【三维设计】高考数学大一轮复习讲义（备考基础查清+热点命题悟通）第九章 概率、统计与算法初步 理 苏教版(1).DOC

第九章概率、统计与算法初步第一节随机事件的概率1概率与频率(1)在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数，称事件a出现的比例fn(a)为事件a出现的频率(2)对于给定的随机事件a，由于事件a发生的频率fn(a)随着试验次数的增加稳定于概率p(a)，因此可以用频率fn(a)来估计概率p(a)2事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件a发生，则事件b一定发生，这时称事件b包含事件a(或称事件a包含于事件b)ba(或ab)相等关系若ba且ab，那么称事件a与事件b相等ab并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件a发生或事件b发生，则称此事件为事件a与事件b的并事件(或和事件)ab(或ab)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生，则称此事件为事件a与事件b的交事件(或积事件)ab(或ab)互斥事件若ab为不可能事件，那么称事件a与事件b互斥ab对立事件若ab为不可能事件，ab为必然事件，那么称事件a与事件b互为对立事件ab且ab3概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0p(a)1.(2)必然事件的概率：p(a)1.(3)不可能事件的概率：p(a)0.(4)概率的加法公式如果事件a与事件b互斥，则p(ab)p(a)p(b)(5)对立事件的概率若事件a与事件b互为对立事件，则ab为必然事件p(ab)1，p(a)1p(b)1易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数2互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件试一试1甲：a1，a2是互斥事件；乙：a1，a2是对立事件，那么甲是乙的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不分也不必要”)解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立答案：必要不充分2在2013年全国运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为_解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，选出的火炬手的编号相连的概率为p.答案：利用集合方法判断互斥事件与对立事件1由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥2事件a的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集练一练1(2014赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是_解析：至少一次正面朝上的对立事件的概率为，故p1.答案：21人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是_解析：连续射击2次，所有可能情况是“2次都不中靶”、“2次中恰有1次中靶”、“2次都中靶”，而事件“至少有1次中靶”即为“2次中恰有1次中靶”或“2次都中靶”，故其对立事件为“2次都不中靶”答案：2次都不中靶考点一事件关系的判断1甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，则乙不输的概率为_解析：乙输与甲胜是同一事件，而甲胜的概率为0.3，由对立事件的概率公式可知乙不输的概率为10.30.7.答案：0.72从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件有_至少有一个红球，都是红球至少有一个红球，都是白球至少有一个红球，至少有一个白球恰有一个红球，恰有两个红球解析：由互斥对立的关系及定义知，不互斥，对立，不互斥，互斥不对立答案：3给出下列命题：对立事件一定是互斥事件；a，b是两个事件，则p(ab)p(a)p(b)；若事件a，b，c两两互斥，则p(a)p(b)p(c)1；若事件a，b满足p(a)p(b)1，则事件a，b是对立事件其中所有不正确命题的序号为_解析：对立一定互斥，但互斥未必对立，正确；仅当a，b互斥时，成立；对于，可举反例进行说明：如抛掷骰子，记“向上点数不小于4”为事件a，“点数为奇数”为事件b，则a，b满足p(a)p(b)1，但a，b不对立答案：备课札记 类题通法判断事件关系时要注意(1)利用集合观点判断事件关系(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系考点二随机事件的概率典例(2013广州模拟)将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数(1)求点数之积是4的概率；(2)设a，b分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求式子2ab1成立的概率解将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数共有36种不同的结果(1)将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数分别记为a，b，点数之积是4对应以下3种情况：因此，点数之积是4的概率为p1.(2)由2ab1得2ab20，ab 0，ab.而将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数相等对应以下6种情况：因此，式子2ab1成立的概率为p2.备课札记 在本例条件不变的情况下求：(1)在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率；(2)两颗骰子向上的点数均大于等于4的概率.解：(1)由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为.(2)此事件对应(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)9种情况，p.类题通法求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：(1)列举法，(2)列表法，(3)利用树状图列举针对训练(2013江苏高考)现有某类病毒记作xmyn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_解析：基本事件总数为n7963，其中m，n都为奇数的事件个数为m4520，所以所求概率p.答案：考点三互斥事件与对立事件的概率典例(2014唐山统考)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为_解析“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1.设“甲不输”为事件a，则a可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以p(a).