三角函数向量教师版.doc

1 O1151 5 x 第 9 题 y 三角函数 向量专题 1 1 已知 则 3 1 cos 2 2 3 sin 9 7 2 将函数的图像向左平移个单位 所得的图像对应的函数为2sin 3 3 yx 0 偶函数 则的最小值为 18 5 3 若向量 满足 1 2 且与的夹角为 则 2 a b a b a b 3 a b 21 4 函数 2 0 0 sin AkxAy的图象如上 则 y 的表达式是 3 sin 2 1 23 yx 5 如图 在中 ABC 12021BACABAC 是边上一点 则DBC2DCBD AD BC 8 3 6 在中 已知 则 ABC sin sin sin2 3 4ABC cosC 1 4 7 在中 角的对边分别为 且 则角的大小ABC CBA cba 222 3 tan bca ac B B 是 或 3 3 2 8 外接圆的半径为 圆心为 且 则ABC 1O02 ACABOA ABOA 3CA CB 9 函数 在 sin f xAx 0A 0 02 上R A B D C 2 B A C O D E 的部分图象如图所示 则的值为 2013 f 答案答案 5 3 2 10 已知非零向量 a b 满足 a a b 1 a 与 b 夹角为 120 则向量 b 的模为 1 11 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 a 1 A 60 c 则 ABC 的面积为 12 已知直线 x a 0 a 与函数 f x sinx 和函数 g x cosx 的图象分别交于 M N 两 2 点 若 MN 则线段 MN 的中点纵坐标为 1 5 7 10 13 已知 sin cos 且 0 则的值为 1 2 2 cos2 sin 4 14 2 14 在中 是边的中点 角的对边分别是 若ABC PBCABC abc 则中角的大小为 sinsinC ACA PA sin0B PB ABC A 3 15 ABC 中 A B C 所对的边分别为 a b c sinsin tan coscos AB C AB sin cosBAC 1 求 A C 43 AC 2 若 求 33 ABC S a c2 2 2 3ac 16 如图 已知 OAB 中 点 C 是点 B 关于 A 的对称点 点 D 是线段 OB 的一个靠近 B 的三等分点 DC 和 OA 交 于 E 设 AB a AO b 1 用向量与表示向量 a b OC CD 2 若 求实数 的值 OEOA 3 51 33 ocba CDab 4 5 1717 本题满分 本题满分 1414 分 在分 在 中 命题中 命题 命题 命题 函数 函数ABCpcos0B q 为减函数为减函数 sin 3 yB 设向量设向量 sin sinsin sin sinsin 33 mBBA nBBA 1 如果命题 如果命题为假命题 求函数为假命题 求函数的值域 的值域 psin 3 yB 2 命题 命题 且且 为真命题为真命题 求求的取值范围 的取值范围 pqB 3 如果向量 如果向量 求 求 mn A 17 解解 1 1 由命题由命题为假命题 则为假命题 则 1 分分pcos0B 2 分分 3 分分0 2 BB 54 633 B 的值域为的值域为 4 分分sin 3 yB 3 1 22 2 2 命题命题 且且 为真命题为真命题 pq 由命题由命题 解得 解得 5 分分pcos0B 0 2 B 由命题由命题 函数 函数为减函数为减函数 qsin 3 yB 6 分分0 2 B 5 336 B 函数函数为减函数 为减函数 7 分分 sin 3 yB 3 232 B 8 分分 9 分分 5 236 B 62 B 3 3 mn 0m n 即即 10 分分sin sin sinsin sinsin 0 33 BBBABA 11 分分 22 3131 cossin cossin sinsin0 2222 BBBBBA 2222 31 cossinsinsin0 44 BBBA 12 分分 13 分分 2 3 sin 4 A 0A 3 sin 2 A 4 14 分分 2 33 A 或 18 满分 14 分 如图是足球场的部分示意图 假设球门的宽 AB 7m A 到边线的距离 AC 30m 