高考数学大一轮复习（高考题库）第6章 第8节 数学归纳法 理 新人教A版(1).DOC

20092013年高考真题备选题库第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲（选修4-5）第8节 数学归纳法考点 数学归纳法1（2013江苏，10分）设数列an：1，2，2,3,3,3，4，4，4，4，(1)k1k，(1)k1k，即当n(kz*)时，an(1)k1k.记sna1a2an(nn*)对于ln*，定义集合pln|sn是an的整数倍，nn*，且1nl(1)求集合p11中元素的个数；(2)求集合p2 000中元素的个数解：本小题主要考查集合、数列的概念和运算、计算原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力(1)由数列an的定义得a11，a22，a32，a43，a53，a63，a74，a84，a94，a104，a115，所以s11，s21，s33，s40，s53，s66，s72，s82，s96，s1010，s115，从而s1a1，s40a4，s5a5，s62a6，s11a11，所以集合p11中元素的个数为5.(2)先证：si(2i1)i(2i1)(in*)事实上，当i1时，si(2i1)s33，i(2i1)3，故原等式成立；假设im时成立，即sm(2m1)m(2m1)，则im1时，s(m1)(2m3)sm(2m1)(2m1)2(2m2)2m(2m1)4m3(2m25m3)(m1)(2m3)综合可得si(2i1)i(2i1)于是s(i1)(2i1)si(2i1)(2i1)2i(2i1)(2i1)2(2i1)(i1)由上可知si(2i1)是2i1的倍数，而ai(2i1)j2i1(j1,2，2i1)，所以si(2i1)jsi(2i1)j(2i1)是ai(2i1)j(j1,2，2i1)的倍数又s(i1)(2i1)(i1)(2i1)不是2i2的倍数，而a(i1)(2i1)j(2i2)(j1,2，2i2)，所以s(i1)(2i1)js(i1)(2i1)j(2i2)(2i1)(i1)j(2i2)不是a(i1)(2i1)j(j1,2，2i2)的倍数故当li(2i1)时，集合pl中元素的个数为13(2i1)i2，于是，当li(2i1)j(1j2i1)时，集合pl中元素的个数为i2j.又2 00031(2311)47，故集合p2 000中元素的个数为312471 008.2（2012湖北，14分）(1)已知函数f(x)rxxr(1r)(x0)，其中r为有理数，且0r1.求f(x)的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a10，a20，b1，b2为正有理数若b1b21，则a1b1a2b2a1b1a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题注：当为正有理数时，有求导公式(x)1x1.解：(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；当x1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)内是增函数故函数f(x)在x1处取得最小值f(1)0.(2)由(1)知，当x(0，)时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)，若a1，a2中至少有一个为0，则ab11ab22a1b1a2b2成立；若a1，a2均不为0，又b1b21，可得b21b1，于是在中令x，rb1，可得()b1b1(1b1)，即ab11a1b12a1b1a2(1b1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数且b1b21，总有ab11ab22a1b1a2b2.(3)(2)中命题的推广形式为设a1，a2，an为非负实数，b1，b2，bn为正有理数若b1b2bn1，则ab11ab22abnna1b1a2b2anbn.用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，b11，有a1a1，成立(2)假设当nk时，成立，即若a1，a2，ak为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1，则ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当nk1时，已知a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1，b2，bk，bk1为正有理数，且b1b2bkbk11，此时0bk11，即1bk10，于是ab11ab22abkkabk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1(aaa)1bk1abk1k1.因1，由归纳假设可得aaaa1a2ak，从而ab11ab22abkkabk1k1()1bk1abk1k1.又因(1bk1)bk11，由得()1bk1abk1k1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，从而ab11ab22abkk