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论数形结合思想在中学数学教学中的应用 摘 要：数形结合思想是中学数学教学中重要的思想方法之一，蕴于数学基础知识和基本技能之中，是数学中解决问题的有力工具.数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素.数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展.本文对数形结合在中学数学教学中的应用作一些探讨关键词：数形结合 数学教学 数学基础知识Number-graph Association Application in Maths Teaching of Secondry SchoolUndergraduate:Zhang XiaohuiSupervisor : Xie JirongAbstract: The combination of Figure and Form is one of the important ways in math teaching, which can be used in math basics and skills to solve problems more efficiently. The unity and contradict of Figure and Form are the inner factor of the development of math. The improvement and recognition of the combination of Figure and Form is helpful to lay solid foundation of math and improve mathematical qualifications. This article will explore the uses of Figure and Form in math teaching.Key words: Figure and Form math teaching math basics 目 录绪论11数形结合思想的由来、形成和发展11.1数形结合思想的由来11.2数形结合思想的形成和发展22利用数形结合思想解答中学数学中的几类常见问题22.1集合与文氏图22.2不等式问题32.3函数问题52.3.1三角函数问题52.3.2二次函数求最值问题72.4复数问题82.5几何问题93应用数形结合思想解题应注意的问题103.1由错误结论引起误解103.2在数与形结合过程中出现误解11结 语12参考文献13致 谢14绪论人们在当前的数学教学中，普遍认识到加强数学思想方法教学的重要性.因为数学思想方法不像解题方法那样具体和便于操作但对数学知识和数学基本方法却有绝对的指导作用，是对数学知识更高层次的概括和提炼，也是培养学生能力的重要环节.数形结合作为一种数学思维方法的应用大致又可分为两种情况：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性；或借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系.数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.1 数形结合思想的由来、形成和发展1.1数形结合思想的由来古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在研究数（指自然数）的性质，常把数描绘成沙滩上的点子或小石子他们按点子或小石子所能排成的形状来把数进行分类例如：1，4，9，16，这些数被称为正方形数，因为相应的点子能排成正方形（图1）图1把代表数的点子排成几何图形后，整数的一些性质就变得很明显如图1的第三个图形画一道斜杠之后，便可看出相继两个三角形之和为正方形数这个关系普遍成立的，若用现代记法，可以表示为，图1CDEBHGAF毕达哥拉斯学派的数学家为了寻求一元二次方程的解，他们还会用几何的方法解出一元二次方程的解后来欧几里德在几何原本中发展了这种方法例如：形如：方程，欧几里得是这样作几何解释的：设AB=a，作正方形ABCD令E是AC中点，作BE，令CA延长线上的点F适合EF=EB作正方形AFGH，于是AH=X就是所求方程的解（图2）尽管这种方法并不优越，得解也不完备（因为当时负数还没有产生），但这种借助几何图形研究解释算术和代数问题