现距离边线 5m 处的一名运动员 P 沿着边线方向向底线运球 他观察球门的角 称为视角 设 P 到底线的距离为 PD m 记为 1 试将表示APB xtanAPB yy 成的函数 2 求当 P 离底线多少 m 时 该球员观察球门的视角最大 结果保留根x 式 18 1 2 当且仅当 2 7 0 32 25 x yx x 777 2 32 25 802 32 25 y x x 20 2x 19 满分 16 分 函数 是常数 A 0 是锐角 sin f xAx A 0 的部分图象如图所示 其中 1 求的解析式 min 7 0 2 312 fff x f x 2 若将函数的图象先向右平移个单位 再将图象上的每个点的纵坐标不变 横 f x 坐标伸长为原来的倍 得到函数的图象 试写出函数的解析式 3 若存 g x g x 在 使得成立 求实数的取值范围 0 0 4 x 00 cos2 2g xax a 19 1 2 将函数的图象先向右平移个单位 得到函 2sin 2 3 f xx f x 6 5 数 再将图象上的每个点的纵坐标不变 横坐标伸2sin 2 2sin2 66 yxx 长为原来的 2 倍 得到函数 2sing xx 3 若存在 使得成立 0 0 4 x 00 2sincos2 2xax 0 0 0 2 2sin cos x ah x x 0 0 4 x 可以求导 得 在递减 在递增 0 0 2 0 2sin1 cos x h x x 0 h x 0 6 6 4 也可以利用斜率进行数形结合求解 6 0 2 2 42 64 hhh 所求实数的取值范围是 a 6 2 2 20 本小题满分 14 分 在ABC 中 三个内角A B C的对边分别为a b c 其中2c 且 3 cos cos a b B A 求证 ABC 是直角三角形 如图 设圆O过 A B C三点 点P位于劣弧上 求PAC 面积最大值 A AC 证明 由正弦定理得 cossin cossin AB BA 2 分 整理为sincossincosAABB 即sin2sin2AB 3 分 又因为02 22AB 22AB 或22AB 即AB 或 2 AB 3 1 b a AB 舍去 故 2 AB A B C P 6 由 2 AB 可知 2 C ABC 是直角三角形 6 分 解法一 由 1 及2c 得1a 3b 7 分 设 62 PAB 则 6 PAC 在Rt PAB 中 cos2cosPAAB 所以 11 sin 2 cos3 sin 2626 PAC SPA AC 3 cossin 6 10 分 31 3cos sincos 22 2 33 cossincos 22 331cos2 sin2 422 3 sin 2 26 3 4 12 分 因为 62 所以 5 2 666 当2 62 即 3 时 PAC S 最大值等于 3 4 14 分 解法二 设到的距离为 取到最大值时 取得最大值 pAChh PAC SA 过作的垂线交于点 此时最大 oAC A ACPh 11 1 22 h 所以 14 PAC SA 3 4 分 三角函数 向量专题 2 7 1 已知 已知 510 角的始边在角的始边在x轴的非负半轴上 终边经过点轴的非负半轴上 终边经过点 2 P m 则 则m 2 3 2 2 已知 已知 5 4 3 2 BA 则与向量 则与向量AB方向相反的单位向量坐标为方向相反的单位向量坐标为 10 10 10 103 3 在在ABC 中 角中 角 A B C的对边分别为的对边分别为cba 若 若cAbBa 5 3 coscos 则 则 tan tan A B 4 4 若函数若函数 sin 0 f xx 在区间在区间0 3 上单调递增 在区间上单调递增 在区间 3 2 上单调递减 上单调递减 则则 3 2 5 如图 在如图 在 ABC中 中 2 120 ACABBAC o D为为BC边上的点 且边上的点 且0 BCAD EBCE2 则则 AEAD 1 6 若均为非零向量 且 则向量的夹角为 a b 2 2 aba bab a b 3 7 如图 是半径为 的圆上两点 且 A B1O 3 AOB 若点是圆上任意一点 则的取值范围为COOA BC 3 1 2 2 8 若的值为 12 7 cos 3 1 12 sin 则 1 3 A B C DE O A