数字滤波器的设计

第6章IIR数字滤波器的设计 第6章IIR数字滤波器的设计 6 1滤波器的基本概念6 2模拟滤波器的设计6 3用模拟滤波器设计IIR数字滤波器6 4数字高通 带通和带阻IIR滤波器的设计 6 1数字滤波器的基本概念 6 1 1滤波器的分类 经典滤波器假定输入信号x n 中的有用成份和希望去除的成分各自占有不同的频带 这样 当x n 通过一个线性系统 即滤波器 后可将与欲去除的成份有效地去除 1 频率变量以数字频率 表示 T 为模拟角频率 T为抽样时间间隔 2 以数字抽样频率为周期 3 频率特性只限于范围 这是因为依取样定理 实际频率特性只能为抽样频率的一半 可分为低通 高通 带通 带阻 特点 数字滤波器的理想幅频特性 6 1 2滤波器的技术指标 通带容限 阻带容限 通带截止频率 阻带截止频率 通带最大衰减 阻带最小衰减 低通 1 给出所需要的滤波器的技术指标 2 设计一个H z 使其逼近所需要的技术指标 3 实现所设计的H z 6 1 3滤波器的设计步骤 其中步骤 2 是本章和下一章所讨论的主要内容 1 数字滤波器的设计步骤 2 根据转换后技术指标设计模拟低通滤波器的 2 IIR数字滤波器的设计步骤 巴特沃思模拟滤波器和切比雪夫模拟滤波器 1 按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标 若所设计的是高通 带通或带阻滤波器 那么需要对步骤 1 进行改动 将高通 带通或带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标 3 按一定的规则 抽样响应不变法和双线性变换法 6 2模拟低通滤波器的设计 为了从模拟滤波器设计IIR数字滤波器 即需要把数字滤波器的指标转变成模拟原型滤波器的指标 再设计一个满足技术指标的模拟原型滤波器 常用的模拟低通原型滤波器有巴特沃思 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Ellipse 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器等 特点 严格的设计公式 现成的设计图表供设计人员使用 1 幅度平方函数 模拟滤波器的系统函数 模拟滤波器的频率响应 模拟滤波器的幅频特性 6 2 1由幅度平方函数来确定系统函数 2 系统函数的零极点分布特点 1 的极点 零点 的极点 零点 3 由于滤波器是稳定的 所以的极点一定在左半平面 最小相位延时 应取左半平面的零点 如无此要求 可取任一半对称零点为的零点 的极点 零点 呈象限对称 2 虚轴上的零点一定是二阶的 这是因为是实数时的的零极点以共轭对存在 1 由可确定出 2 根据零极点可确定出 稳定可实现的滤波器的极点一定在s平面的左边 零点根据与对称关系取其中一个 3 按低频或高频特性确定增益常数 3 由确定的方法 6 2 2巴特沃思模拟低通滤波器的设计 1 幅度平方函数 2 系统函数 全极点型 极点 巴特沃斯圆 取左半平面的极点为的极点 由低频特性决定 系统函数 如果将系统函数的 用滤波器的截止频率去除 这样对应的截止频率变为1rad s 即所谓归一化 相应的系统函数称作归一化的系统函数记作 在系统函数形式不变的情况下 如果需要将截止频率为的滤波器 转变成截止频率为的滤波器 3 系统函数的归一化 4 滤波器的阶数和截止频率的确定 已知巴特沃思模拟滤波器的指标 N的推导 完成 N的推导 返回 6 2 3切比雪夫模拟低通滤波器的设计 巴特沃思滤波器的幅度特性无论在通带与阻带都随频率变化而单调变化 因而如果在通带边缘满足指标 则在阻带内肯定会有富裕量 也就会超过指标的要求 因而并不经济 解决办法 将指标的精度均匀地分布在通带内 或均匀地分布在阻带内 或同时均匀地分布在通带与阻带内 这时就可设计出阶数较低的滤波器 这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成 切比雪夫滤波器的幅度特性就在一个频带中 通带或阻带 具有这种等波纹特性 1 切比雪夫 型 在通带中是等波纹的 在阻带内是单调的 2 切比雪夫 型 在通带内是单调的 在阻带内是等波纹的 1 切比雪夫 型低通滤波器的逼近 幅度平方函数 幅度频响函数 切比雪夫 型低通滤波器的幅频特性 1 通带宽度 给定 2 是与通带波纹有关的一个参数 3 滤波器阶数N 通带内最大值和最小值的总数由阻带衰减确定 切比雪夫 型低通滤波器的三个参数 阻带衰减确定滤波器阶数 带入 当即为3dB截止频率 2 切比雪夫 型低通滤波器的逼近 幅度平方函数 6 2 4椭圆模拟低通滤波器的设计 幅度平方函数 雅可比 Jacobian 椭圆函数 幅频特性 椭圆滤波器的特点 在通带和阻带内都具有等波纹的幅度响应特性对于给定的指标 椭圆滤波器的阶数最小阶数相同的不同类型中 椭圆滤波器的过渡带最陡与切比雪夫 型滤波器相似 椭圆滤波器的参数 1 通带宽度 2 是与通带波纹有关的一个参数 3 滤波器阶数N 6 2 5贝塞尔模拟低通滤波器的设计 系统函数 特点 1 具有在通带内逼近线性相位特性 2 全极点系统 由归一化系统函数得 只需将s代入即可 归一化低通滤波器的系统函数 6 2 6归一化原型滤波器设计数据 巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的多项式系数可见表6 2 1和表6 2 2 6 2 7常用模拟滤波器比较 工程应用中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数和相位特性的具体要求 