(或设“甲不输”为事件a，则a可看做是“乙胜”的对立事件，所以p(a)1)答案，备课札记 类题通法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式p(a)1p()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便针对训练(2014北京东城模拟)有编号为1,2,3的三个白球，编号4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球(1)求取得的两个球颜色相同的概率；(2)求取得的两个球颜色不相同的概率解：从六个球中取出两个球的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个(1)记事件a为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个，故p(a)；记“取出的两个球是黑球”为事件b，同理可得p(b).记事件c为“取出的两个球的颜色相同”，a，b互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得p(c)p(ab)p(a)p(b).(2)记事件d为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件c，d对立，根据对立事件概率之间的关系，得p(d)1p(c)1.课堂练通考点1围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是_解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件a，“从中取出2粒都是白子”为事件b，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件c，则cab，且事件a与b互斥所以p(c)p(a)p(b).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.答案：2(2014昆明调研)从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是_解析：“取出的2个球全是红球”记为事件a，则p(a).因为“取出的2个球不全是红球”为事件a的对立事件，所以其概率为p()1p(a)1.答案：3(2014黄冈一模)设集合ab1,2,3,4,5,6，分别从集合a和b中随机取数x和y，确定平面上的一个点p(x，y)，我们记“点p(x，y)满足条件x2y216”为事件c，则c的概率为_解析：分别从集合a和b中随机取数x和y，得到(x，y)的可能结果有36种情况，满足x2y216的(x，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)这8种情况，故所求概率为p(c).答案：4(2014潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件a，则p(a)最大时，m_.解析：m可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大答案：75(2014绍兴调研)黄种人人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型ababo该血型的人所占的比例/%2829835已知同种血型的人可以互相输血，o型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给ab型血的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是b型血，若他因病需要输血，问(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为a，b，ab，o型血分别记为事件a，b，c，d，它们是互斥的由已知，有p(a)0.28，p(b)0.29，p(c)0.08，p(d)0.35.因为b，o型血可以输给b型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件bd，根据概率加法公式，得p(bd)p(b)p(d)0.290.350.64.(2)由于a，ab型血不能输给b型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件ac，且p(ac)p(a)p(c)0.280.080.36.课下提升考能第组：全员必做题1从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为_解析：从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数共有(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)、(1,3,5)、(2,3,4)、(2,4,5)中三个数字和为奇数，所以概率为.答案：2每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以1,2,3,4,5,6)连续抛掷2次，则2次向上的数字之和不小于10的概率为_解析：有三种情况：和为10时，有(4,6)、(6,4)、(5,5)，故其概率为；和为11时，有(5,6)、(6,5)，概率为；和为12时，只有(6,6)，概率为.且以上三个事件皆互斥，故向上的数字之和不小于10的概率为.答案：3连续抛掷两颗骰子得到的点数分别为m，n，向量a(m，n)与向量b(1,0)的夹角记为，则的概率为_解析：依题意得a(m，n)共有36种情况，其中与向量b(1,0)的夹角需满足1，即mn，则有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(5,4)，(6,4)，(6,5)，共15种情况所以所求概率为.答案：4在平面直角坐标系xoy中，不等式组表示的平面区域为w，从w中随机取点m(x，y)若xz，yz，则点m位于第二象限的概率为_解析：画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(1,0)，(1,1)，(1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(1,1)，(1,2)，共2个，所以所求概率p.答案：5(2014安庆一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：axby2与l2：x2y2平行的概率为p1，相交的概率为p2，则点p(36p1,36p2)与圆c：x2y21 098的位置关系是_解析：易知当且仅当时两条直线相交，而的情况有三种：a1，b2，此时两直线重合；a2，b4，此时两直线平行；a3，b6，此时两直线平行，而投掷两次的所有情况有36种，所以两条直线平行的概率p1.两条直线相交的概率p21，点p(2,33)，点p与圆心(0,0)的距离为，故点p在圆c内答案：点p在圆c内6某城市2013年的空气质量状况如下表所示：污染指数t3060100110130140概率p其中污染指数t50时，空气质量为优；50t100时，空气质量为良；1000就去打球，若x0就去唱歌，若xa的概率是_解析：从1,2,3,4,5中选取一个数a有5种取法，从1,2,3中选取一个数b有3种取法所以选取两个数a，b共有5315个基本事件满足ba的基本事件共有3个因此ba的概率p.答案：2高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查在这个试验中，基本事件的个数为_解析：设这4个学习小组为a，b，c，d，“从中任抽取两个小组”的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个答案：63文科班某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级a和获得等级不是a的机会相等，物理、化学、生物获得等级a的事件分别记为w1，w2，w3，物理、化学、生物获得等级不是a的事件分别记为1，2，3.