B C 第 11 题图 8 A 第 11 题 C D B 9 已知 a b 3 a 和 b 的夹角为 45 a b a b 则实数 的值为 2 1185 6 10 设 则函数的最小值为 0 2 x 2 2sin1 sin2 x y x 3 11 已知0 2sin2sin cos 2 2 则 15 8 12 若点 M 是 ABC 所在平面内的一点 且满足53AMABAC 则 ABM 与 ABC 的 面积比为 3 5 13 如图 在平面四边形ABCD中 若3 2ACBD 则 ABDCACBD 5 14 定义行列式运算 a1a4 a2a3 将函数 f x 的图象向左平移 m 个单 a1 a2 a3 a4 3 cosx 1 sinx 位 m 0 若所得图象对应的函数为偶函数 则 m 的最小值是 解析 由题意 知 f x sinx cosx 2 sinx cosx 2sin x 3 3 2 1 2 6 其图象向左平移 m 个单位后变为 y 2sin x m 平移后其对称轴为 x m k 6 6 k Z 若为偶函数 则 x 0 所以 m k k Z 故 m 的最小值为 2 2 3 2 3 答案 2 3 15 已知向量 cos sincos sinxx ab 其中 sin2sin cos2cosxx c0 x 1 若 求函数的最小值及相应 x 的值 4 f x b c min 113 122 xf x 9 2 若 a 与 b 的夹角为 且 a c 求的值 3 tan2 3 5 16 本题满分 14 分 设的内角的对边分别为ABC CBA cba 1 求证 cAbBa coscos 2 若 试求的值 4cAbBa 5 3 coscos B A tan tan 17 本题满分 15 分 设 是两个互相垂直的单位向量 已知向量 1 e u r 2 e u r 12 32ABee uu u ru ru r 12 CBee uuru ru r 12 2CDee uuu ru ru r 1 若 三点共线 试求实数的值 ABD 2 若 三点构成一个直角三角形 试求实数的值 ABD 解 1 2 分BDCDCB uuu ruuu ruur 12 2 ee u ru r 12 ee u ru r 12 3 1 ee u ru r 三点共线 4 分ABDABBD uu u ruuu r 即 7 分 12 32ee u ru r 12 3 1 ee u ru r 33 3 2 1 2 ADABBCCD uuu ruu u ruu u ruuu r 12 32ee u ru r 12 ee u ru r 12 2ee u ru r 8 分 2 3 e u r 若 则 舍去 90A o 2 2 2 3 03AB ADe uu u r uuu ru r 10 分 若 则 12 分90B o 22 12 7 92 1 0 2 AB BDee uu u r uuu ru ru r 若 则 舍去 90D o 2 2 1 3 03BD ADe uuu r uuu ru r 或 14 分1 综上所述实数的值为或 15 分 1 2 7 18 满分 14 分 已知 且 33 cos sin cos sin 0 2 ab 1 2 a b 1 求的大小 2 若 求的值 10 sin 102 xx cosx 10 18 1 2 3 303 10 20 19 本题满分 14 分 已知 内角所对的边分别为 且满足下列三ABC A B Ccba 个条件 abcba 222 Ccsin143 13 ba 求 1 内角和边长的大小 Cc 2 的面积 ABC 解 解 1 由 所以 2 分abcba 222 1 cos 2 C 4 分0 C 3 C Ccsin143 6 分 14 sin 33 c 7c 2 8 分 1 sin 23 ABC Sab 由 得 12 分abcba 222 403 49 2 ababba 故 14 分 1 sin10 3 23 ABC Sab 20 本题满分 14 分 在 中 已知过点的直线与线段分别相交于点 若OABCC OA OB M N 其中 sin OMOA cosONOB 0 2 求的值 sin2 记 OMN 的面积为 平行四边形的面积为 试求之值 1 SOABCS 1 S S 本题满分 14 分 解 由题意得OCABOBOA 