光学成像系统的频率特性课件

第三章光学成像系统的频率特性 3 1透镜的位相变换作用 入射光波在入射平面内的光场分布与出射平面光场分布关系为 3 2透镜的傅里叶变换性质 物在透镜前 3 2透镜的傅里叶变换性质 物在透镜后 3 2透镜的傅里叶变换性质 结论 1 在一般情况下 频谱面上的光场分布是物频谱函数与一个二次位相因子的乘积 因而是物函数的近似傅里叶变换 即准傅里叶变换 2 将输入面置于透镜前焦面上 可得到物函数的准确傅里叶变换 3 照明光源 既可以用单色轴向平行光照明 也可以用光轴上的单色点光源照明 4 绝大多数情况下是采用单色轴向平行光照明 因而物面位于透镜前焦面上并用轴向平行光照明的光路具有特殊的意义 透镜傅里叶变换光路 傅里叶变换 准傅里叶变换 在光学信息处理中 通常是通过对物频谱的处理来达到对物所成的像进行处理的目的 如果频谱函数在空间尺度上能按一定比例缩放 则对光学信息处理在应用上将带来一定的灵活性 当采用平行光照明时 若物位于透镜之前 则不管物面是否位于前焦面上 空间频率与频谱面上的空间尺度之间的比例是固定不变的 即 当物位于透镜之前 且d0 0 则空间频率与频谱面上的空间尺度之间的比例随q大小改变的 即 在用单色平行光照明物面时 不论物在透镜前的任意位置上 频谱面总是在后焦面上 物理解释 对物函数作傅里叶变换 频谱函数代表空间频率为的指数基元的权重密度 而空间频率一定的指数基元为传播方向一定的单位振幅的平面波 该平面波经过透镜之后 必然会聚在透镜后焦面的一点上 透镜的傅里叶变换性质 说明 频率坐标与位置坐标的关系 3 3透镜孔径对透镜傅里叶变换的影响 透镜孔径的大小总是有限的 它对其傅里叶变换特性会产生影响 当物在透镜前 且用平行光垂直照明 有 下面 我们在忽略透镜孔径的衍射作用条件下 仅从几何光学近似出发 研究透镜孔径函数对光线的限制作用 透镜孔径对光线的限制作用 频谱面上任意一点处的光场可以看作是整个物体上所有各点发出的一切以方向余弦传播的平行光线经透镜会聚后的叠加 光线受到了透镜孔径的限制 只有其中一部分能进入透镜并被会聚 只有在孔径投影区内的物体发出的以方向余弦传播的光线才能通过透镜会聚于M点 而投影区外物体发出的该方向光线将不能进入透镜而受到限制 此时M点的光场将不能完全代表整个物在该方向平面波所对应的空间频率的谱值 如果物体在孔径投影区之外 则表明物体上以OM方向传播的平面波完全不能通过透镜而会聚 此时M点的光场为零 薄透镜相当于一个低通滤波器 它限制了高频分量的通过 透镜的截止频率 透镜的截止频率是指恰好不能通过透镜的平面波所对应的空间频率 以物在前焦面上且用单色平面被垂直照明的情况为例 设透镜的焦距为f 孔径为D 物体大小为 透镜的截止频率 物体准确傅里叶变换的最大空间频率 物体的最大空间频率不超过某一数值 在频谱面上仍然可得到准确的傅里叶频谱 当物体的最大空间频率所对应的平面波以角传播时 物体上所有的点发出该频率分量光波的都能通过透镜 此时有 对应的最大准确空间频率为 综上所述 如果物体的最大空间频率不大于 则该系统能实现对物体的准确傅里叶变换 如果物体存在高于的频率分量 则对于物体中大于截止频率的频率分量 将完全不能通过系统 全部被透镜孔径所拦截 对于物体中在范围内的频率分量 只有一部分光线能通过透镜 即存在不同程度的渐晕 因而得到的傅里叶变换不是准确的 