则该同学参加这次学业水平测试获得两个a的概率为_解析：该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩所有可能的结果有8种，分别为(w1，w2，w3)，(1，w2，w3)，(w1，2，w3)，(w1，w2，3)，(1，2，w3)，(1，w2，3)，(w1，2，3)，(1，2，3)有两个a的情况为(1，w2，w3)，(w1，2，w3)，(w1，w2，3)，共3种，从而其概率为p.答案：4一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是_解析：小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为.答案：5(2014杭州联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是_解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率p.122333123344423445552344555345566634556663455666答案：6(2014宣武模拟)曲线c的方程为1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件a“方程1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么p(a)_.解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则mn，又只剩下一半情况，即有15种，因此p(a).答案：7某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级12345频率0.05m0.150.35n(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率解：(1)由频率分布表得0.05m0.150.35n1，即mn0.45.由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n0.1，所以m0.450.10.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2.从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10种记事件a为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”则a包含的基本事件有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4种故所求概率为p(a)0.4.8将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”设复数为zabi.(1)若集合az|z为纯虚数，用列举法表示集合a；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2(b6)29”的概率解：(1)a6i,7i,8i,9i(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2(b6)29”的事件为b.当a0时，b6,7,8,9满足a2(b6)29；当a1时，b6,7,8满足a2(b6)29；当a2时，b6,7,8满足a2(b6)29；当a3时，b6满足a2(b6)29.即b为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个所以所求概率p.第组：重点选做题(2013陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别abcde人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从b组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：组别abcde人数5010015015050抽取人数6(2) 在(1)中，若a，b两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1人，求这2人都支持1号歌手的概率解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：组别abcde人数5010015015050抽取人数36993(2)记从a组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从b组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手从a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率p.第三节几_何_概_型1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的概率公式p(a)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的试一试1在长为6 m的木棒ab上任取一点p，使点p到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是_解析：将木棒三等分，当p位于中间一段时，到两端a，b的距离大于2 m，p.答案：2四边形abcd为长方形，ab2，bc1，o为ab的中点，在长方形abcd内随机取一点，取到的点到o的距离大于1的概率为_解析：如图，要使图中的点到o的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为p1.答案：1几何概型的常见类型的判断方法1与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；2与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；3与体积有关的几何概型(方法参见考点二“类题通法”)练一练1.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为_解析：设阴影区域的面积为s，则，s.答案：2若不等式组表示的平面区域为m，(x4)2y21表示的平面区域为n，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域n内的概率是_解析：如图所示：p.答案：考点一与长度、角度有关的几何概型1(2014石家庄模拟)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为_解析：如图，设圆的半径为r，圆心为o，ab为圆的一条直径，cd为垂直ab的一条弦，垂足为m，若cd为圆内接正三角形的一条边，则o到cd的距离为，设ef为与cd平行且到圆心o距离为的弦，交直径ab于点n，所以当过ab上的点且垂直ab的弦的长度超过cd时，该点在线段mn上变化，所以所求概率p.答案：2.(2014北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线ot落在30角的终边上，任作一条射线oa，则射线oa落在yot内的概率为_解析：如题图，因为射线oa在坐标系内是等可能分布的，则oa落在yot内的概率为.答案：3(2013福建高考)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_解