概率实用题目.doc

第一部分：概率论基本概念（包括随机试验、概率定义、独立性、全概率公式与贝叶斯公式、二项概率公式等内容） 1.设1,2,10，A2,3,4，B=3，4，5，C5，6，7，具体写出下列各等式。（1）B （2） （3） （4） （5）2设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来。（1）A发生，B、C不发生；（2）A、B都发生，而C不发生；（3）所有三个事件都发生；（4）三个事件都不发生；（5）三个事件中恰有一个发生；（6）三个事件中至少有一个发生；（7）三个事件中至少有两个发生；（8）不多于一个事件发生。3抽查4件产品，设A表示“至少有一件次品”，B表示“次品不少于两件”，问各表示件？4甲乙两炮同时向一架飞机射击，已知甲炮击中的概率为0.6，乙炮击中的概率为0.5，甲乙两炮都击中的概率为0.3，求飞机被击中的概率是什么？5从一付扑克牌中任取4张，求至少有一张A的概率是多少？若从无大小王牌的52张中任取一张，求这一张恰是A的概率是多少？6为了减少比赛场次，把20个球队分成两组（每组10队）进行比赛，求最强的两队被分在不同组内的概率？分在相同组内的概率？7房间内有4个人，问至少一个人的生日是12月份的概率是多少？至少两个人的生日是同一个月的概率是多少？8有三个班级，每班在一个星期的六天中安排到某游泳池游泳一次，如果游泳日可以随机安排，求三个班在不同三天游泳的概率。910个零件中有3个次品，7个合格品，从中任取一个不放回，求第三次才取得合格品的概率是多少？10某城市的两家主要银行为争取城市居民存款储户展开竞争。已知银行甲争取到20万户的可能性为0.6，银行乙争取到20万户的可能性为0.5，又知当银行乙争取到20万户时银行甲也争取到20万户的可能性为0.3，求（1）当银行甲争取到20万户时银行乙也争取到20万户的概率；（2）甲、乙银行同时争取到20万户的概率。11甲、乙两家银行在年内计划贷款额被突破的概率分别为0.1和0.13，求在年内这两家银行计划贷款额均未突破的概率。12审计局审核一个企业在某年内流动资金帐目。为了保证审核的可靠性，由甲、乙、丙三人同时审核。若他们三人审核的正确率为0.98，0.85，0.8。求（1）他们三人都能审核正确的概率；（2）他们三人中至少有一人审核正确的概率。13某银行办事处甲、乙二人点钞票的准确率分别为98，99，甲点后乙复点，然后加封，求取出一捆现金不出差错的概率。14某光学仪器厂制造透镜，为保证质量透镜出厂前做“落下地”破坏性检查，已知第一次落下时打破的概率为，第二次落下时打破的概率为，第三次落下时打破的概率为，如果透镜落下不超过三次，求透镜打破的概率是多少。15加工某种零件要经过两道工序，第一道工序出现合格品的概率为0.9，次品率为0.1。第一道工序生产合格品在第二道工序加工出现的合格品率为0.8，废品率为0.2，第一道工序生产的次品在第二道工序中出现的次品的概率为0.6，废品率为0.4，求经过两道工序加工出现的零件是合格品，次品和废品的概率各是多少？16乒乓球单打比赛规定，在五局比赛中胜三局的运动员为胜，甲乙两名运动员在每一局比赛中，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，当比赛进行了二局时，甲以2:0领先，求在以后的比赛中甲获胜的概率是多少？17要检验一批乐器共100件，从中随机抽取3件来测试（三件乐器的测试是相互独立的），如果发现被测试的3件乐器中任意一件音色不纯，则拒绝接收这批乐器，设一件音色不纯的乐器测试时查出的概率为0.95，而一件音色纯的乐器测试时认为不纯的概率为0.01，如果这100件乐器中有4件是音色不纯的，求这批乐器被接收的概率是多少？18某球队参加比赛，晴天时获胜的概率为，雨天时获胜的概率为，雪天获胜的概率为，对于下一次比赛日的天气预报是，晴天的概率为，雨天的概率为，雪天的概率为。那么这个球队在下次比赛中获胜的概率是多少？1910个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先、乙次、丙最后。求（1）甲抽到难签；（2）甲、乙都抽到难签；（3）甲没抽到难签而乙抽到难签；（4）甲、乙、丙都抽到难签；（5）乙抽到难签；（6）丙抽到难签的概率。20某物品成箱出售，每箱20件，假设各箱中含0，1件次品的概率分别为0.8和0.2，一顾客在购买时，他可以开箱，从箱中任取3件检查，当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱物品，否则退货。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）已知顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率。21两台车床加工同样的产品，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台车床加工出来的产品数量为第二台的二倍，若将两台车床加工出来的产品放在一起，求从中任取一件产品是合格品的概率，又若取出来的是废品，问它是第二台车床加工出来的概率是多少？