本节所讨论的薄透镜的傅里叶变换性质 那是在近轴条件下得到的 对于非近轴情况下的傅里叶变换 必须使用专门设计的傅里叶变换镜头才能获得理想的傅里叶频谱 3 4正薄透镜的成像 物体后表面光场 象面光场 物光波场函数分解为无数个点光源复振幅之和 光波的传播过程是线性的 成像系统也可以看成是线性系统 如果能求出单位脉冲 函数 通过系统后的响应表达式 将它与每个相应物面元上的复振幅相乘后求和 就可得到输出面上的复振幅分布 正薄透镜的成像 物面上点的单位脉冲在透镜前表面上的光场分布为 近轴光线 在透镜后表面上的光场分布为利用菲涅耳衍射公式 得到像平面上的光场分布 即脉冲响应 脉冲响应 由于满足高斯公式 设透镜的横向放大率为 则 略去所有常数位相因子 振幅点扩散函数的形式变成 对应于物点的几何像点位置为 上式左边可以写成的形式 在近轴条件下透镜成像系统是空间不变系统 当透镜孔径比大很多时 在坐标中 在无限大的区域内可认为 正透镜的成像 在相干光照明情况下 物面光场分布经透镜后在像面上的光场分布为对于几何像有 若用几何像的位置坐标代替物面坐标 则积分运算可在像面上进行 即或者该式表明 实际像是几何像与脉冲内应在像面上卷积的结果 这是考虑了衍射效应后系统所成的像 衍射效应愈强 振幅点扩散函数的分布也就愈宽 则卷积的平滑作用愈强 系统的分辨率愈低 像质下降 3 5衍射受限系统成像分析 衍射受限系统 一个光学成像系统不存在任何几何像差 其成像过程只受到有限大小的孔径衍射的影响 则称该成像系统为衍射受限系统 光学成像系统的黑箱模型 光学成像系统通常是由多个光学元件 如正透镜 负透镜 光阑 转向棱镜等 组成的 系统中总是存在一个实际起限制光束通光孔径作用的孔径光阑 孔径光阑是光学系统的特征元件之一 孔径光阑经它前面的光学元件所成的像就是系统的入射光瞳 简称入瞳 而孔径光阑经它后面的光学元件所成的像是系统的出射光瞳 简称出瞳 入瞳和出瞳是一对等光程共轭面 系统的衍射效应归结于是由入瞳引起的 或是由出瞳引起例 二者完全等价 成像系统黑箱模型 任何一个复杂的光学成像系统的所有光学元件都装入一个黑箱中 入瞳和出瞳是它的两个端面 其对光的衍射效应都可以只归结于黑箱两端面上的入瞳或出瞳的作用 这就是一般光学成像系统的黑箱模型 系统的成像过程 物平面到入瞳面 满足菲涅耳衍射 入瞳面到出瞳面 可用脉冲响应确定系统作用 出瞳面到像平面 满足菲涅耳衍射 成像过程 物平面上任一物点发出的发散球面波投射在黑箱模型的入瞳上 光波在有限大小的入瞳处发生衍射 入瞳面上每一点都成为次级子波源 次级子波源再传播到出瞳面 然后光波最终在像面上形成以几何像点为中心的光瞳的夫琅和费衍射图样 成像过程 衍射受限系统 无像差系统 物面上任一点发出的发散球面波投射到入瞳上 被系统变换为出瞳上的会聚球面波会聚于成像面 有像差系统 物面上任一点发出的发散球面波投射到入瞳上 出瞳上透射波场明显偏离理想球面波 偏离程度由像差决定 衍射受限系统脉冲响应 物点发出的球面波 在像方得到的将是一个被出瞳所限制的球面波 该球面波以几何像点为中心的 由于光瞳的限制作用 像面上光场是以理想像点为中心的出瞳孔径的夫琅和费衍射图样 变换坐标为理想像点位置 脉冲响应 点扩散函数 衍射受限系统的成像规律 设物光波场复振幅分布各点是相干的 像面上光场分布 其中脉冲响应 理想像分布 在衍射受限系统中 