的思想却图2是早期“数”与“形”相结合的重要体现1.2数形结合思想的形成和发展随着数学的发展，“数”与“形”相结合的思想逐渐被人们认识和完善16世纪的数学家韦达曾较早地用代数方法解决几何作图问题韦达的一个学生，曾较深入地研究了“数”与“形”的相互依赖关系：考虑确定的几何问题的代数解法，反过来，又用几何来证明代数法则法国数学家笛卡尔创立崭新的解析几何学，引起了数学的深刻变革解析几何的基本思想就是代数方程与几何曲线的结合，一方面，代数的有关知识可以用几何图形来说明，解释，使代数知识变得形象，直观，易于理解；另一方面，可以用代数方法研究几何问题笛卡尔的方法论是数形结合思想的完美体现数形结合思想，通俗地说，就是代数与几何相结合的思想它是一种通过沟通“数”与“形”的某种（或某些因素发挥“数”与“形”的优点，实现“数”与“形”的和谐统一，从而解决数学问题的思想2从毕达哥拉斯的学派借助几何图形研究整数的性质，到笛卡尔用代数方程表示几何曲线等，都是数形结合思想在数学发展不同时期的成功应用数形结合思想正是在数学发展中产生，在不断应用中得以完善和进一步发展2利用数形结合思想解答中学数学中的几类常见问题 2.1 集合与文氏图集合是数学里面新产生的一个学科，首先在定义集合就是一个比较困难的事在表示集合方面有三种方法分别是：列举法、描述法以及文氏图法，对于一些简单的问题我们可以利用前两种方法就可以，但对于比较复杂的问题用文氏图法可以使问题变的简洁，本部分重点介绍这方面的一些问题例1 （重庆卷高考题） 已知集合U=1，2，3，4，5，6，7，A=2，4，5，7，B3，4，5，则（）=（ ）. A1，6 B4，5 C2，3，4，5，7 D1，2，3，6，7AB2 73U4 51 6 7解法1 （）（）是由不属于或不属于的元素组成的集合，显然选择B、C中都含有集合A、B的元素，而选择支A中1，6表示既不属于又不属于的元素组成的集合，即1，6（）（），从而排除了选项A，B，C，选D.图3解法2 利用文氏图，直观求解，不难得到选项D.解法3 由（）（）=，显然，AB4，5，故1，2，3，6，7，选D.解法4 直接可求得1，3，6，1，2，6，7，则（）（）=1，2，3，6，7，选D.点评 解法1是从集合的概念出发的针对选择题的排除法，解法2、解法3、解法4都是针对解答题的方法，解法3是区别于解法4的利用德摩根定律解题的间接法.但解法2体现了数形结合的解题思想，在解决有些高中的集合问题时利用文氏图可以把一个抽象的问题具体化，这样就更加简捷例2 某中学高一甲班有学生50人，参加数学小组的有25人，参加物理小组的有32人，求既参加数学小组又参加物理小组的人数的最大值与最小值分析 此题如果用文氏图的方法，列出不等式，可求得最大，最小值5025-xx32-x解 设既参加数学小组又参加物理小组的有x人 ，如图所示：仅参加物理小组的有（32-x）人，因此，至少参加一个组的有25-x+x+32-x=57-x 人图4故 ，所以两个组都参加的人数最大值为25，最小值为7. 评注 此例采用先根据题意设出未知数并做出文氏图，再根据文氏图列出不等式，进而进行解答，求得最大最小值，使解题思路清晰化、简单化2.2 不等式问题不等式是中学教学中极为重要的基础知识，不等式是等式的扩展，这就决定了解不等式和证明不等式实质上是解方程和证明恒等式的扩展不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值对培养学生能力，发展学生思维提出了较高的教学要求具体说，它所涉及的不等式性质常附有特定的前提条件，和技能要求，结合图形研究，可以避免复杂的讨论，化繁为简如果不等式两边的表达式有明显的几何意义或通过某种方式可以与图形建立联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决例3 设x 0，y0，z 0 ，求证:VABC分析 这是一个代数不等式的证明问题，已知条件虽然简单，但不易下手，如果交换角度，联想到余弦定理，有，而x0，y0，故可以表示以x，y 为边，夹角为60的三角图5形的第三边同理，也有类似的几何意义，于是结合图形构造一个如图5所示的四面体，使得=60，且那么由余弦定理易得，同理 BC =; CA=，在ABC 中，由于AB + BC CA ，可使原命题得证评注 这是一道代数不等式问题经过观察运用拼凑的方法，将代数问题转化为几何问题，数形对照，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是优化解题过程的一种重要方法例4 对于任意实数，函数总有意义， 求实数的取值范围解法1 函数有意义， 则即，在上总成立设， 即当时总成立所以依抛物线的特征，将其定位有，如图6所示，x0135y10所以 ，解得 0图62-2xy510图7解法2 对于不等式，因为 所以 ，不等式可化成： 所以只要的最大值即可.