22有一种检验某种疾病的化验方法，在被检验者患有该种疾病时，化验结果为阳性的概率为0.9，在被检验者不患有该种疾病时，化验结果为阳性的概率是0.01，设居民中患有该种疾病的概率为1/2000，试问某人化验结果为阳性而他确实患有该种疾病的概率是多少？23某保险公司把被保险的人分成三类，“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05、0.15和0.30，如果被保险人“谨慎的”占20，“一般的”占50，“冒失的”占30，现已知被保险人在一年内出了事故，问它是“谨慎的”客户的概率是多少？24设某专柜某日的现金发生额中，来源于金库的现金额占10，来源于收付现金额占90，且知来源于金库的现金差错率为0.0001，收支现金差错率为0.0005，此日结束营业时清理现金。求现金出现差错的概率；差错来源于金库的概率。2512个乒乓球中九个新的，三个旧的，第一次比赛时，同时取出了三个，用完后放回去，第二次比赛又同时取出三个，求第二次取的三个球都是新球的概率。26如下图所示开关电路中，开关a，b，c，d，开或关的概率均为，且是相互独立的，求（1）灯亮的概率；（2）已见灯视，开关a与b同时关闭的概率。27某产品中一、二、三等品各占80，15和5，现作有放回抽取，每次取一件，共取3件，试求以下各事件的概率。（1）三件都是一等品；（2）三件的等级全不相同；（3）三件的等级不全相同。28. 某建筑工地进来300根钢筋，其中有7根为次品，浇注混凝土梁，每根梁用3根受力筋，试求：1）梁中受力筋均为次品的概率，2）梁中至少有一根钢筋为次品的概率。29. (约会问题) 两种有毒微生物在任何相等的时段中进入某一特定水体内是等可能的，它们在水体中的寿命均为，现在，对这一水体进行分析，如果两种微生物同时存在，就认为水体受到污染，求在时段内水体被认为污染的概率。30. 某测试中心建筑群，其中有70%的建筑面积需要恒温空调，有20%的建筑面积需要洁净空调，现已知测试中心的总空调面积占建筑面积的85%，求既需恒温空调又需洁净空调的建筑面积。31. 用4个螺栓将牛腿连于钢柱上来承受拉力，现有50个螺栓，已知其中混有5个强度较弱的，如取的4个螺栓中，有2个或2个以上是强度较弱的，则牛腿承载力不够，问取出的4个螺栓使牛腿有足够承载力的概率是多少?32. 某水厂由甲、乙两个取水泵站供水，甲泵站因事故停车的概率为0015，乙泵站因事故停车的概率为002，问水厂全停产的概率为多少?(甲，乙泵站互无影响)33. 某城市有100口水井，其中有14口水井受到严重污染，今有某环境保护局对这个城市的水井污染情况进行调查，他们从中依次任选四口水井来检查，求挑选的四口水井都受到严重污染的概率。34. 某混凝土预制车间有1*，2*，3*三个养护坑，同时养护同一批构件，其产量分别占20，40，40，构件养护8小时后出池，进行非破损抽样检验，由经验得知这三个养护坑的出池强度小于70设计强度的百分率分别为2，3，4。今在总产品中任取一件，结果为强度小于70设计强度的构件，求该产品分别为1*，2*，3*养护坑养护的概率。35. 某建筑工地有一项工程由三个不同工种的班组施工，即瓦工班，木工班，打混凝土班，各个班组以往按期交工的概率分别为0.89，0.96、0.97，按照施工组织计划及可采取的措施，如果一个班组按期交工，工程按期完工的概率是0.3，两个班组按期交工，工程按期完工的概率是0.85，求工程按期完工的概率(假定各个班组的工作互相独立)。36. 预制钢筋混凝土构件的生产，分四个大的工序，即绑扎钢筋，支模板，搅拌混凝土，浇筑混凝土。某预制厂对其质量的检验，这四个工序施工质量不合格的概率分别是002，0018，0025，0028，可认为这几个工序彼此无关，求这个预制厂生产的构件不合格的概率。（构件合格要求四个工序施工质量都合格）37. 某厂生产一种散热器，出厂前进行水压试验，能承压6kgfcm2的概率为0，95，能承压8kgfcm2的概率为0，92；达到承压6kgfcm2方可出厂，问出厂的散热器能承压8kgfcm2的概率是多少?38. 某河岸边有一取水构筑物，一年中被洪水淹没或因枯水而出现停止供水的概率为3%，如果每年的洪水与枯水不受前些年的影响，即为独立事件，试求（1）一“10年内有二年出现停产”的概率；（2）“10年内至少有一年出现停产”的概率。39. 在交通工程学中，需调查某路段上每天汽车事故发生的概率。设每一辆汽车一天内的事故率为110000，如果每天有1000辆车通过这一路段，求该路段每天至少出一次事故的概率。40. 设某地一年内发生五级以上地震的概率为，如果每年地震是独立的（即这年是否发生地震不受前些年的影响），试求：（1）“10年内有3年发震”的概率；（2）“10年内至少有一年发震”的概率。（3）问至少要多少年，才能以99以上的概率，保证至少有一年发震。41. 钢筋的强度极限，在拉伸试验中，试件强度时为合格品，否则为次品，今有试件50个，次品率为10，从中任取3件，求这3件试件中的次品数的概率分布表。