在相干照明条件下 系统脉冲响应函数是光瞳函数的傅里叶变换 由此可见光瞳函数的重要性 3 6衍射受限系统的相干传递函数 1 相干传递函数 CTF 的概念CTF coherenttransferfunction 由于衍射受限的相干成像系统对于复振幅是线性的 在空城中 系统的成像特性由脉冲响应函数表示 它满足卷积方程 相干传递函数 对上式两边分别进行傅里叶变换 并运用卷积定理 则得到相干成像系统在频域中的物像关系式 相干传递函数 定义脉冲响应函数 的傅里叶变换 为相干成像系统的CTF 即 因为 CTF反映了在相干照明时 光学成像系统对不同空间频率光波的传递能力 所以又称为成像系统的频率响应或频率特性 相干传递函数 在衍射受限系统中 脉冲响应函数是光瞳函数的傅里叶变换 即 因而CTF为 式中P的负号是因一个函数连续进行两次傅里叶变换所产生的 它表示CTF正比于反射坐标中的光瞳函数 当把光瞳面上坐标反向时 这个负号便可略去 相干传递函数 由于一般的光瞳函数都是对光轴呈中心对称的 坐标反向的结果不会产生任何实质性的影响 因此 在讨论相干成像系统的CTF时通常写成 结论 2 相干成像系统的CTF只有两个取值 1或0 因为成像系统的光瞳函数只有两个取值 相干成像系统的CTF等于光瞳函数 只要将光瞳函数中的空间坐标变量x y改换成频域变量即可 3 光学系统的作用相当于一个低通滤波器 CTF的截至频率 把能通过系统的光波的最大空间频率称为该系统的截止频率 用表示 空间频率低于截止频率的光波能无衰减地通过系统 而空间频率高于截止频率的光波则完全不能通过系统 这表明光学系统的作用相当于一个低通滤波器 通光谱带由光瞳的形状及尺寸决定 CTF计算举例 截止频率为 最大截止频率 2 图形光瞳当光学成像系统的出瞳为直径等于的圆孔时 其光瞳函数为圆域函数 CTF也为圆域函数 截止频率在所有方向上均为 对CTF的简要说明 CTF表示光学成像系统对物分布中空间频率为的平面谐波的传递能力 它是脉冲响应函数的傅里叶变换 它的函数形式与光瞳函数相同 反映了平面谐波通过系统后复振幅的变化 对于任意复杂的输入 经傅里叶变换后得到一系列不同方向 即不同空间频率 的平面谐波 而频谱则表示这些平面谐波复振幅的权重因子 每个方向的平面谐波复振幅乘以该频率的传递函数值 就得到相应输出平面谐波的复振幅 对CTF的简要说明 CTF是在频域内表征光学系统对平面谐波的传递能力 而光瞳函数则是在空城中描述该系统对球面波的限制作用 只有能通过出瞳的光波才能到达像面综合为像的复振幅分布 可见 CTF和光瞳函数虽然是不同域中的不同表示方法 但它们所表示的问题的实质是相同的 二者是等价的 函数形式也是相同的 因为CTF是频域中的特征量 所以当用光瞳函数来表示CTF时 自然必须把空间坐标变换成频域变量 3 7衍射受限系统非相干成像的光学传递函数 光学成像系统采用非相干光源例如太阳光 白炽灯等照明时 物面上各点的光振动是彼此独立 与统计无关的 这是属于非相干成像情况 在一定条件下 非相干成像系统对光强分布是线性的 并且是空间不变的 而对物和像的复振幅分布则是高度非线性的 光学传递函数 OTF的概念 Opticaltransferfunction 在非相干光照明情况下 光学成像系统对光强分布是线性的 式中是几何像的光强分布函数 是以几何像点为中心的点扩散函数 结论 非相干成像系统对于光强是线性的 