小波分析综述.doc

小波变换在图像处理中的应用班级：Y080403学号：08169姓名：张碧伟一.小波分析综述1.1小波分析产生的背景与Fourier分析和Gabor变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取局部信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析。解决了Fourier分析不能解决的许多问题。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样条分析和数值分析的完美结晶;信号和信息处理专家认为，小波分析是时间一尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了具有科学意义和应用价值的成果。与Fourier分析和Gabor变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分、低频处频率细分(实际就是时间粗分)，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier分析以来在科学方法上的重大突破。小波变换继承和发展了Gabor变换的局部化思想，基本思想来源于可变窗口的伸缩和平移。小波分析理论作为时频分析工具，在信号分析和处理中得到了很好地运用。平面图像可以看成二维信号，因此，小波分析很自然地被运用到图像处理领域。Fourier变换的作用是将时(空)域信号转变成频域信号，在频域上对原信号的频谱进行分析，以便对原信号进行去噪、平滑和压缩等处理以及信号分解等分析工作。Fourier变换具有许多重要性质，如卷积性质和能量守恒性质等。这些性质对信号处理既非常有用，又非常方便。但Fourier分析并非完美无缺。Fourier分析在分析信号频谱时的缺陷是：Fourier分析适合从整个时域(空域)上分析信号的频谱信息，却不适合分析信号在局部的频率变化情况，尤其是局部发生突变的信号。这从Fourier变换的表达式中不含时域(空域)变量这一点可以看出。为了使Fourier变换同时也能刻画函数的局部特征，人们引入了窗口Fourier变换(又称短Fourier变换) 窗口Fourier变换有其固有的缺陷，其窗口的大小(宽度)是固定不变的。这与设立窗口的初衷不完全相符，事实上，在函数变化较快的地方需要较窄的窗口;而在变化较慢的地方需要较宽的窗口。如图1. 1所示。如何构造一种随原函数的频率变化而变化的窗口函数，这从理论上要求将Fourier变换的核函数与窗口函数棵合在一起考虑，这样就导致了小波的产生。目前小波分析已经被运用到图像处理的几乎所有分支。但在某些方面的应用并没有达到很完美的程度;另一方面，不断地有一些关于小波的新的应用出现。本文给出了小波在某些图像处理中的应用结果。1.2小波分析在图像处理中的应用概述小波分析是一种频域分析工具，和Fourier分析一样，主要用于信号处理。当把图像看成二维信号时，小波分析即可用于图像处理。由于小波分析的时频局部化特性和二维可分离小波变换的性质，小波分析在图像处理中的应用从纯图像处理的角度分，主要包括以下几个方面:(1)图像预处理，(2)图像编码与压缩，(3)边缘检测与图像分割，(4)特征抽取与图像分类。1.2.1图像预处理由小波的分解与重构算法知，小波分解后包括两部分:低频部分和高频部分。低频部分可以看成对原图像的平滑，而高频部分刻画了原图像在大尺度下的边缘信息。因此，小波变换可用于图像的平滑、去噪以及图像增强等预处理。1.2.2图像编码与压缩以二进小波为例，一次小波变换将一幅图像分解为四幅子图像。四幅子图像的数据量总和与原图像相同，此时的小波变换不会对原始图像有任何信息的损失。除了低频图像具有和原图像相同的编码率外，其余三幅高频子图像的信息熵明显下降，因而有利于提高图像的压缩比。因此基于小波变换的编码方法也称为变换域编码或频率域编码，静态图像压缩标准JPEG2000就使用了基于小波的图像编码方法。小波变换编码是一种很好的图像变换编码.