42. 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.43. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率44. 某种产品分正品和次品，次品不许出厂。出厂的产品件装一箱，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求： （1）取出的是件正品的概率； （2）这一箱里没有次品的概率45. 袋中有3只红球、2只白球，每取一只不放回，任取两只，求下列事件的概率：（1）恰有一次取到红球；（2）第二次取到红球。46. 袋中有白球4只、红球2只，随机抽取两次，每次取1只（不放回）。求在第一次取出的是白球的条件下，第二次取出的也是白球的概率。 47. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件，求下列事件的概率：（1）恰有一件次品；（2）至少有一件次品；（3）至多有两件次品。48. 某牌号的电视机使用到3万小时的概率为0.6，使用到5万小时的概率为0.24，一台电视机已使用到3万小时，求这台电视机使用到5万小时的概率。49. 有10个学生按先后顺序采取抽签的方式分配3张音乐会入场券，求第五个学生抽到入场券的概率。50. 编号为1，2，3的三台仪器正在工作的概率分别为0.9,0.8和0.4,从中任选一台（1） 求此台仪器正在工作的概率；已知选到的仪器正在工作，求它编号为2的概率51.某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回。求放回后仍为“MAXAM”的概率。52.（1）设有4个独立工作的元件1，2，3，4.它们的可靠性分别为将它们按图（1）的方式联接（称为并串联系统）；（2）设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5.它们的可靠性均为将它们按图（2）的方式联接（称为桥式系统）；试分别求这两个系统的可靠性。 图（2） 图（1）53.如果一危险情况发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，以发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。54.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？55.设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率；（2）求有一只蓝球一只白球的概率；（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。56.A、B、C三人在同一办公室工作。房间里有三部电话。据统计知，打给A、B、C的电话的概率分别为2/5，2/5，1/5.他们三人常因工作外出，A、B、C三人外出的概率分别为1/2，1/4，1/4。设三人的行动相互独立。求（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间段打进3个电话，求（3）这3个电话打给同一个人的概率；（4）这3个电话打给不相同的人的概率；（5）这3个电话打给B，而B却都不在的概率。57.袋中装有只正品硬币、只次品硬币（次品硬币的两面印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？58.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。59.设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%（这一事件记为），损坏10%（事件），损坏90%（事件）。且知。现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的（这一事件记为）。试求（这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率）。60.将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其它一字母的概率都是今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的。）61.7个人坐成一圆圈共有多少种坐法，（a）他们可以随意坐，（b）其中二人必须靠在一起。62设有个人，每个人都等可能地被分配到个房间中的任意一间去住（），求下列事件的概率：（1）指定的个房间各有一个人住；（2）恰好有个房间，其中各住一个人。63.某人有一串把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门。有一天该人酒醉后回家，下意识地每次从把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第次才把门打开的概率多大？