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145GSSAP静力分析模型第5章 GSSAP静力分析模型1 结构分析模型的简化1.1 概述高层结构的基本受力构件有柱、梁、支撑（包括斜柱、斜梁等）、剪力墙和楼板。柱、梁和支撑均为一维构件，其模型化研究比较成熟，各种有限元分析软件对这类构件的模型化假定差异不大。剪力墙和楼板均为二维构件（其中厚板转换层用的厚板为三维构件），这两种构件的模型化假定直接决定了高层结构分析模型的科学性，同时也决定了软件分析结果的精度及可信度。目前国内外流行的几个高层结构分析软件对剪力墙和楼板的模型化假定差异较大。GSSAP的核心工作就是要解决剪力墙和楼板的模型化问题，尽可能地减小其模型化误差，使高层结构的简化分析模型尽可能的合理，更好的反映出结构的真实受力状态。1.2 柱、梁和支撑柱、梁及支撑（包括斜柱、斜梁等）均为一维构件，采用直线杆单元或曲杆单元来模拟，直线杆单元可用两端带刚臂的空间杆件单元来模拟其受力状态。根据约束条件不同，空间杆件单元可分为两端固接，一端固接一端铰接、两端铰接（如图所示）和两端半刚接4种情况。由于高层结构中柱、梁的截面尺寸较大，剪切变形的影响是不可忽视的，GSSAP的空间杆单元单刚矩阵中考虑了剪切变形的影响。 开洞梁可采用子结构式梁元计算，洞口可任意多个。1.3 剪力墙采用子结构墙元来计算，既有平面内刚度（膜单元），又有平面外刚度（板单元），在剪力墙上任意多个位置都可开洞口，在总信息中可控制水平和竖向最大剖分尺寸。墙元有如下问题需处理：1）固接点的内外剪力平衡；2）与梁连接转动刚度太小；3）墙端或墙中柱处理；4）洞口不对齐。膜元的转动自由度是失真的，减少转动自由度的刚度以保证固接点的内外剪力平衡；墙梁连接处转动刚度太小，引起水平位移过大，程序自动加墙的转动罚单元保证转动刚度与实际情况相符；墙端或墙中有柱时，计算节点自动定义为柱的节点，保证位移协调。对于洞口不对齐引起的节点过近，通过线约束协调变形，不需要剖分畸形小墙元。1.4 板板可采用刚性、壳单元（膜单元+板单元）、膜单元和板单元模拟，膜单元只有平面内刚度，板单元只有平面外刚度。建筑结构考虑板的弹性作用时一般采用膜单元，板周边有梁，若引入板单元平面外刚度，不符合强梁弱板的设计要求，梁内力会偏小。通常弹性楼板计算只采用膜单元，膜单元只给结构提供平面内刚度，计算时板的荷载自动导到周边梁上，在空间结构分析中不能计算板本身应力，而在“楼板次梁砖混计算”模块中计算板的内力。无梁楼盖和飘板可采用壳单元。厚板转换层的楼板可采用板单元，采用板单元的楼板平面内无限刚，平面外采用板的刚度。楼板选择了壳单元或板单元计算，程序自动对楼板剖分形成子结构板单元。2 GSSAP的单元库GSSAP共有14种有限单元，本节介绍各类单元的基本理论。编号单元名称1空间杆单元23节点壳单元34节点壳单元4子结构单元5子结构式墙单元6子结构式板单元7子结构式梁单元8弹簧单元9罚单元103节点中厚板单元114节点中厚板单元128节点三维单元1321节点三维单元14曲杆单元2.1 空间杆单元单元局部坐标系如下： z y x i j 如上图在i端的内力及位移为：则单元的平衡方程为： 其中：y和z为剪切不均匀系数。y和z为剪切影响系数。2.2 3节点壳单元3节点壳单元是3节点膜单元和3节点板单元的叠加，板单元为厚薄板通用单元，当板厚趋近零时，不会出现剪切闭锁现象。1） 3节点膜单元单刚Lm和Lj为面积坐标。3节点膜单元单刚的推导过程见文献7中有关具有旋转自由度的三角形膜元的章节。