在非相干照明下 频域中的物像关系 由于该情况下衍射受限系统对于强度分布是线性空间不变系统 所以一般描述物像的强度关系 对上式进行傅里叶变换并运用卷积定理可得 其中 由于都是强度分布 它们必定是非负实函数 因而其频谱必定含有零频分量 而且零频分量的幅值大于任何非零频分量的幅值 决定像的清晰与否 主要不是看包括零频在内的总能量的大小 而在于带有物信息的那部分能量相对于零频分置的比值的大 即像的对比度 考察相对于各自零频分量的比值 反映成像质量 用零频分量对它们归一化 得出归一化频谱 被称为光学传递函数 OTF 由于人眼判断图像质量的优劣往往不在于图像本身亮度的大小 而很大程度上取决于图像相对于背景的对比度 因而归一化后的相对光强分布更能反映系统的成像特性 OTF反映的就是非相干成像系统的频域持性 OTF与CTF的关系 利用自相关定理可得 OTF与光瞳函数的关系 OTF的几何意义 分母表示光瞳的总面积A 分子表示两个错开的光瞳函数乘积的积分 恰好是两个错开的光瞳重叠部分的面积S fy fx 结论 1 衍射受限系统的OTF在数值上等于归一化的两个错位光瞳的重叠面积 2 对于不同的空间频率 两个光瞳的错位量不同 归一化的重叠面积也不同 有不同的值 3 0TF恒为非负实数 但它不一定是频率的单调下降函数 OTF的一般性质 OTF具有一系列非常简单而又普遍的性质 其中最重要的三个性质是 OTF计算举例 方形光瞳 光瞳总面积 用几何方法可以求出两光瞳错位后的重叠面积 的值不像一样是常数1 而是随空间频率的增大而减小 fy fx 2fy0 2fx0 1 H 方形光瞳衍射受限系统OTF 2 圆形光瞳 圆形光瞳的直径为 在截止频率内的OTF为 OTF的物理解释 重要结论 3 8实际光学系统的传递函数 衍射受限系统的传递函数可以用光瞳函数来描述 任何一个实际光学系统总是存在像差的 根据波像差理论 像差的存在会使得出瞳上的实际波前偏离理想球面波前 这一偏差是位相偏差引起的 因此 实际成像系统的光瞳函数是复函数 为此引入 广义光瞳函数 其定义 W x y 表示波面对理想球面的偏离的光程差 被称为波像差 实际光学成像系统的CTF 与衍射受限系统相比 实际成像系统的CTF只是增加了一个位相偏差项位相因子会影响像的对比度 但不会改变系统的截止频率 实际光学成像系统的OTF 有像差的非相干成像系统的截止频率与无像差时的截止频率一样 像差将使高频部分和较高频部分的传递能力降低 使像的光强分布中高频分量的衬度下降 当衬度低于某值时 接收器将无法分辨 3 9相干成像和非相干成像的比较 对同一个成像系统 0TF的截止频率是CTF的截止频率的两倍 是否表明同一个成像系统用非相干照明比用相干照明的成像效果更好呢 结论并非如此简单 CTF的截止频率确定的是像中包含的复振幅分布中的最高频率分量 而OTP的截止频率则是反映像的强度分布中的最高频率分量 两种情况下的截止频率是分别对复振幅和光强而言的 二者所描述的对象不是同一物理量 因而不能直接进行比较 无论是相干照明还是非相干照明 通常最终接收的是像的强度分布 必须将相干照明情况下对复振幅的描述转换成对光强度的描述 然后通过强度分布来进行比较 像的强度频谱与衬度 在相干照明时像的光强度 假设物体是两个不同类型的一维光栅A和B 它们的振幅透射系数分别为 为系统的相干截止频率 物体A和B的强度