64.（会面问题）甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。65.某店内有4名售货员，据经验每名售货员平均在一小时内只用秤15分钟，问该店配置几台秤较为合理？66.10把钥匙中有3把能打开门，现任取2把，求能打开门的概率。67.袋内装有两个5分、三个2分、五个1分的硬币，任取5个，求总数超过1角的概率。68.为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效概率，系统A为0.92，系统B为0.93.在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85。求:1、发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；2、B失灵的条件下，A效的概率。 69.10个考签中有4个难签，三个人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次之，丙最后。证明三人抽到难签的概率相等。70.已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。现从男女人数相等的人群中任选一人。1、求此人是色盲患者的概率；2、若此人确是色盲患者，求此人是男性的概率。 71.有一箱同类型的产品是由三家工厂所生产的，已知其中有1/2的产品是甲厂生产的，其中1/3是乙厂生产的，1/6是丙厂生产的，又知甲、乙、丙三厂的产品的次品率分别为2、3和；3，现从箱中任取一个产品。1、求取出的产品是次品的概率；2、若取出的产品确实是次品，求它是由甲厂生产的概率。 72.一口袋里有4只白球，2只红球，它们除颜色外无差别，现从袋中任取两球，每次取一只，第一次取一球观察其颜色后放回袋中，第二次再从袋中取一球，则取到两球都是白球的概率。 73.甲、乙两人同时射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，两人。求:1、两人都中靶的概率；2、甲中、乙不中的概率；3、甲不中、乙中的概率。 74.设三台机床正常工作的概率分别为0.95、0.9、0.85。求1、三台机床都正常工作的概率；2、三台机床至少有一台正常工作的概率。 75.某机构有一个9个人组成的顾问小组，每一位顾问贡献正确意见的百分比是0.7。现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率。第二部分：随机变量及其函数的分布(包括一维、二维离散型和连续性随机变量的定义与分布、随机变量函数的分布等内容)1设随机变量X的分布列为： （k=0，1，2，）0为常数，试确定常数a。2设随机变量X的分布列为（k=1，2，N）试确定常数a。3某批产品共100件，其中有10件次品。从中任意抽取5件（不放回），求其中次品件数的概率分布。4一盒中有5块一元钱硬币，编号为：1，2，3，4，5。在其中等可能地任取3个，用X表示取出的3个硬币钱上的最大号码，求随机变量X的分布列。5对某一目标进行射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为p，求射击次数的分布列。6将一颗骰子连掷两次，以X表示两次所得点数之和，试写出随机变量X的分布列。7进行某种试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布列，并计算X取偶数的概率。8设某种治疗流行性感冒的新药的治愈率为，现在50名流行性感冒的患者中试服此药，试写出治愈人数的概率分布。9从发芽率为0.99的种子里随机地取100粒，求发芽粒数不少于97粒的概率。10一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有两个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？11有一个繁忙的汽车站，有大量的汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0002，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）12设随机变量X的分布函数为：试求：（1）系数A；（2）随机变量落在（0.3，0.7）内的概率；（3）随机变量X的分布密度；13随机变量X的分布函数为：F（x）ABarctgx （x）试求：（1）系数A及B；（2）X落在区间（1，1）内的概率；（3）X的分布密度。14随机变量X的概率密度为：试求：（1）系数A；（2）随机变量X落在区间（，）内的概率；（3）X的分布函数。15公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过3分钟的概率。16测量某一目标的距离时，发生的随机误差X（米）具有分布密度求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率。