2） 3节点板单元单刚单元刚度矩阵Ke由两部分组成：其中Kbe是弯曲刚度矩阵：.Kse是剪切刚度矩阵： L1、L2、L3为面积坐标。其中其中t为板厚；为泊松比。3节点板单元单刚的推导过程见文献7中有关三角形厚薄板元的章节。2.3 4节点壳单元4节点壳单元是4节点膜单元和4节点板单元的叠加，板单元为厚薄板通用单元，当板厚趋近零时，不会出现剪切闭锁现象。膜单元有两种：用于墙的膜单元和用于楼板的膜单元，用于墙的膜单元的节点可约束节点平面内的转角自由度，用于楼板的膜单元的节点不可约束节点平面内的转角自由度。1） 用于墙的4节点膜单元单刚该膜单元采用非协调插值形函数，每个单元共4个节点，12个自由度，其中有4个非协调内自由度，可以在单元水平上利用静力凝聚消掉。其形函数以及刚度矩阵形成过程如下。1234协调形函数（双线性插值）：，i=1,2,3,4非协调形函数：式中位移场插值：应变场：单元刚度矩阵：消掉非协调自由度后的刚度矩阵：2） 用于楼板的4节点膜单元单刚其中：在上式中B、B分别是与N、N对应的应变矩阵；D为弹性常数矩阵；|J|是坐标求导变换的jacobi行列式；t是单元厚度。和为单元等参坐标。4节点膜单元单刚的推导过程见文献26。3） 4节点板单元单刚单元刚度矩阵Ke由两部分组成：KeKbe+Kse其中Kbe是弯曲刚度矩阵：Kse是剪切刚度矩阵：Bb（H0+H1+H2），其中和为单元等参坐标。Ns0= N10 N20 N30 N40 b1=y2-y3，b2=y3-y4，b3=y4-y1，b4=y1-y2c1=x3-x2，c2=x4-x3，c3=x1-x4，c4=x2-x1(i1，2，3，4)4节点板单元单刚的推导过程见文献7中有关四角形厚薄板元的章节。2.4 子结构单元GSSAP静力计算支持多重子结构，任何类型和数目的单元可以组成一个子结构，如多根杆单元可以组成一个子结构，多个4节点壳可以组成一个子结构；不同类型的单元也可以组成一个子结构，如多根杆单元和多个4节点壳可以组成一个子结构；多个子结构也可以组成一个大的子结构。子结构自动进行静力凝聚和内力回代。在子结构内按最小半带宽的要求或其他合理的方式进行结点编号，这时结构的内部结点和交界面上的结点便不能全部集中在一起，一般来说可能集中成若干段。现以i和b各分成2段为例，子结构的系统方程为：通过“顺序”和“逆序”的高斯一约当消去，将内部结点位移i的有关刚度矩阵转化为单位矩阵，方程成为由上式可得：对于交界面的结点位移对于内部结点位移，它们可由外部结点位移求得：把子结构看作是一个超级“单元”时，可以按一般单元表示的形式为对于现在的“单元”有这时仅交界面上的结点自由度作为与其他单元联结的“单元”自由度，而全部内部自由度都已凝聚。在由系统求得交界面自由度后，回到子结构内部，再分别求解各子结构的内部结点自由度。当i和b分段再多一些时，也按上述原则处理。GSSAP只在整个结构进行动力计算，子结构中的节点位移通过静力回代得到。2.5 子结构式墙单元子结构式墙单元由多个4节点壳单元组成，壳单元是膜单元和板单元合成，其中膜单元为专用于墙计算的4节点膜单元。如下图剪力墙上任意多个位置都可开洞口。采用子结构思想构造一种超单元，称之为子结构墙元，构造过程如下。第1步 如下图，用矩形自动剖分墙；第2步 除洞口外，每个矩形形成一个壳元，所有壳元单刚组集成一个小总刚，用静力凝聚原理消去内部节点和侧节点，上下节点为出口节点，最后得到子结构墙元的单刚。第3步 上下相邻墙的出口节点对齐时定义为共用节点，不对齐时上节点与下两个节点间加罚约束强行位移协调。由于膜元的转角自由度不是真实的转角，刚度矩阵包含零能模式要进行处理。刚度积分公式:零能量位移模式零能量位移模式在所有节点有相等的旋转角度（见上图），在每边中间节点具有零位移。