三角函数图象综合问题选解.doc

三角函数图象综合问题选解关于三角函数的性质、最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性问题都与三角函数的图象有关，因此，迅速、熟练、准确地作出三角函数图象成为解题的关键步骤，所以说，三角函数的综合问题，实质上就是三角函数的图象问题下面选解分析几例例1 如图为函数y =Asin()的一个周期的图象yxO22-53写出y =的解析式；写y =的解析式，使得与的图象关于直线x =2对称；求作y =的图象解：由图知= 53 = 2，所以周期T=8， =，A=2y =2sin(x)，从图象可知，点(3，0)是五个关键点中的第三个关键点，3=，=，y =2sin(x)yxO2-64-2-28设(x，y)是y =的图象上任一点，此点关于x = 2的对称点为(4x， y)在y =的图象上，即y = 2sin(4x)整理得：y =2sin(x)这就是所要求的y =的表达式y =2sin(x)2sin(x)=2sinx (图象如右图)例2 已知弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化规律为s = 4sin(2t)， t0，)用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：小球在开始振动(t = 0)时，离开平衡位置的位移是多少？小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？经过多少时间，小球往返振动一次？解：作图的步骤如下：因为t=，T=，所以t= t=，t= t=，t= t=，t= t=列表求值2t02t4sin(2t)04040描点连线，得s = 4sin(2t)在一个周期内的简图如图所示ts44由于t的实际意义是时间，即t0，所以，把区间，0上的一段曲线用虚线画出上图中用实线表示的部分，才是实践中s = 4sin(2t)，在一个周期内的简图问题的回答如下：将t = 0代入s =4sin(2t)，得s = 4sin=2346(cm)，即小球开始振动时的位移是2cm并由图知这段位移是在平衡位置的上方由图知，小球上升到最高点、下降到最低点时，离开平衡位置的位移都是4cm由于这个函数的周期T=，所以小球往复振动一次所需要的时间为=314s反映在图象上，正弦型曲线在每一个长度为的区间上，都要完整的重复变化一次评析：在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦函数y =Asin()来表示振动的位移y随时间x的变化规律例3 已知函数=1讨论函数的奇偶性；判断函数的最小正周期，并(用反证法)证明你的结论；求函数的单调区间；作出函数在0，2内的图象解：= |sinx|cosx|1，定义域为R=，为偶函数=|sin(x)|cos(x)|=，T=x1y2假设的最小正周期为T，且0T，=，即|sin(xT)|cos(xT)|=|sinx|cosx|对xR恒成立令x = 0，得|sinT|cosT|=10T，sinTcosT=1( sinTcosT)=1sin2T=0与T(0， )矛盾， 的最小正周期T=当x0， 时，=sin(x)1，当x0， 时，单调递增；当x，时，单调递减故的递增区间是，而递减区间，(kZ)；图象如图所示评析：从图象中可以直观地分析出函数的单调区间、最小正周期、奇偶性等结论，并可以对照验证前面的结论例4 方程sinxcosx = m在0，上有两个解，求实数m的取值范围yxOy =1解：方程可化为= sin(x)，根据此方程对