教程，清华大学出版社，20073朱德通等 最优化模型与试验，同济大学出版社 2003八、附 录附1：model:max=56728*r1-127794*r2+2111185-163134*r3-166540*r4-24060*r5-87100*r1*r4-16020*r2*r5-5240*r1*r5+g1-g2-g3-g4-g5+t1+t2+t3+t4+t5;0r1;r1=1;0r2;r2=1;0r3;r3=1;0r4;r4=1; 0r5;r5=1;g1=750*(72-(100*0.6+0.4*20);g2=900*(0.6*97.7+0.4*(55*r1+9.5)-72);g3=900*(0.6*95.2+0.4*(53.7*r2+52.3*r1)-72);g4=900*(49.7*r1+85.1)+0.4*(52.3*r3+51*r2)-72);g5=900*(0.6*(48.6*r2+47.7*r1+73)+0.4*(27.3*r1*r4+46.8*r4+49.7*r3)-72);t1=500*(180-0.7*100-20*0.467);t2=500*(180-0.7*97.7-0.467*(55*r1+9.5);t3=500*(180-0.7*95.2-0.467*(53.7*r2+52.3*r1);t4=500*(180-0.7*(49.7*r1+85.1)-0.467*(52.3*r3+51*r2);t5=500*(180-0.7*(48.6*r2+47.7*r1+73)-0.467*(27.3*r1*r4+46.8*r4+49.7*r3);60=26.7*r2*r5+26.2*r1*r5+40.1*r5+26*r1*r4+44.5*r4+47.7*r3+47.6*r2+76.7*r1+62.5;26.7*r2*r5+26.2*r1*r5+40.1*r5+26*r1*r4+44.5*r4+47.7*r3+47.6*r2+76.7*r1+62.5=210;end分析报告：Local optimal solution found. Objective value: 2325155. Total solver iterations: 8 Variable Value Reduced Cost R1 0.9853249 0.000000 R2 0.000000 119550.5 R3 0.000000 146198.4 R4 0.000000 181219.4 R5 0.000000 29223.10 G1 3000.000 0.000000 G2 10887.43 0.000000 G3