为了除去此模式，只需把一个秩为1的矩阵加到含有与该模式相关的单元刚度矩阵中。根据转动的弹性定义，在单元中心的绝对转动，即单元刚体转动的估算，可以从下列方程中得到：其中bo是一个112矩阵。在单元中心的绝对转动与平均相对转动之间的差是： 现在可以把刚度k。(或者补偿项)指定给此变形，以便使用一点积分来创建下列秩为1的刚度矩阵： 很多问题求解的经验表明下列转动刚度数值是有效的： 其中D33是各向同性材料的剪切模量。当把该1秩矩阵添加到1212刚度矩阵时，零能量模式可以被避免，节点转动可以转换为绝对转动。这样构造单元有两个问题：墙节点固接时墙剪力失真和墙梁相连时墙单元细分尺寸对位移有较大影响，为解决这两个问题，可把零能模式中k。取小值0.001，与梁相连的墙节点上加转角罚强行使墙平面内转角与梁转角相同。2.6 子结构式板单元子结构式板单元由多个3节点或4节点壳单元组成，壳单元由膜单元和板单元合成，膜单元为专用于楼板的3节点或4节点膜单元，凝聚由通用子结构单元来处理。程序对任意多边形板(可包含多个洞口、剖分点和线)采用Delaunay三角分解法形成3节点和4节点单元，墙柱梁内点作为边界剖分点，当墙梁长度超过总体信息中墙水平剖分最大尺寸时增加剖分点，柱顶点在板内自动作为板内剖分点，墙在板内自动作为板内剖分线，无梁楼盖可以布置虚梁（宽度为0梁）分割板，也可以不布置虚梁由程序自动分割板，板托墙柱时必须在墙柱下布置宽扁梁（高度为板厚，宽度为2倍厚度），采用梁托墙柱模型计算。计算输出板内节点Z向位移、总体坐标下X和Y向的弯矩和剪力。2.7 子结构式梁单元子结构式梁单元由多个4节点壳单元组成，壳单元是膜单元和板单元合成，其中膜单元同用于板计算的4节点膜单元。如下图梁侧面上任意位置都可开洞口。单元刚度构造过程同子结构式墙单元，只是上表面节点为出口节点。2.8 弹簧单元可以分别在6个自由度方向定义线性连接单元（输入刚度），这6个方向之间是相互独立的。可用于地下室侧土对结构的约束作用。2.9 3节点中厚板单元单元刚度矩阵Ke由两部分组成：其中Kbe是弯曲刚度矩阵：.Kse是剪切刚度矩阵： L1、L2、L3为面积坐标。其中其中t为板厚；为泊松比。2.10 4节点中厚板单元单元刚度矩阵Ke由两部分组成：KeKbe+Kse其中Kbe是弯曲刚度矩阵：Kse是剪切刚度矩阵：Bb（H0+H1+H2），其中和为单元等参坐标。Ns0= N10 N20 N30 N40 b1=y2-y3，b2=y3-y4，b3=y4-y1，b4=y1-y2c1=x3-x2，c2=x4-x3，c3=x1-x4，c4=x2-x1(i1，2，3，4)2.11 8节点三维单元采用8节点非协调Wilson单元的模型，很好的描述弯曲变形模态，不会出现“锁定”现象。增加非协调形函数，然后进行静力凝聚。8个角点构成8个线性函数，它们是：Ni=1/8(1+rir)(1+sis)(1+tit) i=1,2,，8r、s、t为体积坐标。所增加的三个非协调形函数是：N9=1-r2N10=1-s2N11=1-t2则：2.12 21节点三维单元单元形函数： N21=(1-2)(1-2)(1-2)为i=1,3,5,7,13,15,17,19时Ni在中心点的值。为i=2,6,14,18时Ni在中心点的值。为i=4,8,16,20时Ni在中心点的值。、为体积坐标。2.13 曲杆单元对曲杆单元，同直线杆单元一样，空间刚度矩阵用分块矩阵表示可写成如下式的形式。 这里ij分别表示单元的始末节点。由柔度与刚度之间的关系，柔度求逆得到： 式中= 各柔度系数的表达式见文献27。