如果仅就满足滤波器幅频指标而言 椭圆滤波器的性价比最高 应用较为广泛 6 3用模拟滤波器设计IIR数字滤波器 转换关系的两点要求 1 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器 仍是因果稳定的 因此转换关系应是s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内部 2 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频率响应 也就是s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上 方法 抽样响应不变法双线性变换法 6 3 1抽样响应不变法 转换思想 1 变换原理 如果 变换关系式 频率响应特性 频率映射关系 响应映射关系 如果是带限的 混叠失真 任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠 即产生频率响应的混叠失真 特点 频率的线性关系时域模仿特性好频率响应的混叠失真适用于滤波器非零带宽小于采样频率一半的情况 不适用于高通 带阻和截止特性不好拖尾太长的低通 带通 一般方法先再对抽样 使最后这个过程比较复杂 2 转换关系 系统函数 方法的简化 对于单阶极点情况 单位抽样响应 抽样 对比式 对应关系式 求Z变换 由于数字滤波器的频响与T成反比 当T很小时 数字滤波器的增益过高 为此做如下修正 修正 6 3 2双线性变换法 针对抽样响应不变法的混叠失真现象 采用非线性频率压缩方法 将整个频率轴上的频率范围压缩到之间 再用转换到z平面上 1 变换原理 频率压缩 设经过非线性频率压缩后用表示 这里用正切变换实现频率压缩 转换关系 几种平面的映射 待定系数的引入 为了使滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应的关系 可以引入待定系数c 实现频率压缩 实现s平面压缩 转换到z平面 2 常数c的确定 考虑当 很小时 即此时滤波器的低频特性得到很好的近似 不适合于高通 带通滤波器的设计考虑滤波器的截止频率可以较准确的控制模拟截止频率的位置 3 逼近情况 由 1 当时 这就是说 s平面的轴映射z平面的单位圆上 2 当时 则有 这表明s左半平面映射到z平面的单位圆内 两者均是稳定的 3 当时 则有 这表明s右半平面映射到z平面的单位圆外 由 逼近情况的结论 模拟滤波器Ha s 中最大和最小值将保留在数字滤波器中 因此模拟滤波器的通带或阻带变换成数字滤波器的通带或阻带 如果模拟滤波器是稳定的 则通过双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的 由于s平面的整个j 轴映射为z平面上的单位圆 因此双线性变换法确实消除了冲激响应不变法所存在的混叠误差 所以逼近是良好的 在 和 间存在着严重的非线性 4 模拟滤波器的数字化 系统函数 频率响应 5 优缺点 优点 消除了抽样响应不变法所固有的混叠误差缺点 和 间存在着严重的非线性 6 双线性变换的表格设计 数字系统函数 模拟系统函数 关系式 查书表6 3 1可得对应的系数 6 4数字高通 带通和带阻IIR滤波器的设计 映射关系见表6 4 1 映射关系见表6 4 2 6 4 1模拟频带法 设计步骤 1 确定技术指标 所需设计的数字滤波器 2 转换技术指标 数字滤波器 模拟滤波器 3 转换技术指标 模拟滤波器 模拟低通滤波器按模拟频带的变换公式 6 4 1 6 4 6 6 4 10 4 设计 归一化模拟低通滤波器 5 系统函数变换 模拟低通滤波器 模拟滤波器按频带法转换公式 6 4 4 6 4 8 6 4 12 6 数字化 模拟滤波器 数字滤波器 双线性变换法 1 由模拟低通到模拟高通的变换 频率变换关系式 1 由模拟低通到模拟高通的变换 频率变换关系式 频率特性关系 归一化系统函数 系统函数 2 由模拟低通到模拟带通的变换 频率变换关系式 归一化截止频率 通带中心频率 通带带宽 归一化频率 2 由模拟低通到模拟带通的变换 频率变换关系式 系统函数 将 代入 得复平面对应关系 去归一化 将代入上式 得 3 由模拟低通到模拟带阻的变换 频率变换关系式 归一化截止频率 阻带中心频率 阻带带宽 归一化频率 3 由模拟低通到模拟带阻的变换 复平面转化 系统函数 模拟频带法双线性变换的转换关系 6 4 2数字频带法 单位圆变换到单位圆 低通原型滤波器 所设计滤波器 稳定 最小相位系统 有理函数 要求 频率变换函数 这就是各种滤波器所需要的频率变换函数 根据辐角原理 z平面中的单位圆按反时针方向绕单位圆一周 相当于u平面上绕了N周 这样才能映射出N个通带的滤波器 一般形式 下式满足上述条件 1 数字低通到数字低通的变换 映射其自身单位圆只一次 N 1 变换条件 变换关系 系数 截止频率关系 2 数字低通到数字高通的变换 映射其自身单位圆只一次 N 1 变换条件 变换关系 系数 截止频率关系 原型滤波器的截止频率 高通滤波器的截止频率 3 数字低通到数字带通的变换 变换条件 原型滤波器的截止频率 带通滤波器的中心频率 带通滤波器的上截止频率 带通滤波器的下截止频率 由于数字带通表示在范围内形成两个通带 也就是变换函数需要映射其单位圆本身两次 取N 2 3 数字低通到数字带通的变换 系数 截止频率关系 4 数字低通到数字带阻的变换 变换条件 原型滤波器的截止频率 带阻滤波器的上截止频率 带阻滤波器的下截止频率