广东省汕头市潮师高中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

广东省汕头市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（理科 ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知m=x|2x4，xz，n=x|1x3，则mn=（）a（1，3）b2，1）c0，1，2d2，1，02（5分）函数f（x）=的定义域是（）a（1，2）b1，2）c（，1）（2，+）d（1，23（5分）函数的零点所在的区间是（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，10）4（5分）函数f（x）=sin，x1，1，则（）af（x）为偶函数，且在0，1上单调递减bf（x）为偶函数，且在0，1上单调递增cf（x）为奇函数，且在1，0上单调递增df（x）为奇函数，且在1，0上单调递减5（5分）若平面，满足|+|=1，+平行于y轴，=（2，1），则=（）a（1，1）b（2，2）c（1，1）或（3，1）d（2，2）或（2，0）6（5分）平面向量、的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+|=（）abc3d77（5分）在平行四边形abcd中，点e是ad的中点，be与ac相交于点f，若（m，nr），则的值为（）a2b2c3d38（5分）已知函数f（x）=x2+lnx，x01，e，使不等式f（x）m，则实数m的取值范围（）am1+bmcm1dm1+e二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）定积分=10（5分）已知向量，满足，（），向量与的夹角为11（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）=12（5分）设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=13（5分）如图是用二分法求方程x22=0近似解的程序框图，若输入x1=1，x2=2，=0.3，则输出的m是（注：框图中的“=”，即为“”或为“：=”）三、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）14（3分）在极坐标系中，设曲线c1：=2sin，c2：=2cos分别相较于a、b两点，则线段ab直平分线的极坐标方程为15（3分）（几何证明选讲）如图，圆o的直径ab=9，直线ce与圆o相切于点c，adce于d，若ad=1，设abc=，则sin=三、解答题：本大题6小题，满分79分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sinx+cos（x），求函数f（x）的单调递减区间17（11分）已知向量=（3，2），=（2，1），=（3，1），tr（1）求|的最小值及相应的t值；（2）若与共线，求实数t18（14分）已知函数f（x）=2sin2（+x）（）求f（x）的周期；（）若x，求f（x）的最大值和最小值；（）若f（+）=，a（0，），求sina的值19（14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc=90，pa平面abcd，pa=3，ad=2，ab=2，bc=6（）求证：bd平面pac；（）求二面角pbda的大小20（14分）已知函数f（x）=lnxax2（12a）x（a0）（1）求f（x）的最大值；（）判断函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数（e自然对数的底数）21（14分）已知函数f（x）=ex，xr（） 若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；（） 设x0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m0）公共点的个数（） 设ab，比较与的大小，并说明理由广东省汕头市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知m=x|2x4，xz，n=x|1x3，则mn=（）a（1，3）b2，1）c0，1，2d2，1，0考点：交集及其运算 专题：计算题分析：由列举法写出集合m，然后直接取符合集合n的元素构成集合即可解答：解：由m=x|2x4，xz=2，1，0，1，2，3，4，n=x|1x3，所以mn=0，1，2故选c点评：本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型2（5分）函数f（x）=的定义域是（）a（1，2）b1，2）c（，1）（2，+）d（1，2考点：函数的定义域及其求法 分析：根据函数的解析式可得 ，解得x的范围，从而求得函数的定义域解答：解：函数f（x）=，解得 1x2，故函数的定义域为 （1，2），故选a点评：本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题3（5分）函数的零点所在的区间是（）a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，10）考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题分析：本题考查的知识点是函数零点，要想判断函数零点所在的区间，我们可以将四个答案中的区间一一代入进行判断，看是否满足f（a）f（b）0，解答：解：f（2）=0f（3）=0f（2）f（3）0f（x）的零点点所在的区间是（2，3）故选c点评：连续函数f（x）在区间（a，b）上，如果f（a）f（b）0，则函数f（x）在区间（a，b）必然存在零点4（5分）函数f（x）=sin，x1，1，则（）af（x）为偶函数，且在0，1上单调递减bf（x）为偶函数，且在0，1上单调递增cf（x）为奇函数，且在1，0上单调递增df（x）为奇函数，且在1，0上单调递减考点：复合三角函数的单调性；正弦函数的奇偶性 专题：三角函数的图像与性质分析：利用诱导公式化简函数f（x）的解析式为cosx，故函数为偶函数再由当x0，1时，可得函数y=cosx 是减函数，从而得出结论解答：解：函数f（x）=sin=cosx，故函数为偶函数，故排除c、d当x0，1时，x0，函数y=cosx 