由刚度系数定义，并让i端的反力与该端局部坐标的正方向一致为正，可得刚度矩阵子块为： 根据i节点对j节点的对称关系： 3 温度应力分析原理 当结构构件的温度发生变化时，构件中的每一个物质微元都将趋于收缩或膨胀，但是由于微元之间存在的相互约束以及构件受到的约束，使得这种收缩或膨胀不能自由发生，于是就产生了温度应力。 温度应力的计算一般包括两个方面：(1)按照热传导理论，根据弹性体的热学性质、内部热源、边界条件、初始条件，计算弹性体内各点在各瞬时的温度，也即决定温度场。在GSSAP中，温度场需要由用户定义。(2)温度场知道以后，按照热弹性力学的理论，根据各物质点的温度变化求解其温度应力。GSSAP采用有限元法计算温度应力，构件的温度变化对结构的变形、内力的影响将等效为某种荷载的影响，或者说，任给一种温度变化，一定存在一种荷载，二者对结构的变形、内力的影响完全一样，这种荷载就称为“等效荷载”。如果能够将各种构件的温度变化的等效荷载计算出来，接下来的分析就与通常的分析完全一样了，所以说温度应力的分析，关键是要把各种构件温度变化的等效荷载弄清楚。GSSAP中所有一维单元、二维单元和三维单元都支持温度应力分析。3.1 一维杆件的温度等效荷载 对一维杆件，首先定义它的局部坐标系，局部坐标系的x轴定义为杆轴，y轴和z轴定义为截面的两个主惯性轴。瞬时温度场在局部系中的分布函数可以一般地表达为：T=f(x，y，z)。一般而言，自由杆件在T=f(x，y，z)的作用下将同时发生伸缩和弯曲。在GSSAP中，我们分两种情况考虑温度分布：（1）温度在同一截面上不变化，只沿着杆轴线变化，也即T=g(x)，这种温度分布将使自由杆件只发生伸缩。 设温度沿杆轴线性变化：杆件两端面力导致的等效力：体力导致的等效力：合并之：其中：a构件线膨胀系数 E构件弹性模量 A构件横截面积 TI、TJI、J端的温差（2）温度在同一截面内外有局部温差（在截面Z向或Y向），而沿着杆轴线不变化，也即T=g(y,z)，近似假定楼层节点在局部温差作用下无侧移、无转角，这种温度分布将使自由杆件只发生弯曲（纯弯状态）。等效弯矩为：WZ为构件截面模量。3.2 二维、三维单元温度等效荷载设P0为温度应变引起的荷载项，则其中B为单元应变矩阵，D为弹性矩阵，为等效应变向量，三维问题=（a tx，a ty，a tz，0，0，0）T。可见对自由单元没有转角变形。对二维自由壳元，不发生弯曲。4 预应力筋的等效荷载对常见的各种预应力筋的线型可归纳成两大类(分段折线，分段抛物线)，下面推导一般性的等效荷载公式，结果如下：41 分段折线式预应力筋的等效荷载荷载参数为：P，N，e0，en，(Xi，ei)，I=1，N一1 其中：P为张拉力，N为段数，xi是分点的相对坐标，ei是分点对中性轴的坐标。显然，x0=0，xn=1是隐含的已知条件。记hi=L(xixi-1)，等效荷载如下： A、左端等效荷载B、右端等效荷载 C、中间点等效集中力 容易验证，这组等效力满足自平衡条件。42 分段抛物线式预应力筋的等效荷载 荷载参数为：P，N，e0，en，0，(xi，ei)，i=1，N-1 其中：0为预应力筋在左端点的导数，其余参数的意义同折线荷载。记hi=L(xi+1xi)，则： A、左端等效荷载 B、右端等效荷载 C、中间点等效均布力其中用到的参数bi，Ci如下确定：5 边界条件与一般性约束5.1 位移边界条件位移法的一个显著优点是易于用它指定位移边界条件。假设在创建下列平衡方程中已包括了与支承关联的位移： 或以下标符方式表示为： 如果某一个特定位移un是已知的和已被指定，它的对应荷载或反力Rn则是未知的。因此，N一1阶平衡方程将写成： 或简化为： 可以将对刚度矩阵和荷载矩阵的这种简单修改应用到每个指定位移，而对应行和列将被舍弃。