传统的小波编码方法为 Shapiro的EZW算法。它被认为是静态图象变换编码领域迄今为止最好的算法之一。基于频域的数据压缩原理如下： 对于经过量化的小波变换系数的分布研究表明，其概率分布特别适合于Huffman编码。由于高频子图像中包含很多连“0，因此，可以将0长度游程与Huffman编码结合起来作为编码方案。对水平方向细节信息采用纵向编码，对垂直方向细节信息采用横向编码，对角方向细节信息沿反对角方向编码。可获得较高的编码率。具有代表性的小波变换域编码方法是小波零树编码(EZW).1.2.3图像分割与边缘检测经过小波变换可以获得基于小波的多尺度特征，而利用小波分析的局部化特性，可以获得不同尺度下的邻域特征。根据这些小波特征可进行模式分类图像分割的目的。另一方面，利用小波分解后的高频信息，可以获得图像在不同尺度下的边缘特征，从而为多尺度边缘检测提供了新的思路。多尺度边缘检测是可靠地检测边缘的主流方法。小波分析具有的多分辨特性和时 频局部化特性为多尺度边缘检测提供了新的手段。目前，基于小波分析的图像分割与边缘检测方法可以分为两大类：一类是基于滤波器尺度的多尺度图像分割方法。这一类方法又可以分成两种:一种是直接构造边缘算子作用于原图像函数以检测边缘，另一种首先通过小波变换获得图像的多尺度特征，然后对象素进行分类，根据分类结果再进行分割。另一类是构造基于像素点处的尺寸及灰度级差的多尺度函数，并以此函数构造边缘映射。这种方法集成了边界和区域处的特征信息，具有潜在的研究价值。基于小波分析的图像分割与边缘检测涉及以下几个方面：尺度的选择，闽值的选择和小波基的选择。数字水印是信息隐藏技术的一个分支。其主要应用领域包括版权保护、加指纹、标题与注释、篡改提示、使用控制等等。二 小波变换在图像数据压缩中的应用2.1 编码与压缩概述由于小波具有多分辨率的特性，小波变换是将图像分解成不同的子带，而人眼对不同的频带，有不同的响应，这一点小波与人的视觉系统很相似。因此，基于小波变换的图像压缩成为一种新的图像压缩技术。实际的图像信号像素点间一般都具有相关性，相邻行、相邻列间的相关性最强，其相关系数呈指数规律递减。小波编码方法就是基于去除像素间的相关性，使信号的能量在变换域中更加集中，从而获得较好的压缩效果。（1）图像数据压缩主要是利用以下性质： 图像像素点间的相关性(空间及时间) 人眼的视觉特性(允许图像有一定误差) 变换域的能量集中特性(去相关性) 编码数据间的冗余度。（2）小波变换实现图像数据压缩的一般步骤：利用小波变换对图像数据进行压缩的具体过程主要分为以下两个步骤：对图像进行小波变换，对变换后的小波系数进行量化：利用二维离散小波变换将图像分解成低频分量和分别对于不同方向的高频细节分量。量化系数的编码：所得的低频分量和高频细节分量根据人眼的视觉特征分别做出不同策略的量化和编码处理。由于图像压缩的失真主要是在量化阶段产生的，因此对人眼最敏感的低频分量用无失真编码方法，如Huffman编码方法进行数据压缩：其它三个方向的高频分量可以采用小波编码技术进行压缩。小波变换用于图像数据压缩与重建的基本过程如下图所示。2.2 小波基的选取虽然选择最优小波基用于图像编码是一个非常棘手的问题，但是还存在一些设计标准，如平滑性、逼近精度、支撑大小和滤波器长度选择等。如何最佳的组合这些特征仍然有待于人们深入的研究。用于图像编码的最简单的小波是通过一维小波基平移、伸缩构建的独立小波基形式。图像数据的二维离散小波变换可以简化成一维来处理。对于NN的图像做小波变换；首先，将N行的图像分解成两部分：低通子图像N(N/2)和高通子图像N (N/2):然后分别对每个子图像的列再进行小波变换，分解成高通部分与低通部分的子图像。结果，一幅图像分解成四个部分：水平方向低通与垂直方向低通(LL)；水平方向的高通与垂直方向的低通(HL)；水平方向的低通与垂直方向的高通(LH)；水平方向的高通与垂直方向的高通(HH)。正交小波基的平滑性与消失矩(vanishing moments)对图像压缩效果有一定影响，并且平滑性的影响要高于消失矩。例如Harr小波基由于不连续，会造成恢复图像中出现方块效应，而采用其他平滑的小波基则会消去方块效应。