所以 又 1 sin MCOBOA cossinMNOBOA 又因为三点共线 得 则 M N C cossin 11sin 1 sincossincos 式两边平方 得 即 22 12sincossincos 2 sin 24sin240 解得 7sin22 22 2 2 2 或舍去 分 由题意得 1 1 sin 2 SOMONAOB 121 sin2 22 AOB SS 11 即 14 1 21 2 S S 分 三角函数 向量专题 3 1 将函数 f x sinx cosx 的图象向右平移 0 个单位 所得图象对应的函数为奇函 3 数 则 的最小值为 解析 因为 f x sinx cosx 2sin x f x 的图象向右平移 个单位所得 3 6 图象对应的函数为奇函数 则 的最小值为 5 6 2 已知 sin 则 cos 的值等于 12 1 3 7 12 解析 由已知 得 cos cos sin 7 12 12 2 12 1 3 答案 1 3 3 设点 00 y xP是函数xytan 与 0 xxy的图像的一个交点 则 12cos1 0 2 0 xx 2 4 已知函数 f x asin2x cos2x a R 图象的一条对称轴方程为 x 则 a 的值为 12 解析 x 是对称轴 f 0 f 即 cos0 asin cos a 12 6 3 3 3 3 答案 3 3 5 已知函数 y sin x 0 的图象如图所示 则 解析 由图可知 2 T T 2 3 4 5 2 2 5 2 4 5 y sin x 又 sin 1 4 5 4 5 3 4 sin 1 2k k Z 0 的图像的最高点 M N 是该图像与 x 轴 的交点 若0 PNPM 则 的值为 4 9 为了在一条河上建一座桥 施工前在河两岸打上两个桥 位桩 如图 要测算两点的距离 测量人 A B A B 员在岸边定出基线BC 测得 50BC 就可以计算出两105ABC 45BCA A B 点的距离为 50 2 m 10 如图 已知正方形的边长为 3 为的中点 与交于点 则ABCDEDCAEBDF FD DE uuu r uuu r 3 2 FD DE uuu r uuu r 11 若点是 ABC 的外心 且 则实数 P0PAPBPC uu ruuruu u rr 120C o 1 12 已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形 D 是 BC 边上的一点 且 则 1 2 BDDC ADBC 2 19 3 13 若若 ABC 内接于以内接于以 O 为圆心 为圆心 1 为半径的圆 且为半径的圆 且 3450OAOBOC 则 则 OC AB 的值为的值为 1 5 A B C 24 14 函数的最大值与最小值之和为 42 sin 1 1 x yxR xx 10 2 解析 是奇函数 奇函数的最大值与最小值之和为 0 42 sin 1 x g x xx 15 本小题满分 14 分 在斜三角形中 角 A B C 的对边分别为 a b c ABC 1 若 求的值 12sincossinACB a c 2 若 求的值 sin 2 3sinABB tan tan A C 1 2 16 本小题满分 14 分 已知平面内向量 3 3 a 1 2 b 4 1 c 1 求实数 使得与共线 t2atc b 2 2 求实数 使得与 垂直 kakb c 15 2 17 本题满分 14 分 已知 分别是的三个内角 的对边 若向量abcABC ABC 2 cos cos bcCnaA m n 1 求角的大小 A 2 求函数的值域3sinsin 6 yBC 15 1 因为向量 且 cos 2 Ccbm cos Aan mn 所以 2 分2cos cosbcA aC 由正弦定理 得 4 分CAACABcossincossincossin2 sin CA 即 所以 6 分BABsincossin2 1 cos 2 A 因为 所以 8 分 0 A 3 A 2 因为 12 分 63 2 sin sin3 BBy 6 sin 2cossin3 BBB 而 所以函数的值域为 6 5 66 B 6 sin 2 By 2 1 18 已知ABC 是ABC 的三个内角 且满足2sinsinsinBAC 设B的最大 