厦门大学概率统计

2020 2 27 36 1 4等可能概型 一 古典概型二 基本组合分析三 计算例子四 几何概型 2020 2 27 36 2 有些概率是无法精确推断的 主观概率 比如你对别人说你下午4点去打球的概率是百分之八十 但你无法精确说出为什么是百分之八十而不是百分之八十四或者百分之七十八 其实你想说的是你很可能去 但又没有完全肯定 实际上 到了下午4点 你要么去打球 要么去做其它事情 你不可能有分身术 百分之八十的你去打球 百分之二十的你去做其它事情 概率的公理化定义只给出概率必须满足的三个基本性质 并未对事件A的概率P A 给定一个具体的数 也未给出概率P A 的含义 有些概率是可以估计的 频率的稳定值 2020 2 27 36 3 有些概率是可以精确计算的 在有些实际问题中 通常可由其物理特征 几何对称性或想像的完全随机性 得出每个基本事件的发生是等可能的 比如掷骰子 只要没有人在骰子上做手脚 你得到6点的概率应该是六分之一 得到其他点的概率也是六分之一 得到6的概率或者机会是已知的 但掷骰子的结果还只可能是六个数目之一 这个已知的概率就反映了规律性 而得到哪个结果则反映了随机性 如果你掷1000次骰子 那么 大约有六分之一的可能会得到6 这也是随机性呈现有规律的一个体现 2020 2 27 36 4 比如 抛掷一枚均匀硬币的试验 抛掷一枚均匀骰子的试验 从一副扑克牌中随机抽取一张 我们把这类实验称为等可能概型 考虑到它在概率论早期发展中的重要地位 又把它叫做古典概型 一 古典概型 生活中有这样一类试验 它们的共同特点是 样本空间的元素只有有限个 每个基本事件发生的可能性相同 2020 2 27 36 5 由古典概型的等可能性 得 又由于基本事件两两互不相容 所以 古典概型中事件概率的计算 设S e1 e2 en 2020 2 27 36 8 事件A2为 至少有一次出现正面 A2 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH 2020 2 27 36 9 例2一口袋装有6只球 其中4只白球 2只红球 从袋中取球两次 每次随机的取一只 考虑两种取球方式 放回抽样第一次取一只球 观察其颜色后放回袋中 搅匀后再取一球 不放回抽样第一次取一球不放回袋中 第二次从剩余的球中再取一球 分别就上面两种方式求 1 取到的两只都是白球的概率 2 取到的两只球颜色相同的概率 3 取到的两只球中至少有一只是白球的概率 2020 2 27 36 10 二 基本组合分析 乘法原理若进行A1过程有n1种方法 进行A2过程有n2种方法 则进行A1过程后再进行A2过程共有n1 n2种方法 加法原理若进行A1过程有n1种方法 进行A2过程有n2种方法 假定A1过程与A2过程是并行的 则进行过程A1或过程A2的方法共有n1 n2种方法 2020 2 27 36 11 排列 从含有n个元素的总体中取出r个来进行排列 这时既要考虑到取出的元素也要顾及其取出顺序 不可重复 排列数 无放回选取 可重复排列数 有放回选取 r n时称为选排列 r n时称为全排列 记为Pn n 2020 2 27 36 12 组合 从含有n个元素的总体中取出r个而不考虑其取出顺序 不可重复 组合数 无放回选取 可重复组合数 有放回选取 若r1 r2 rk n 把n个不同元素分成k类 第一类r1个 第k类rk个 则不同的分法有 二项系数 多项系数 分类数 2020 2 27 36 13 例2一口袋装有6只球 其中4只白球 2只红球 从袋中取球两次 每次随机的取一只 考虑两种取球方式 放回抽样第一次取一只球 观察其颜色后放回袋中 搅匀后再取一球 不放回抽样第一次取一球不放回袋中 第二次从剩余的球中再取一球 分别就上面两种方式求 1 取到的两只都是白球的概率 2 取到的两只球颜色相同的概率 3 取到的两只球中至少有一只是白球的概率 三 计算例子 2020 2 27 36 14 解 设A 取到的两只球都是白球 B 取到的两只球颜色相同 C 取到的两只球中至少有一只是白球 有放回抽取 基本事件是可重复排列 2020 2 27 36 15 无放回抽取 基本事件是不可重复排列 无放回抽取 基本事件是不可重复组合 2020 2 27 36 16 例3将n只球随机的放入N N n 个盒子中去 求每个盒子至多有一只球的概率 设盒子的容量不限 解 将n只球放入N个盒子中去 在盒子的容量不限的性况不 基本事件等价于从N个元素中有放回取n个的可重复排列 因此共有 而每个盒子中至多放一只球等价于不可重复排列 共有 2020 2 27 36 17 此例可以作为许多问题的数学模型 比如每人的生日在在一年365天中的任一天是等可能的 那么随机选取n 365 个人 他们的生日各不相同的概率是 365 364 365 n 1 365n因而 n个人中至少有两人生日相同的概率是 p 1 365 364 365 n 1 365n 经计算可得下述结果 2020 2 27 36 18 例4设有N件产品 其中有D件次品 今从中任取n件 问其中恰有k k D 件次品的概率是多少 在D件次品中取k件 