17设随机变量X的概率密度为：试求：（1）系数A；（2）作分布密度函数的图形；（3）X的分布函数及其图形；（4）X落在区间（0， ）内的概率。18函数sinx是否为随机变量X的概率密度？如果X的取值可能充满区间：（1）0， （2）0， （3）0，？19设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率。20设XN（0，1），求（1）PX1.76 （3）PX-0.78 （4）P|X|2.521设XN（3，22），试求：（1）P2X5 （2）P2XCPXC22某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布，期望值为10.2，且具有3.2的标准差，求这些公司股东所持有的股票利润率在1517.5之间的概率。23（1）设0.01，求标准正态分布的上100百分位点Z及双侧100百分位点。 （2）设设0.03，求Z及。24一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为160的正态分布，若要求P120X200=0.8，问允许最大为多少？25设X的分布列为：X2024P求：（1）X2； （2）X1； （3）X2的分布列。26设随机变量X的概率密度为求函数y3X+1的概率密度。27测量圆的直径，设其近似值在区间a、b内服从均匀分布，（a0，b0），求圆面积的概率分布。28设随机变量X的概率密度为：求随机变量函数Y=1nX的分布密度。29由统计物理学知道，分子运动的速率X遵从麦克斯韦分布，即密度函数为其中参数0，求分子动能Y的密度函数。30设1nXN（1，22），求PX2，（1n2=0.693）31. 某厂生产的混凝土预制板，从过去试验的大量资料得知该厂预制板承受的弯矩服从正态分布，即，单位：，试求弯矩落于435，465的概率。32. 某厂房采用实腹钢吊车梁，设计梁高800mm，制造厂为此生产出的一批梁的，高度服从正态分布，如果钢结构梁高允许偏差3mm，求梁高不符合要求的概率。33. 在同种条件下生产同一配比的钢筋混凝土构件，其强度X服从正态分布，求离差取为，时的强度保证率。34. 设随机变量的联合密度函数 求 (1)常数A ；(2)条件密度函数；(3)讨论,的相关性35. 设随机变量(均匀分布)，(指数分布)，且它们相互独立，试求的密度函数.36. 设随机变量与相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，证明仍服从泊松分布，参数为6. 37.设随机变量与相互独立，分别服从参数为的指数分布，试求的密度函数. 38. 设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机变量与相互独立.39. 设二维随机变量（X,Y）在区域 上服从均匀分布。求：边缘密度函数.40. 一整数X随机地在1，2，3，4四个整数中取一个值，另一整数Y随机地在1X中取一个值。试求（X，Y）的联合分布。41. 若连续机变量X的概率密度F(x)= ，求随机变量Y=lnX的概率密度。42. 设XN（0，1）求Y=X2的概率密度。43. 随机变量的密度函数为 试求 （1）系数； （2）分布函数； （3）概率44. 设随机变量(均匀分布)，(指数分布)，且它们相互独立，计算45. 设随机事件A与B相互独立，证明与也相互独立.第三部分：随机变量的数字特征（包括数学期望、方差、协方差、相关系数、矩以及协方差矩阵等内容）1随机变量的分布律为：X102P0.40.30.3求：E（X），E（X2），E（3X22）2某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350米，又知航空测量的误差随机变量X的分布列为：X（米）3020100102030P0.050.080.160.420.160.080.05而场地边长随机变量等于边长的数学期望于测量误差之和，即Y=350+X,求场地面积的数学期望。3两射击手进行射击测验，成绩按1分、2分、3分评定，甲、乙两人得分随机变量的分布列如下：分数123P0.40.10.5分数123 P0.10.60.3比较两射手的水平高低。4某银行开办有奖储蓄，每张面额5元，每1000张为一组，每组设头奖1张，奖金400元；二等奖10张，奖金5元；三等奖100张，奖金5元；四等奖1000张，奖金1元；其余无奖。列出得奖金额随机变量X的分布列并求E（X）。5设X的分布密度为： b0求E（X），D（X）6设X的分布密度为f(x)Ke2K|x|，其中K为常数且K0，求E（X），E（X2）。7有一队射手共9人，每人每次射击中靶的概率为0.80。独立进行射击，各自打中靶为止，但限制最多只打三发子弹，问至少需要为他们准备多少发子弹。8若X、Y相互独立，求证：D（XY）D（X）D（Y）E（X）2D（Y）E（Y）2D（X）9设X的分布密度为：求E（X）及D（X）。