对质点系角动量的讨论.doc

对质点系角动量的讨论摘要：在理论力学教材中角动量定理有各种不同表达式，对质点系对惯性系和质心系的角动量定理进行了探讨，对质点系的角动量定理进行了归纳与比较，分清其各个适用条件。关键词:参考系；质心；瞬心；角动量. Exploration of angular momeneum theorem of a system of particlesAbstract Textbooks in theoretical mechanics theorem of angular momentum, different expressions, in which the angular momentum of the theorem of particles were discussed and compared to distinguish the various application conditions Key words Reference system; mass; instantaneous center; angular momentum.引言角动量不但与参考系有关,而且还与参考点有关, 在理论力学教材中给出了角动量定理在不同参考系中对不同参考点的各种表达式。对此进行了分析、比较与归纳。明确在质点系下不同参考系和不同参考点下的各种表达式的区别、联系及各自的适用条件，总结了质点系下的不同表达式。对其做了一定程度的讨论。1.质点系对参考点的角动量定理定义质点系内各质点对于参考点O的角动量的矢量和称为质点系对O点的角动量1： 式中是相对于惯性系的。质点对于参考点的角动量定理：取第i个质点：对上式中所有质点求和得：对O点的力矩为: 如图（1） 图（1） 上式就是质点系对某参考点的角动量定理.质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。对于质点系，由于其内各质点间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零。利用内力的这一特性，即可导出质点系的角动量定理：质点系对任一固定点O的角动量对时间的微商等于作用于该质点系的诸外力对O点的力矩的矢量和。2.关于力矩的表达式对于力矩,无论是在惯性系中对定点O或是在非惯性系中对定点P (相对O 点位矢为rP) 计算力矩总有 上式中为质点系受到的合外力矢量和，和别为在惯性系中对O点和在非惯性系中对P点的力矩2。3. 角动量定理的各种数学表达式3表1 数学表达式参考系参考点角动量定理数学表达式角动量表达式 惯 性系定点O动点P质心C瞬心a (1) （2） （3） （4） 质心系 质心C定点P （5） （6） 3.1 对惯性系中L的讨论表中给出的角动量L的各种表达式间有一定联系。在惯性系中对动点P(或C、a) 的角。动量(或 、) 可表示为 （7）式中, （8）式(7)表明:质点系相对惯性系中变动参考点P (或C、a) 的角动量(或、) ,等于其相对定点O的角动量与其总动量平移到点P或C、a后相对同一定点O的角动量之差.当动点P 就是质心C 时, 则由式(7)得到一般教材中给出的结果 若把式(8) 代入式(7) , 可得到一个非常有用的公式,即 = (9)式(9) 表明:质点系相对惯性系中动点P 的角动量, 等于其对质心C 的角动量与质点系动量对P点的角动量之矢量和4。3.1.1 惯性系中对动点和瞬心的角动量定理讨论在惯性系表中对于动点P的角动量定理数学表达式和瞬心a的角动量定理数学表达式实质上是一致的.这表明:在惯性系中对质心之外的动点P(也可以是瞬心a) ,质点系所受合外力矩并不等于角动量的时间变化率,出现了附加项.若参考点P固定(=0) ,则附加项为零,式(2) 变为式(1);若动点P (或瞬心a)的速度(或)与质心速度平行,则附加项也为零, 式(2) 与(1) 等价; 若动点P的速度=恒矢量, 虽有=0 , 但只要不平行,则附加项也不为零. 由此可见,一般情况下,附加项与动点P的速度有关,与动点P的加速度a、P无关5。3.2 对非惯性系（或质点系）中L的讨论在非惯性系(或质心系) 中对定点P(设与上述惯性系中P 点是同一点)的角动量LP 可表示为 式(10)中(10)表明:在非惯性系中对定点P的角动量,等于其对质心C 的角动量与质心C对点P 的位矢与叉积之矢量和。不同虽然式(10)与式(9)形式相似,但其本质。式(9)为在惯性系中对动点P 计算角动量，而式(10)为在非惯性系中对同一点P(为定点)计算角动量。可见,在不同参考系中即便是对同一点(如P点) 计算角动量,一般也不相等。但对质心C这个特殊点则恒有这是因为 显然上式等号右边第一项为第二项即有。这说明:在惯性系中对质心C计算角动量 与在质心系中对质心C计算角动量总是相等的, 这正是质心的一个重要特征。考虑到,则由式(9)与(10)可得 (11)从式(11) 可以看出,在两个相互平动的参考系中对同一点P 计算角动量所得值一般是不等的,除非是对质心C或与 平行时才有 . 这一点应当特别注意6。3.2.1对质心的角动量定理的讨论7本文表中式(3) 、(5) 在形式上与式(1)相同，说明角动量定理在惯性系中对质心C 或在平动质心系中对质心C 仍能成立(与在惯性系中对定点O有相同形式) . 但应注意：式(3)与式(5) 含义不同,式(3) 是在惯性系中对质心计算角动量LC 式(8) , 计算力矩不需考虑惯性力矩；式(5)是在非惯性系中对质心计算角动量 () ,但计算力矩需考虑到惯性力矩。式(5)中并未出现惯性力矩是因为平动惯性力过质心,对质心力矩为零的缘故。因此可得结论:式(5) 仅对平动质心系中的质心C才能成立,对质心之外的其他点一般不成立。4.其他在不同版本的理论力学教科书中讨论刚体平面平行运动时, 给出的角动量定理对瞬心a成立的条件各不相同, 归纳起来为: ; 常矢量; Ia (对过瞬心a 的轴的转动惯量)不变.由上述讨论可以知道,它们实质上是一致的,具体应用时可选其中某一个条件判定定理是否成立即可8.结论本文通过质点系中各个不同参考系和参考点下的角动量的表达式，对其进行了一定程度的讨论，在惯性系和质心系下不同的参考点的表达式不同，分析了其中的原因与联系，总结了其中的区别和各个适用条件。参考文献：1 漆安慎，杜婵英力学M北京：高等教育出版社，1998：2502 王礼志，介万奇质心系下力矩的分析M吉林：吉林大学出版社，1991：3843 刘华 孙风明对质点系角动量定理的讨论J物理学报，1996，32(7)：6034 张扬名，王宁福惯性系中角动量的讨论J物理周刊，2001，19(4)：2435 李瑞丰，非惯性系中角动量的分析J物理科学与工程，2001，19（4）：1