是减函数，故选a点评：本题主要考查诱导公式、余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题5（5分）若平面，满足|+|=1，+平行于y轴，=（2，1），则=（）a（1，1）b（2，2）c（1，1）或（3，1）d（2，2）或（2，0）考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：设出向量的坐标，由题意，得到坐标的方程解之即可解答：解：设则=（x，y），因为平面，满足|+|=1，+平行于y轴，=（2，1），所以+=（x+2，y1），所以（x+2）2+（y1）2=1，并且x+2=0，所以x=2，y=2或者0；所以=（2，0）或（2，2）；故选d点评：本题考查了向量的坐标运算以及向量平行的性质，属于基础题6（5分）平面向量、的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+|=（）abc3d7考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：计算题分析：根据题意，由的坐标，可得|，进而可得的值，利用公式|+|2=2+2+2，计算出|+|2，开方可得答案解答：解：根据题意，=（2，0），则|=2，又由|=1且、夹角为60，则=21cos60=1，|+|2=2+2+2=4+2+1=7；则|+|=；故选b点评：本题考查数量积的运用，注意先根据的坐标，求出的模7（5分）在平行四边形abcd中，点e是ad的中点，be与ac相交于点f，若（m，nr），则的值为（）a2b2c3d3考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：利用三角形的相似，可得，再利用向量的加法运算，即可得到结论解答：解：因为adbc，所以aefcbf，因为点e是ad的中点，所以所以=m=，n=，=2故选b点评：本题考查向量的加法运算，考查三角形相似知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题8（5分）已知函数f（x）=x2+lnx，x01，e，使不等式f（x）m，则实数m的取值范围（）am1+bmcm1dm1+e考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；函数的性质及应用分析：易知x2，lnx在1，e上都是增函数，从而可得f（x）=x2+lnx在1，e上是增函数，从而求出函数f（x）的取值范围，从而由题意求实数m的取值范围解答：解：x2，lnx在1，e上都是增函数，f（x）=x2+lnx在1，e上是增函数，f（x），则x01，e，使不等式f（x）m可化为m，即m故选b点评：本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了存在性问题的处理方法，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）定积分=e2考点：定积分 专题：计算题分析：求出被积函数的原函数，将积分的上限、下限代入求值即可解答：解：=（lnx+x2）|1e=lne+e2（ln1+12）=e2故答案为：e2点评：本题考查利用微积分基本定理求积分值、考查定积分的公式，属于基础题10（5分）已知向量，满足，（），向量与的夹角为考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由题意可得 （）=0，再利用两个向量的数量积的定义求得 cos的值，即可求得向量与的夹角解答：解：由题意可得 （）=0，即 11cos=0，解得 cos=再由0，可得=，故答案为 点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题11（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）=考点：幂函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：设幂函数f（x）=x，把点（，）代入可得，解得，可得f（x）再利用对数的运算性质即可得出解答：解：设幂函数f（x）=x，把点（，）代入可得，解得=f（x）=f（x）=log4f（2）=故答案为：点评：本题考查了幂函数的定义、对数的运算性质，属于基础题12（5分）设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可解答：解：y=eaxy=aeax曲线y=eax在点（0，1）处的切线方程是y1=a（x0），即axy+1=0直线axy+1=0与直线x+2y+1=0垂直a=1，即a=2故答案为：2点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题13（5分）如图是用二分法求方程x22=0近似解的程序框图，若输入x1=1，x2=2，=0.3，则输出的m是1.25（注：框图中的“=”，即为“”或为“：=”）考点：程序框图 专题：图表型分析：按照用二分法求函数零点近似值得步骤求解即可注意验证精确度的要求解答：解：令f（x）=x22，则f（1）=10，f（2）=20，取m=1.5，f（1.5）=0.250，此时|1.51|=0.50.3，不合精确度要求再取m=1.25，f（1.25）=0.43750此时|1.251.5|=0.250.3，符合精确度要求则输出的m是 1.25故答案可为：1.25点评：本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法三、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）14（3分）在极坐标系中，设曲线c1：=2sin，c2：=2cos分别相较于a、b两点，则线段ab直平分线的极坐标方程为sin+cos=1考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：把曲线的极坐标分别化为直角坐标方程联立可得交点坐标，求出线段ab的垂直平分线的方程，再化为直角坐标方程即可解答：解：曲线c1：=2sin，化为2=2sin，x2+y2=2yc2：=2cos化为2=2cos，x2+y2=2x联立，解得，a（0，0），b（1，1）线段ab的中点为mkab=1，线段ab直平分线的斜率k=1线段ab直平分线的直角坐标方程为：，化为x+y=1线段ab直平分线的极坐标方程为cos+sin=1故答案为：cos+sin=1点评：本题考查了曲线的极坐标与直角坐标方程的互化、线段的垂直平分线的方程的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15（3分）（几何证明选讲）如图，圆o的直径ab=9，直线ce与圆o相切于点c，adce于d，若ad=1，设abc=，则sin=考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出解答：解：直线ce与圆o相切