在实际应用中，一般要选择具有平滑特性的小波基，同时为了简化计算，只考虑一阶和二阶导数连续的小波基。由于小波变换过程实际上是信号与滤波器卷积的过程，因此，滤波器的长度增加将导致卷积运算量增加：并且从边界延拓方面来看，滤波器长度越长，延拓的点数越多，造成图像恢复的失真也越大，应适中的选择滤波器长度。目前，人们普遍选择的Daubechies小波基所构成的7/9双正交滤波器(7为低通滤波器长度，9为高通滤波器长度)用于图像压缩编码。此外，双正交小波基所构成的滤波器的相位是线性的。这也是人们常选择双正交小波基的理由。2.3 边界延拓在进行小波变换时，图像的边界处理也影响图像编码效果。由于滤波器的非线性特性、图像数据具有有限长度、信号自身在边界附近的相关性、变换结果的亚抽样等原因，经过小波变换的滤波处理，必造成子带信号的数据点增加，引起边界外延，产生失真。信号的子带分析、重构系统必须满足下列两个条件：(1) 完全重构性:原始信号可以由它的子带信号完全重构。正交镜像滤波器组组成的系统是完全重构的系统。(2) 子带信号的数据点数的总和不应多于原始信号的数据点。对于无限长信号，它们的频带是严格受限的，根据抽样定理，对其子带信号进行严格抽样就能满足条件(1), (2)。然而，对于有限长度的信号，信号经小波变换滤波后，数据点的总和大于原始信号的数据点数，从而引起边界外延。如满足条件(1)的完全重构性，子带信号经严格抽样后数据点将不断增加，不能满足条件(2)。如果去掉因滤波而增加的点数以满足条件(2)，则由于信息的丢失，重构信件，但由于周期延拓使得边界不连续，对低比特率量化不利。可以对周期延拓方法进行改进，将原始信号首尾延拓(L一2)即： 采用周期延拓方法的重建图像质最最好，边界重复方法最差，对称周期延拓方法重建图像质量也比较不错。2.4 小波系数的量化量化技术就是将采样值按一定规则作近似表示，使经量化器输出的幅值大小为有限个数。对小波系数进行量化时将小波系数转化为字符流，使得所得到的字符流的熵足够小，以便在编码时得到低的比特率。目前采用的量化方法主要有以下四种：(1) 各子带变换系数均采用标量量化；(2) 各子带变换系数均采用矢量量化；(3) 分辨率最低的子带采用标量量化，其它子带采用矢量量化；(4) 小波系数零树法。在实现标量量化小波系数时，存在两种基本策略：(1) 如果预先知道每个子带的小波系数的分布，则可以采用信息嫡约束条件为每个子带建立最优量化器:(2) 一般来说，人们并不了解小波系数的分布，但通过一些辅助信息可以提供小波系数分布的参数描述。在实际使用中，最简单的量化器是一个带固定区(dead z one)的均匀量化器。量化器间隔区域如图所示，x=0间隔内编码范围大，其他地方为均匀量化，除了固定区间隔用-，表示，其他间隔为n，(n+1)，n为整数。在简单情况下，落入每个间隔的像素值被量化成间隔的中心值。如果小波系数对称性高，那么这种均匀量化器是最优的。特别是，固定区量化器具有降低编码复杂性和随小波系数分布变化的优点。这种编码方式在零树小波编码中能产生嵌入编码流。小波系数的零树量化法是一种利用相应子带间的相关性的量化方法，过程如下：(1) 根据预先设定的门限阈值，比较节点(小波系数)与门限阈值；(2) 如果节点值毫无意义(小于阈值)，则它的子系数忽略不计。这些忽略不计的系数在编码器中被当作零值编码；(3) 否则(节点大于或等于阈值)，继续到该节点的四个字节点，重复上述的(1) (3)过程；(4 ) 如果遇到节点是“叶节点”，不存在子节点时，回到下一个根节点，并重复(1) (3)过程；(5) 阈值减半，复(1) (4)过程。基于以上分析，可知，选择阈值的大小可以控制编码输出的系数，阈值越大压缩比越高，丢失的信息越多；反之，压缩比小，失真少。2.5 小波分解/重构级数虽然小波分解/重构的级数越多，产生的子带越多，对频带的划分越细，有利于编码；但是由于上一级(最高层)频带分解的信号输出又作为下一级(最低层)频带分解的输入，级数增加意味着级联的滤波器越多，造成的信号移位也越大。另一方面，由于每次小波系数分解/重构都要进行边界延拓，级数越多引起的边界失真也就越大。