值为 0 B 求 0 B的大小 25 当 0 3 4 B B 时 求coscosAC 的值 15 解 由题设及正弦定理知 2bac 即 2 ac b 由余弦定理知 2 22 222 2 cos 22 ac ac acb B acac 2 分 22 3 23 2 21 882 acacacac acac 4 分 因为cosyx 在 0 上单调递减 所以B的最大值为 0 3 B 6 分 解 设coscosACx 8 分 由 及题设知sinsin2AC 由 2 2得 2 22cos 2ACx 10 分 又因为 4 ACB 所以 4 2x 即 4 coscos2AC 14 分 1919 本小题满分 本小题满分 1616 分 分 已知 A B 两地相距2R 以 AB 为直径作一个半圆 在半 圆上取一点 C 连接 AC BC 在三角形 ABC 内种草坪 如图 M N 分别为弧 AC 弧 BC 的中点 在三角形 AMC 三角形 BNC 上种花 其余是空地 设花坛的面积为 1 S 草 坪的面积为 2 S 取ABC 1 用 及 R 表示 1 S和 2 S 2 求 1 2 S S 的最小值 1 因为ABC 则 2 sin 2 cosACRBCR 则 22 2 1 2sincossin2 2 SAC BCRR 3 分 设 AB 的中点为 O 连 MO NO 则 MOAC NOBC 26 易得三角形 AMC 的面积为 2 sin 1 cos R 5 分 三角形 BNC 的面积为 2 cos 1 sin R 7 分 1 S 2 sin 1 cos R 2 sin 1 cos R 2 sin cos2sincos R 8 分 2 2 1 2 2 sincos2sincos sincos 1 2sincos2sincos SR SR 10 分 令sincos 1 2 t 则 2 2sincos1t 1 2 2 1 11 1 1 St St t t 13 分 1 2 S S 的最小值为21 16 分 20 如图扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图 其中 AOB 的圆心角为 半径 OA 为 3 2 1Km 为了便于游客观光休闲 拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路 道路 由圆弧 AC 线段 CD 及线段 BD 组成 其中 D 在线段 OB 上 且 CD AO 设 AOC 1 用 表示 CD 的长度 并写出 的取值范围 2 当 为何值时 观光道路最长 18 解 1 在中 由正弦定理得 2 分COD CDO CO DCO OD COD CD sinsinsin 27 又因为 AOCCOAOCD 1 所以 sin 3 1 cos CD sin 3 2 OD 4 分 3 0 2 3 sin OBOD 所以 7 分 sin 3 1 cos CD 3 0 2 设道路长度为 9 分 3 0 1sin 3 1 cos LL则 11 分 6 0 1cos 3 3 sin 得令LL 列表如下 6 0 6 3 6 0 L 递增 极大 递减 L 所以当取得最大值 14 分 时 L 6 三角函数 向量专题 6 1 当函数取得最大值时 sin3cos 02 yxxx x 5 6 2 已知向量 若与的夹角为钝角 2 1 a 1 b a b 则的取值范围是 1 2 2 2 3 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 若三边的长为连续的三个 正整数 且 A B C 3b 20acosA 则 sinA sinB sinC 为 6 5 4 4 已知 则函数的最大值是 22 3 sinsinsin 2 22 sinsiny 4 9 5 设函数 其中 则导数的取值 32 sin3cos tan 32 f xxx 5 0 12 1 f 28 范围是 2 2 6 设为锐角 若 则的值为 4 cos 65 sin 2 12 17 2 50 7 函数 又 且的最小值等于 sin3cosf xxx xR 2f 0f 则正数的值为 2 解析 2 2sin 3 fxxT 12 21 24 TT 8 外接圆的半径为 圆心为 且 ABC 1O02 ACABOA