实验13-人口迁徙问题.doc

实验13 人口迁徙问题13.1实验指导本实验从人口迁移问题出发，讨论了方程组、矩阵乘法、特制值特征向量、及矩阵对角化问题。并利用MATLAB软件对线性代数理论进行了验证。表13.1给出了与本实验相关的MATLAB命令或函数。表13.1 与本实验相关的MATLAB命令或函数命令功能说明位置syms n定义符号变量n例13.1lamda .n群运算，对矩阵lamda中所有元素进行幂运算例13.113.2实验内容例13.1假设一个城市的总人口数是固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有5的市区居民搬到郊区；而有15的郊区居民搬到市区。若开始有700000人口居住在市区，300000人口居住在郊区。请利用MATLAB软件分析：（1）10年后市区和郊区的人口各是多少？（2）30年后、50年后市区和郊区的人口各是多少？（3）分析（2）中数据相似的原因。解：设第n年市区人数和郊区人数分别为：、，则第n1年的市区和郊区人数为：。用矩阵表示为：，进一步写为：，矩阵，向量描述第n年该城市的市区和郊区人数。（1）根据，及开始市区和郊区的人口数，可以得到10年后市区和郊区的人口分布：，在MATLAB命令窗口中输入：A=0.95,0.15;0.05,0.85;X0=700000;300000;X10=A10*X0计算结果为：X10 = 1.0e+005 * 7.4463 2.5537可以知道，10年后市区和郊区人口数约为：744630和255370。（2）同理可以得到30年后和50年后的人口分布：和。在MATLAB命令窗口中输入：A=0.95,0.15;0.05,0.85;X0=700000;300000;X30=A30*X0X50=A50*X0计算结果为：X30 = 1.0e+005 * 7.4994 2.5006X50 = 1.0e+005 * 7.50002.5000从计算结果可以看出30年后和50年后的市区和郊区人口分布非常接近。（3）若矩阵可以对角化，则可以利用矩阵对角化的方法来计算矩阵。设矩阵的特征值构成的对角矩阵为，则总存在可逆矩阵，使得：，则，其中矩阵为的特征值所对应的特征列向量所构成的矩阵。那么有：。可以利用MATLAB的符号运算来计算n年后该城市的人口分布情况。在MATLAB的M文件编辑器中编写程序la24.m：% 分析n年后城市人口分布A=0.95,0.15;0.05,0.85;X0=700000;300000;P,lamda=eig(A);syms n % 定义符号变量nXn=P*lamda.n*inv(P)*X0 % .n群运算，对矩阵lamda中所有元素进行幂运算在MATLAB命令窗口输入：la24计算结果为：Xn = 750000-50000*(4/5)n 250000+50000*(4/5)n从计算结果可以看出：当n越大，(4/5)n就越近于零，则就趋近于，这就是为什么与接近的原因。13.3实验习题1、李博士培养了一罐细菌，在这个罐子里存放着A、B、C三类不同种类的细菌，最开始A、B、C三种细菌分别有、2、3个。但这些细菌每天都要发生类型转化，转化情况如下：A类细菌一天后有5的变为B类细菌、15的变为C细菌；B类细菌一天后有30的变为A类细菌、10的变为C类细菌；C类细菌一天后有30的变为A类细菌、20的变为B类细菌。请利用MATLAB软件分析：（1）一周后李博士的A、B、C类细菌各有多少个？（2）两周后和三周后李博士的A、B、C类细菌各有多少个？（3）分析在若干周后，李博士的各种细菌的个数几乎不发生变化的原因。解： 每天细菌的转化方程可写成其中T为转化矩阵。于是程序可写成：T=0.8,0.15,0.05; 0.3,0.6,0.1;0.3,0.2,0.5,X0=1;2;3*108,X7=T7*X0X14= T14*X0程序运行结果为X7