设，的图像，如图7所示，可知的最大值为10，故的最大值为4，则a4评注 此题解法1是抓住了抛物线的特征，有实数a的不等式组，将抛物线定位，再求解范围，另外，由于涉及到一元二次根的分布，所以又提供了一次数形结合的机会解法2是将实数a从不等式中分离出来，对后边函数中3-x换元后，利用典型函数图像直观地求其最大值，求a的取值范围，体现数形结合的思想两种解法都是巧妙地运用了函数图像方法解决问题，使问题清晰化例5 已知a、b、c 都是正数， 求证: CABabc分析 结论表述的内容跟“三角形两边之和大于第三边”相似，三个被开方数都可看作是运用余弦定理的结果解 原不等式中含有 (即的形式) ，联想到余弦定理:要得到图8的形式，只要C =120，这样可以看成是以a、b 为两边的长， 且这两边的夹角为120的三角形的第三边的长，构造，如图8， ， ，显然，故原不等式成立评注 此题与例3很类似，通过观察等式两边的表达式发现有明显的几何意义或者通过某种方式可以与图形建立联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决，灵活运用了数形结合的思想，巧妙的运用了三角形的几何意义运用上图还可以解决+的证明， 类似的题目还有的证明 2.3 函数问题2.3.1 三角函数问题 近几年高考加强了对三角函数的图像与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高考数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具在复习时要充分运用数形结合的的思想，把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法例6 图9所示是周期为2的三角函数y=f(x)的图像，那么f(x)可以写成（ ）A. B. yC. D. x解 由图9可以看出f(x)的图像是通过的图像向左平移个单位而得到的，从而通过形到数的一个体现，把中x换成就得到f(x)，即：图9应选（D）. 例7 如果，那么函数的最小值是多少？分析 从三角函数的角度来看，求的最小值是一个较难的问题，是一个比较陌生的问题但是，如果把数和形结合起来，画出相应的图像，从几何的直观性入手，则可立刻看出结论xyy解 令，因为，所以，图10则图10图像为图中实线部分，所以当即时，有最小值，且最小值为.评注 此题先将三角函数化简，然后用换元法将三角函数换元，变为二次函数，做出二次函数的图像，并根据题意在图像中标出定义域，从而从图像中观察出函数最大最小值可见，用图像法可使解题更清晰，更简单例8（2002年全国文5，理4）在内，使成立的x取值范围为（ ）xy分析 在做出在区间上正弦和余弦函数的图像，解出两交点的横坐标，恰好在两个交点横坐标之间的图像为，所以从图中可以直接知道x的取值范围为评注 此题先做出函数和在内的图像，即可由图像直接观察得出结论2.3.2 二次函数求最值问题图11二次函数的最值不在顶点即在端点，用数形结合思想来求解二次函数的最值问题，不仅强化了图像直观性，而且教会学生由图像观察的能力，并为学习函数的单调性并用单调性求最值作铺垫数形结合思想求二次函数最值的运用，主要体现在以下几个方面：第一，二次函数的图像和性质，即结合二次函数的图像，明确它有唯一的对称轴，由的符号确定开口方向，从而确定在对称轴两侧的单调性.第二，三个“二次”的内在联系，即一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数图像之间的联系.第三，二次函数在闭区间上的最值问题，即二次函数在闭区间上必存在最大值和最小值，它们分别在区间的端点或顶点处取得，特别对含字母参数的二次函数，应结合图像深入讨论如下两类问题：定区间变对称轴和定对称轴变区间时最值的求解. 例9 求函数的最值. 分析 可以先考虑函数图像，根据图像确定函数最值解 函数的对称轴为，所以函数的最小值在顶点处取到，当时，函数有最小值，函数的最大值在端点处取到，当时，当时，所以函数的最大值为.