ABOA 则 CA CB 答案 3 9 已知和点 M 满足 若存在实数 m 使得ABC MAMBMC 0 ABACmAM 成立 则 m 3 10 已知函数的值为 8 1 2 cos2 2 cos 2 sin tan2 1 2 f x xx x xf则 2 11 已知 C 是线段 AB 上异于 A B 的一点 均为等边三角形 3AB ADCBCE 则的外接圆的半径的最小值是 CDE 11 设则 在中 ACm CBn 3mn CDE 由余弦定理 知 222 2cosDECDCECD CEDCE 222 393mnmnmnmnmn 又当且仅当时 取 2 9 24 mn mn 3 2 mn 所以 3 2 DE 又的外接圆的半径 CDE 3 2sin2 3 DEDE R DCE A C D B E 第 12 题图 29 12 在平行四边形已知 点的中点 中 ABCD 60DAB1 AD2 ABABM为 点 在上运动 包括端点 则的取值范围是 PCDBC与DMAP 1 1 2 13 设 i j 分别表示平面直角坐标系 x y 轴上的单位向量 且 a i a 2j 5 则 a 2i 的取值范围是 3 14 巳知函数有两个不同的零点 且方程有两个不 2 0 cos xxxf 21 x xmxf 同的实根 若把这四个数按从小到大排列构成等差数列 则实数 m的值为 43 x x 2 3 15 已知向量与互相垂直 其中 sin 2 a 1 cos b 0 2 1 求和的值 sin cos 2 若 求的值 10 sin 0 102 cos 解 1 ab sin2cos0 又 且 22 sincos1 0 2 6 分 2 5 sin 5 5 cos 5 2 0 2 0 2 又 2 2 10 sin 10 10 分 3 10 cos 10 coscos cos cos sinsin 5 3 102 5102 5105102 16 本小题满分 14 分 已知函数1 sin cos 2 1 2sin 2 3 22 xxxxf 1 求函数 f x 的最小值和最小正周期 2 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 c 7 0 Cf 若向量 B nAmsin3 sin 1 与向量共线 求 a b 的值 答案 解 1 12cos 2 1 2 2 3 xxxf 30 sin 2 1 6 x 3 分 1 6 2 62 2 2 2 6 2 mmx kkx 时当 即2 mmxf T 7 分 2 sin3sin3BAba 11 sin 2 10sin 2 102 66666 f ccccc 326 2 Cc即 10 分 由余弦定理31cos2 222 bacabbaC即 14 分 17 本小题满分 14 分 在锐角三角形 ABC 中 31 sin tan 53 AAB 1 求的值 tan B 2 若 求实数 m 的值 AC ABmBA BC 17 13 tan 9 B 52 27 m 18 本小题满分 14 分 如图 摩天轮的半径为 50 m 点 O 距地面的高度为 60 m 摩天轮做匀速转动 每 3 min 转一圈 摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处 1 试确定在时刻 t min 时点 P 距离地面的高度 2 在摩天轮转动的一圈内 有多长时间点 P 距离地面超过 85 m 1 解 设点 P 离地面的距离为 y 则可令 y Asin t b 由题设可知 A 50 b 60 2 分 又 T 3 所以 从而 y 50sin t 60 4 2 2 3 2 3 分 再由题设知 t 0 时 y 10 代入 y 50sin t 60 得 sin 1 从而 2 3 2 6 分 31 因此 y 60 50cost t 0 8 分 2 3 2 要使点 P 距离地面超过 85 m 则有 y 60 50cost 85 即 cost 2 3 2 3 1 2 10 分 于是由三角函数基本性质推得 t 即 1 t 2 12 2 3 2 3 4 3 分 所以 在摩天轮转动的一圈内 点 P 距离地面超过 85 m 的时间有 1 分钟 14 分 19 某企业有两个生产车间分别在 两个位置 车间有 100 名员工 车间有ABAB