10设X、Y分别表示甲、乙两台车床加工10000个零件的废品数，X、Y的分布如下：X0123P0.60.20.10.1Y0123P0.50.30.20试比较甲、乙两台车床的优劣，并求方差。11设X服从B（n，p）分布（二项），若已知E（X）12，D（X）8，求p和n。12设X的分布密度为：求E（X）、D（X）。13设X的分布密度为14流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率为p，当生产出K个不合格品时即停工检修一次，求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。15设随机变量X具有密度函数求EX及DX。16设随机变量X服从（，）上的均匀分布，求YsinX的数学期望与方差。17滚珠直径的额定尺寸为10mm，允许范围为9.9mm至10.1mm，滚珠用比重为7.8克/cm3的钢制成，假设滚珠直径在允许范围内服从均匀分布，求滚珠重量的数字期望和方差。18一批零件中有9个合格品与3个废品，在安装机器时，从这批零件中任取1个，如果取出的是废品就不再放回去。求在取得合格品以前，已经取出的废品数的数字期望和方差。19随机变量Y和另一个随机变量X的函数，并且YeX（0），若E（Y）存在，求证对任何实数a都有PxeE（ex）20证明事件在一次试中发生次数的方差不超过。21. 供热研究室要建广个自动测试散热的传热系数为矗的试验台，由于测试经常是在连续几天的情况下进行的，故对试验台中的一类电子管有如下要求：该电子管的连续工作。寿命X(以小时计)要服从参数J：160的正态分布，现已知某厂生产的电子管满足这一要求，试问这个厂生产的电子管所允许的均方差为多少?22. 已知随机变量，试求：方差，协方差，相关系数23. 如果服从0-1分布, 又知取1的概率为它取0的概率的两倍, 求的期望值24. 矩形土地的长与宽为随机变量和, 周长=2+2, 与的分布律如下表所示:长度293031P0.30.50.2宽度192021P0.30.40.3而求出的周长的分布律如下表所示:周长9698100102104P0.090.270.350.230.06求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算.25. 连续型随机变量的概率密度为又知E=0.75, 求k和a的值。26. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较.第一次发生引擎故障里数车辆数第一次发生引擎故障里数车辆数02051001204620401112014033406016140160166080251601802801003427. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值(计算时以组中值为代表).公顷产量(kg)43504650465049504950525052505550总计种子甲公顷数12384010100种子乙公顷数2324302310028. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g, 标准差为1g. 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立)29. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.30. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 在安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是废品就不再放回去. 求取得第一个合格品之前, 已经取出的废品数的数学期望和方差.31. 假定每人生日在各个月份的机会是同样的, 求3个人中生日在第一个季度的平均人数.32. 有分布函数, 求E及D.33. , 求E和D.34. 如果与独立, 不求出的分布直接从的分布和的分布能否计算出D(), 怎样计算?35. 随机变量是另一个随机变量的函数, 并且=e(0), 若E存在, 求证对于任何实数a都有.36. 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.37. 证明对于任何常数c, 随机变量有D=E(-c)2-(E-c)238. (,)的联合概率密度(x,y)=e-(x+y)(x,y0), 计算它们的协方差cov(,)。39. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以, 分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求与的协方差.40. (,)只取下列数组中的值：且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 求与的相关系数, 并判断与是否独立?41. (,)的联合概率分布如下表所示, 计算与的相关系数, 并判断与是否独立? -101-11/81/81/801/801/811/81/81/842 .