对于位移是零的固定支承，它的荷载向量不作修改。可以在整体刚度矩阵形成之前，对单元进行这些由所施加荷载引起的修正。在计算出所有位移后，可以从被舍弃的平衡方程中计算出与指定位移关联的荷载。在位移被指定为时间函数的情况下，可以使用同样的基本方法。很明显，在相同的自由度条件下不能同时指定un和Rn。5.2 刚性约束主要应用于梁壳分析中板节点与梁中性轴上节点有偏心情况、或连续体上同一位置有两个靠得很近（甚至完全重叠）的节点情况。（1） 若两节点较远（比如大于0.5m），可考虑直接在两节点间加无自重的刚梁（100E）（2） 刚性约束方法：设主节点为m，从节点为i，主节点与从节点位移关联方程是：设有线性约束：ST u = f则两点间线性约束的系数向量S为：罚荷载为：f = 0因此，罚单元对总刚的修正刚度和修正荷载分别为：a为正的大数，可取100E。相应地，总刚平衡方程为：5.3 梁剪力墙分析中的罚函数1 232 13xy方案一：采用两个水平点进行约束，效果较好，而且格式统一，处理起来较为方便。位移与转角的约束关系为：U1yU2yd*2z0其中d为节点1到节点2的有向距离，对于左边情形，d取正，对于右边情形，d取负。方案二：更强一些的约束，采用三个点进行约束。位移与转角的约束关系为：（U1yU2y）/d12(U2xU3x)/d23+22z0其中d12为节点1到节点2的有向距离，对于左边情形，d12取正，对于右边情形，d12取负；d23为节点2到节点3的有向距离，取正值。为了实现以上的约束，采用罚系数K（一般可取为正常刚度值的100010000倍），利用如下的假单元：刚度矩阵： 荷载项为0单元刚度对应的自由度排列为（按上图的坐标系）：节点1的y向线位移节点2的x向线位移节点2的y向线位移节点2的z向角位移节点3的x向线位移5.4 剪力墙分析中的约束对于墙节点落在其它墙边上，而该位置没有墙节点，若因为该节点再对其它墙剖分，可能产生单元畸形，或产生其它单元连锁剖分，这种情况下，可采用梁式罚单元对该墙节点线约束。 X J K Y I 如图，通过I、J两点位移确定K点位移。令I、J、K点的位移为（如图局部坐标系）：则直线上任一点K的位移可通过I、J作梁式插值得到：uK = HI uI + HJ uJ其中：h1=1- hh2= hH1=1-3h2+2h3，H1=6*（-h+h2）/L H2=1-H1，H2=6*（h-h2）/L H3=L*( h-2h2+h3)，H3=1-4h+3h2 H4=L*( -h2+h3)，H4=-2h+3h2 h=X / L X为I到K的距离L为I到J的距离对应（uI uJ uK ）的罚刚度为：其中：T1为局部坐标到整体坐标变换矩阵，用局部坐标x对总体坐标的三个方向余弦。a是罚系数，可取100E。为了节省计算时间，可将K用显式表示。6 单元的转换矩阵6.1 局部到整体坐标系的转换1)梁、柱的局部坐标与结构的整体坐标系之间关系如下图所示，其坐标系转换矩阵形式相同：其中：2)对于任意方向的空间斜杆，其局部坐标与结构整体坐标的关系可由三个角度、来描述，如下图所示，坐标转换矩阵可通过三次转轴来实现，分别记则有：方向方向方向3)墙元的局部坐标与结构整体坐标的关系如下图所示，则对应的坐标转换矩阵为其中：4)对于弹性楼板单元，为描述及输出结果方便，取弹性楼板单元的局部坐标与结构的整体坐标一致。6.2 节点主从关系变换1)带有偏心构件的位移转换矩阵在结构布置上，由于建筑物使用功能上的要求，墙柱梁板构件经常存在有偏心情况，这时就需要对其节点的位移、节点力进行修正，一般把节点的偏心部分称为“刚域”，“刚域”只传递位移和力，其自身不变形