因此在实际应用中，确定小波分解/重构的级数要兼顾不同方面的影响。通常取分解/重构级数为3或4级。三 小波变换在图像编码中的应用3. 1嵌入零树小波编码(EZW编码)嵌入零树小波编码方法是1993年由美国学者JeormeM.Shapiro首先完整的提出来的基于比特连续逼近的图像编码方法：按位平面分层进行孤立系数和零树的判决和熵编码，而判决阈值则逐层折半递减，故可称多层(或位平面)零数编码方法，这种编码方法十分有效。正是由于Shapiro的工作，使得零树方法成为基于小波的静止图像压缩的一个有意义的突破。此后，零数编码方法受到越来越多的重视，涌现出了许多基于零树的改进算法。3. 1. 1零树编码算法原理一、内嵌编码(Embedded coding)内嵌编码就是编码器将待编码的比特流按重要性的不同进行排序，根据目标码率或失真度大小要求随时结束编码；同样，对于给定码流解码器也能够随时结束解码，并可以得到相应码流截断处的目标码率的恢复图像。内嵌编码中首先传输的是最重要的信息，也就是幅值最大的变换系数的位信息。如图显示了一个幅度值由大到小排序后的变换系数的二进制列表。表中每一列代表一个变换系数的二进制表示，每一行代表一层位平面，最上层为符号位，越高层的位于平面的信息权重越大，对于编码也越重要。内嵌编码的次序是从重要的位到下面不重要的位逐个发送，直到达到所需码率时停止。由下图可知内嵌编码的输出信息主要包括两部分：排序信息和重要像素的位置信息。其中，位信息是编码必不可少的有效信息，对应于图中箭头所划过的比特位；而排序信息则是辅助信息，按其重要性从左到右排列，反映了重要像素在原图上的空间位置，用于恢复原始的数据结构。因此内嵌算法中排序算法的优劣和排序信息的处理决定了整个编码算法的效率。一副图像经三级小波分解后形成了10个子带，小波系数分布特点是越往低频子带系数值越大，包含图像信息越多，如图中的LL,子带;而越往高频子带系数越小，包含的图像信息越少，就是在数值相同的情况下，由于低频子带反映的是图像的低频信息，对视觉比较重要。而高频子带反映的是图像的高频信息，对视觉来说不太重要，这样对相同数值的系数选择先传较低频的系数的重要比特，后传输较高频系数的重要比特。正是由于小波系数具有的这些特点，它非常适合于嵌入式图像的编码算法。3.1.2 零树编码算法分析在图像的低比特率编码中，用来表示非零系数所在位置的开销远远大于用来表示非零系数值的开销。零树结构正是一种描述图像经过小波变换后非零数值位置的有效方法。EZW的编码思想是不断扫描变换后的图像，生成多棵零树来对图像编码:一棵零树的形成需要对图像进行两次扫描。在生成第一棵零树时，首先找出变换后图像的最大绝对值系数，用它对应的To作初始阈值，对图像进行第一次扫描。将图像中绝对值小于阈值的系数都当作零，然后按前面的符号定义形成零树。在第三次扫描中，对那些绝对值大于阈值的结点(POS和NEG)按其绝对值是否大于阈值的1.5倍附加一个比特1或0来描述其精度。这样做的目的是减小非零结点系数值的变化范围，使其适应下一次阈值减半后的比特附加。而后将阈值减半，再经两次扫描形成第二棵零树，在第一次扫描生成零树时，以前己经大于阈值的结点不再考虑，而第二次扫描附加比特时则要考虑以前数值较大的结点以保证精度。重复下去，不断生成零树，直到达到需要的编码精度为止。3.2小波分析在运动图像编码中的应用二维运动图像的小波变换可以由帧内二维和帧间一维小波变换联合构成。即沿时间轴方向观察图像序列对应于同一位置各个点构成的一个一维信号序列，将这个一维信号序列做小波变换可以提取信号序列在时间轴上的主要信息。上述 帧内二维和帧间一维小波变换构成的三维小波变换按其实现顺序的不同可以构成两种实现方式，即先对各帧图像作帧内二维小波变换，然后对变换后的结果沿时间轴做一维小波变换:或者先沿时间轴做一维小波变换，然后再做帧内二维小波变换。考虑系统的时延，每次参与变换的帧数不能太多，一般取8帧。上述方法在时间轴上变换时的数据序列很短，只有8帧，这使得时间轴分解时对小波滤波器的选择有严格限制，不能选择高阶滤波器，否则会造成边界折叠失真。下面给