两个随机变量与, 已知D=25, D=36, =0.4, 计算D(+)。第四部分：大数定律 中心极限定理1.用切贝谢夫不等式估计下列各题的概率：（1） 废品率为0.03 ，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。（2） 200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为佳0.5）。2用推论计算上题的概率。3如果是n个相互独立，同分布的随机变量，E（）=，(i=1,2,n)， 对于，写出所满足的切贝谢夫不等式，并估计。4一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，估计P10X185.袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为本100g ，标准差为本10g ，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于20.5 kg 的改率。6用拉普拉斯定理的推论近似计算从一批废品率为0.05 的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率。7生产灯泡的合格率为0.6 ,求10000个灯泡中合格灯泡数在5800 6200 的概率。8从大批发芽率为0.9 的种子中随意抽取1000粒，试估计这1000粒种子发芽率不低于0.88 的概率。9某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7 ,假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15 个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。10一大批种蛋中，良种蛋占80% ，从中任取500枚，求其中良种蛋率未超过81% 的概率。11某商店负责供应某地区1000人商品。某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6 ,假定在这一段时间各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。12一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1 ,为了使整个系统起作用，至少需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。13计算机在进行加法是每个加数取整数（取最为接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在-0.5 ,0.5上服从均匀分布。(1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少。（2）最多几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不超过90% 。14设有30个电子器件，它们的使用寿命（单位：小时）服从=0.1的指数分布。其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用，。令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率。15上题中的电子器件若每件a元，那么在年计划中至少需多少元才能有95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）。16在一家保险公司里有10000个人参加保险。每人每年付12员保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006 ，死亡时其家属可向保险公司领得1000元抚恤金。问：(1)保险公司亏本的概率多大？(2)保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大？17某螺丝钉厂的不合格率为0.01，问一盒中至少应装多少只螺丝钉才能使其中至少含有100只合格品的概率不小于0.95？18. 某彩电公司每月生产20万台背投彩电，次品率为0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为0.01. 试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率.19. 某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 20. 学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20、70、10。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。