评注 二次函数在闭区间上的最值问题，因对称轴与区间三种不同位置关系，其最值可能出现在区间的端点或顶点处，其实质是对称轴与区间的相对位置，即对称轴在区间的左侧、右侧、内部时，函数在定义区间上的单调性不同因此可以结合图形进行考虑，确定出最大最小值，是抽象的问题形象化、简单化2.4 复数问题高考中的复数题，重点考察的是概念与运算解这类问题，若不加分析就设出复数的代数形式或三角形式，联立方程组去求解，往往运算繁琐，影响到解题的速度和正确性如果认真研究其结构特征，充分利用复数的几何意义，利用数形结合思想求解，则化难为易，简化解题过程0例10 设，都是复数，且，则的值是（ ）（高中联赛，1992）分析 先设，在复平面上分别对应于点，（如图12），再由余弦定理= 得 =，于是 图12=或=因此 =评注 此题通过考虑已知条件及待求目标的几何意义，使之具体化，然后利用几何直观顺利求解，一些问题的解决往往通过把问题向该类问题的标准形式划归，然后利用已有模式解题例11 设为自然数，求证（1）有模为1的复根的充要条件：是可被6整除（CMO，1987）分析 题是一道竞赛题，答题者看到此类题第一感觉会联想到复数的代数形式和三角形式去解答这类题，但是通过猜想到尝试以后发现无法做出，这时我们就会联想到用图来帮助，解决这类问题证明 设方程有根，且=1，则因，两边取模得yxz01即，故为圆=1和圆为的交点（如图13），也可以说，0，1三点连成的等边三角形，故，且当且仅当被6整除时成立又因为，图13故因，故，即代入方程得，所以可被6整除反之，若可被6整除，令，易验证，代入方程（1），适合该方程，故是方程（1）的解，从而=1，充分性得证评注 由此可见，遇到复数问题时，并不一定只是考虑它的代数形式与三角形式，用此可以换一种角度，利用数形结合思想先将抽象的代数形式形象的表现的图形中，再根据图形进行解答2.5 几何问题 几何证明（或求解）不仅需要逻辑推理，同时也常常需要计算对于有些几何问题，代数运算（包括三角运算）在其中起着十分重要的作用，计算的结果往往就是证明（或求解）的终结例12 已知的内切圆恰好将它的中线AM分成三等分，试求：解 如图所示，设的边，中线，内切圆与边BC，AB分别切于K，T，与中线AM顺次交于E、F，则，AE=EF=FM=，且 故 =因为所以 AT=MK即 于是 （1）又由中线公式故 而 故 （2）将（1）代入（2），得CKMBFETA即亦即 解之得或图14当时，结合，知不存在，故=评注 此类题主要突出了几何问题代数化，通过代数计算，证明几何问题，从而证明出所要的结果3 应用数形结合思想解题应注意的问题3.1 由错误结论引起误解例13 已知双曲线C的两条渐进线方程为和，定点到C上动点P的距离的最小值为1，求双曲线的方程分析 对于一直线与二次曲线，当消元得二次方程时，这个方程的判别式等于零是直线与二次曲线相切的充要条件，但是对于两个二次曲线来说，=0只是两曲线相切的充分条件，而非必要条件，因此还必须考虑，除此情况之外是否相切的情况，否则可能有所遗漏，而使答案不完全显然，如图16的情况被遗漏，因点在曲线上，代入，解得满足条件的双曲线C为和.评注 往往很多人见到此类题会用这样的解法，设双曲线方程为因为定点到曲线C上动点P的最小值为1，所以圆与双曲线相切得双曲线方程为由于没有进行数形结合，没有考虑到两曲线相切的情况，因此造成了漏解AOxyO图16图153.2 在数与形结合过程中出现误解例14 方程（其中，有相异实根，求的取值范围分析方程在上只有一根，显然不合题意，而时，应出现两种情况（1）； （2）方程在上有相等实根，即，即这时不合题意，舍去评注 很多人见到此类题，会考虑用这样的方法：原方程可化为，设，即方程变为：，所以原方程为上有像异实根，等价于方程为上有一个根，设，则由抛物线可知，即，上述答案虽正确，但是由于情况考虑不全，其解法不正确结语从以上几个方面可以看出，合理、灵活、巧妙地运用数形结合的思想来解题， 可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，有事半功倍之效而善于联想就成了解题的关键这就要求必须具备扎实的数学基础知识，熟练的数学基本技能和严谨的数学思维能力，这些都有赖于我们在日常的教学实践中坚持不懈地对学生进行培养和练习，才能逐步得到提高著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观形少数时难入微”这就是说，数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是“数”和“形”的和谐统一所以数学教学中突出数形结合的思想方法，正是充分把握了数学的精髓和灵魂综上数形结合是学好数学的一把钥匙它可将一些看似复杂的问题变得非常简单，也常使一些难于下手的问题迎