于点c，acd=abcab是o的直径，acb=90，adc=acb=90acdabc，ac2=abad=91=9，解得ac=3故答案为点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义是解题的关键三、解答题：本大题6小题，满分79分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sinx+cos（x），求函数f（x）的单调递减区间考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质分析：首先通过恒等变换不函数变形成正弦型函数，进一步求出单调区间解答：解：（1）已知：f（x）=sinx+cos（x）=sinx+= （1分）令：（kz）解得：（kz）所以：函数的单调递减区间为：（kz）点评：本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调区间的求法17（11分）已知向量=（3，2），=（2，1），=（3，1），tr（1）求|的最小值及相应的t值；（2）若与共线，求实数t考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：计算题；平面向量及应用分析：（1）利用求模公式表示出|，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值；（2）利用向量共线定理可得关于t的方程，解出即得t值；解答：解：（1）=（3，2），=（2，1），=（3，1），+t=（3，2）+t（2，1）=（3+2t，2+t），|+t|=（当且仅当t=时等号成立）（2）=（3，2）t（2，1）=（32t，2t），又与共线，（32t）（1）=3（2t），解得t=点评：本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题18（14分）已知函数f（x）=2sin2（+x）（）求f（x）的周期；（）若x，求f（x）的最大值和最小值；（）若f（+）=，a（0，），求sina的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（）化简可得f（x）=1+2sin（2x），从而可求f（x）的周期；（）若x，则可确定2x的取值范围，从而可求f（x）的最大值和最小值；（）由已知可求出sin（）=，从而可求cos（），故可求sin=sin（）+的值解答：解：（）f（x）=2sin2（+x）=1cos（+2x）cos2x=1+sin2xcos2x=1+2sin（2x）（2分）f（x）的周期t=（3分）（）x，（5分）2（7分）f（x）max=3，f（x）min=2（8分）（）f（+）=1+2sin（）=1+2sin（）=sin（）=，（10分）a（0，），所以，（未说明角的范围扣1分）cos（）=（12分）sin=sin（）+=（14分）点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题19（14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc=90，pa平面abcd，pa=3，ad=2，ab=2，bc=6（）求证：bd平面pac；（）求二面角pbda的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定 专题：综合题分析：解法一：（i）由已知中底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，abc=90，且pa平面abcd，我们结合线面垂直的性质及勾股定理，可以得到bd与平面pac中两个相交直线pa，ac均垂直，进而根据线面垂直的判定定理得到bd平面pac；（）连接pe，可得aep为二面角pbda的平面角，解三角形aep即可得到二面角pbda的大小解法二：（i）以a为坐标原点，建立空间坐标系，根据向量垂直，数量积为零，判断出bdap，bdac，再由线面垂直的判定定理得到bd平面pac；（）分别求出平面pbd与平面abd的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角pbda的大小解答：解法一：（）pa平面abcd，bd平面abcdbdpa又，abd=30，bac=60，aeb=90，即bdac又paac=abd平面pac（6分）（）连接pebd平面pacbdpe，bdaeaep为二面角pbda的平面角在rtaeb中，aep=60，二面角pbda的大小为60 （12分）解法二：（）如图，建立坐标系，则a（0，0，0），d（0，2，0），p（0，0，3），bdap，bdac，又paac=a，bd面pac（）设平面abd的法向量为m=（0，0，1），设平面pbd的法向量为n=（x，y，1），则n，n解得cosm，n=二面角pbda的大小为60点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，（i）的关键是熟练掌握空间中直线与平面垂直的判定定理，（ii）的关键法一是得到aep为二面角pbda的平面角，法二是求出平面pbd与平面abd的一个法向量20（14分）已知函数f（x）=lnxax2（12a）x（a0）（1）求f（x）的最大值；（）判断函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数（e自然对数的底数）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（1）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）通过讨论a的范围，从而得出函数的零点的个数解答：解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+），f（x）=，x0，a0，2ax+10，0x1时，f（x）0，x1时，f（x）0，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，x=1时，f（x）最大值=f（1）=a1；（2）由（1）得，x=1时，f（x）的最大值是a1，0a1时，f（1）0，函数f（x）与x轴没有交点，故函数f（x）没有零点，a=1时，f（1）=0，若x1，则f（x）f（1），即f（x）0，且x=1（，2），此时，函数f（x）与x轴只有一个交点，故函数f（x）只有一个零点，a1时，f（1）0，又f=a0，f（2）=ln220，函数f（x）与x轴有2个交点，故函数f（x）有2个零点，综上：0a1时，f（x）没有零点，a=1时，f（x）有1个零点，a1时，f（x）有2个零点点评：本题考查