（）21. 设为连续型随机变量，的密度函数当时恒为零，且数学期望存在。证明：对任意常数，有 第五部分：数理统计（包括数理统计的基本概念、参数估计以及假设检验等内容）1.从各总体中随机地抽取若干样本单元，测得其值为：（1）2781 2836 2807 2763 2858；（2）221 191 202 205 236；（3）11.05 10.95 11.00 11.02 10.99 10.00 10.99 10.97 11.02 10.98（4）1061 1065 1092 1017 1021 1138 1143 1094 1270 1028 试用顺序统计量法估计各总体的均值和均方差。2已知某种木材的横纹抗压力服从正态分布，今从一批这种木材中，随机地抽取10根样品，测得它们的抗压值（单位：公斤厘米2）为：482 493 457 471 510 446 435 418 394 469试求这批木材均值和均方差的估计值。3已知某校一年级学生期末的数学成绩服从正态分布，今从该年级中任意抽取40名学生，他们的数学成绩（单位：分）为：90.8 83.6 72.2 87.1 64.8 74.7 85.0 88.371.2 66.0 88.2 95.8 78.6 67.4 85.6 73.294.2 84.8 74.8 86.8 77.7 87.6 66.7 76.485.9 71.1 54.7 87.0 97.8 76.8 68.4 83.387.4 61.9 64.8 78.6 84.6 65.8 75.6 50.6试求该年级学生数学成绩的均值和均方差的估计值。4设某厂生产一批钉子长度服从正态分布。今从这批钉子中，任意抽取16只，测得它们的长度（单位：厘米）为：2.14 2.10 2.13 1.25 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11试用矩估计法求这批钉子的均值和方差的估计值5已知总体X在a，b上服从均匀分布其中ab，试用矩估计法求a与b的估计量。6一批产品中含有废品，今从中随机抽取85只，发现废品5只。试用极大似然估计废品率。7设某种设备的使用寿命服从指数分布，其分布密度为Px, e-x （x0，0） 今从一批该种设备中随机地抽取20台，测得它们的使用寿命值（单位：小时）为：20 35 39 52 69 105 136 150 280 300330 450 460 570 630 180 200 230 820 1150试求参数的极大似然估计值。8设某种灯泡的使用寿命XN（，2），今从一批这种灯泡中，任意抽取10只，测得它们的使用寿命值（单位：小时）为：1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948试用极大似然法估计这批灯炮使用寿命的均值和方差，并求灯泡使用1300小时以上的概率。9设总体X的分布密度为：（马克斯韦尔分布）其中a0，试对取自总体X的一组样本值x1，x2，xn，求a的极大似然估计值。10设总体X的期望E（X）方差D（X）都存在，X1，X2，X3是取自总体X的一个样本，试证统计量（1）1（X1，X2，X3）；（2）2（X1，X2，X3）；（3）3（X1，X2，X3）。都是总体X期望的无偏估计量，并说明哪个是最有效的估计量。11设X1，X2，Xn是泊松公布P（）的一组样本，试证：样本方差S2是参数的无偏估计量，并且对任一常数a（0a1），统计量也是的无偏估计量，这里是样本均值。12设X1，X2，Xn是取自正态总体N（，2）的一个样本，试求K值，使统计量为方差2的无偏估计量13试证（01）分布P（xp，）px（1-p）1-x （x=0, 1）的样本平均值是总体均值pE（X）的无偏估计量。14设x1，x2，xn是取自正态总体的一组样本值（其中期望已知），试用极大似然法求参数2的估计值。15设总体X服从拉普拉斯分布：P（x，）= x其中0，若取得样本值x1，x2，xn，求：（1）期望E（|X|）和E（|X2|）；（2）参数的极大似然估计值。16从正态总体N（40，82）中，任意抽取容量为25的样本，求样本均值在39到44之间的概率。17从正态总体N（80，202）中，任意抽取容量为100的样本，求样本平均值与总体均值之差绝对值大于3的概率。18设总体X服从正态分布N（20，82），任意抽取容量为16的样本，试求方差小于19.63的概率。19设总体X服从正态分布N（0，0.32），X1，X2，X11是取自总体X的一个样本，试求20设X1，X2，X16是取自总体N（15，2）的一组样本，测得其样本值的方差s2=4，试求样本平均值与总体均值之差小于1.065的概率。21查表计算：F0.025（7，8），F0.05（12，16），F0.01（12，22），F0.975（24，12），F0.95（12，4），F0.99（8，12）的值。22设有A、B两位化验员，独立地对某种聚合物的含氯量用同样的方法各做25次测定，其测定的方差s2依次为：0.542，0.607，试求两个测定数据总体方差比小于1.77的概率。2