福建省光泽县第二中学高中数学必修五课件113解三角形的进一步讨论

正弦定理与余弦定理 1 解三角的进一步讨论 正弦定理与余弦定理 2 1 三角形中的边角关系 在 中 设角的对边分别为 则有 1 角与角之间的关系 2 边与角之间的关系 正弦定理 余弦定理 射影定理 正弦定理与余弦定理 3 2 正弦定理的另三种表示形式 正弦定理与余弦定理 4 3 余弦定理的另一种表示形式zxxk 正弦定理与余弦定理 5 4 正弦定理解三角形可解决的类型 1 已知两角和任一边解三角形 2 已知两边和一边的对角解三角形 5 余弦定理解三角形可解决的类型 1 已知三边解三角形 2 已知两边和夹角解三角形 正弦定理与余弦定理 6 思考1 在 ABC中 已知a 20 b 28 A 40 求B和c 解 B1 64 B2 116 正弦定理与余弦定理 7 在上例中 将已知条件改为以下几种情况 结果如何 2 b 20 A 60 a 10 3 b 20 A 60 a 15 1 b 20 A 60 a 20 正弦定理与余弦定理 8 1 b 20 A 60 a 20 150 60 180 B 150 应舍去 正弦定理与余弦定理 9 2 b 20 A 60 a 10 B 90 正弦定理与余弦定理 10 3 无解 思考 已知两边和其中一边所对的角 讨论解三角形的解的情况 正弦定理与余弦定理 11 二 难点剖析 1 已知两边和其中一边的对角 解三角形时 将出现无解 一解和两解的情况 应分情况予以讨论 下图即是表示在 ABC中 已知a b和A时解三角形的各种情况 Z xxk 正弦定理与余弦定理 12 1 当A为锐角时 如下图 正弦定理与余弦定理 13 2 当A为直角或钝角时 如下图 正弦定理与余弦定理 14 随堂练习1 不解三角形 判断三角形的个数 1 a 5 b 4 A 120 2 a 30 b 30 A 50 3 a 7 b 14 A 30 4 a 9 b 10 A 60 5 a 6 b 9 A 45 6 c 50 b 72 C 135 正弦定理与余弦定理 15 解析 正弦定理与余弦定理 16 思考2 能否用余弦定理求解两边及夹角 利用方程的思想和余弦定理 当等式中含有未知数时 等式便成为方程 式中有四个量 知道任意三个 便 可以解出另一个 运用此式可以求或或或 正弦定理与余弦定理 17 已知两边和其中一边的对角的解三角形问题 可运用正弦定理来求解 但应注意解的情况 或借助余弦定理 先求出c后 再求出角A与角C 分析 正弦定理与余弦定理 18 正弦定理与余弦定理 19 正弦定理与余弦定理 20 随堂练习 如图所示 在 ABC中 已知BC 15 AB AC 7 8 求AD的长 分析 由已知设AB 7x AC 8x 故要求AD的长只要求出x ABC中已知三边只需再有一个角 根据余弦定理便可求x 而用正弦定理正好可求角C 正弦定理与余弦定理 21 解 在 ABC中 设AB 7x AC 8x 由正弦定理得 再由余弦定理得 7x 2 8x 2 152 2 8x 15cos60 x2 8x 15 0 x 3或x 5 AB 21或AB 35 正弦定理与余弦定理 22 思考3 利用余弦定理可以判断三角形形状 练习 在 ABC中 已知a 7 b 10 c 5 判断 ABC的形状 设c为最长边 1 ABC是直角三角形c2 a2 b2 2 ABC是锐角三角形c2a2 b2 正弦定理与余弦定理 23 随堂练习 一钝角三角形的边长为连续自然数 则这三边长为 A 1 2 3B 2 3 4C 3 4 5D 4 5 6 分析 要看哪一组符合要求 只需检验哪一个选项中的最大角是钝角 即该角的余弦值小于0 B中 所以C是钝角 D中 所以C是锐角 因此以4 5 6为三边长的三角形是锐角三角形 A C显然不满足 B 正弦定理与余弦定理 24 小结 1 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 有两解或一解或无解等情形 2 利用方程的思想和余弦定理