所有可能的取法有 在N D件正品中取n k件 所有可能的取法有 在N件产品中抽取n件 取法共有 解 2020 2 27 36 19 于是所求的概率为 此式即为超几何分布的概率公式 由乘法原理知 在N件产品中取n件 其中恰有k件次品的取法共有 2020 2 27 36 20 2 有放回抽样 基本事件为排列 而在N件产品中取n件 其中恰有k件次品的取法共有 于是所求的概率为 从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列 可能的排列数为个 将每一排列看作基本事件 总数为 此式即为二项分布的概率公式 2020 2 27 36 21 例5袋中有a只白球 b只红球 k个人依次在袋中取一只球 1 作放回抽样 2 作不放回抽样 求第i i 1 2 k 人取到白球 记为事件B 的概率 k a b 解 1 放回抽样的情况 显然有 P B a a b 2 不放回抽样的情况 基本事件为k个球的不重复排列 共有种 第i人取到白球的排列共有 2020 2 27 36 22 例6在1 2000的整数中随机的取一个数 问取到的整数既不能被6整除 又不能被8整除的概率是多少 解 设A为事件 取到的整数能被6整除 B为 取到的整数能被8整除 则所求的概率为 AB为 既被6整除又被8整除 或 能被24整除 2020 2 27 36 23 于是所求的概率为 其中B 8 16 2000 AB 24 48 1992 为 6 12 18 1998共333个 所以能被6整除的整数 2020 2 27 36 24 例7将15名新生随机地平均分配到3个班中去 这15名新生中有3名是优秀生 问 1 每个班各分配到一名优秀生的概率是多少 2 3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少 解 15名新生平均分配到3个班级中去的分法总数为 以每一种分配法为一基本事件 2020 2 27 36 25 1 将3名优秀生分配到3个班级 使每个班级都有一名优秀生的分法共有3 种 其余12名新生平均分配到3个班级中的分法共有 每个班各分配到一名优秀生的分法总数为 于是所求的概率为 2020 2 27 36 26 2 3名优秀生分配到同一个班级的概率为 2020 2 27 36 27 例8某接待站在某一周曾接待过12次来访 已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的 问是否可以推断接待时间是有规定的 解 假设接待站的接待时间没有规定 各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的 那么 12次接待来访者都在周二 周四的概率为 212 712 0 0000003 即千万分之三 2020 2 27 36 28 人们在长期的实践中总结得到 概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的 称之为实际推断原理 现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了 从而推断接待站不是每天都接待来访者 即认为其接待时间是有规定的 2020 2 27 36 29 几何概型考虑的是有无穷多个等可能结果的随机试验 首先看下面的例子 例1 会面问题 甲 乙二人约定在12点到5点之间在某地会面 先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的 且二人互不影响 求二人能会面的概率 四 几何概型 2020 2 27 36 30 解 以X Y分别表示甲乙二人到达的时刻 于是 即点M落在图中的阴影部分 所有的点构成一个正方形 即有无穷多个结果 由于每人在任一时刻到达都是等可能的 所以落在正方形内各点是等可能的 012345 y x 54321 M X Y 2020 2 27 36 31 二人会面的条件是 012345 y x 54321 y x 1 y x 1 2020 2 27 36 32 一般 设某个区域D 线段 平面区域 空间区域 具有测度mD 长度 面积 体积 如果随机实验E相当于向区域内任意地取点 且取到每一点都是等可能的 则称此类试验为几何概型 如果试验E是向区域内任意取点 事件A对应于点落在D内的某区域A 则 2020 2 27 36 33 例2 蒲丰投针问题 平面上有一族平行线 其中任何相邻的两线距离都是a a 0 向平面任意投一长为l l a 的针 试求针与一条平行线相交的概率 l M x 解 设x是针的中点M到最近的平行线的距离 是针与此平行线的交角 投针问题就相当于向平面区域D取点的几何概型 M 2020 2 27 36 34 x D A 0 2020 2 27 36 35 思考题1 某人午觉醒来 发觉表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不超过10分钟的概率 1 6 2 在线段AD上任意取两个点B C 在B C处折断此线段而得三折线 求此三折线