非线性电路及其应用.doc

非线性电路理论及其应用作者 于雷 学号 200812301摘要：随着时代的发展，人们对生活要求的提高，新技术的层出不穷，对电路元器件的要求上已不再是单纯的线性器件，非线性器件应运而生，随之而来的是有关对非线性期间构成电路的分析。本文首先简要介绍有关分析非线性电路方程的建立、解的存在性及有关分析方法，牛顿-拉夫逊发，小信号分析法的基础上，讨论非线性电路理论的有关应用。关键词：非线性电路理论；非线性理论的应用；人工神经网络一、简要：线性电路的特点在于电路中的电路原件的参数不随电路变量（电压、电流、电荷、和磁通链）而变化。如果电路中至少有一个元件的参数与电路变量有关，此电路就称为非线性电路。相应地，参数随电路变量变化的元件则被称为非线性元件。实际上，一切电路严格说来都是非线性的。但是，在工程中往往可以不考虑元件的非线性，而认为它们都是线性的。特别的是对于那些非线性程度较弱的电路元件，采用线性化处理对电路行为不会带来本质上的差异。但是实际上电路中许多非线性元件特性不容忽视，否则就将无法解释电路中发生的现象，或者有时虽无质的方面的意义，但是却有显著的方面的影响。所以，对非线性电路的研究具有很重要的意义。线性电阻、电容、电感或受控源元件的电路变量之间的关系是线性的。非线性电阻、电容、电感等元件的构成关系则是非线性的。线性电阻电路由线性代数方程组描述；包含动态元件的电路由线性常系数微分方程组描述。非线性电阻电路由非线性代数方程组描述，非线性是不变动态电路由非线性微分方程组描述。若电路含有时变元件时，描述电路的方程将成为时变微分方程或代数方程。因此，研究非线性电路的问题，首先遇到的是包含非线性电路元件的电路方程建立问题，以及非线性代数方程和非线性微分方程的求解问题。求解非线性代数方程和非线性微分方程一般情况下是相当困难的，大多数情况下不能求出其精确解或解析解。因此，在进行非线性电路分析时，不得不采用某种手段获得其近似解。在较为特殊的情况下，即使获得近似解也不能说明问题，而不得不转向定性性质方面。非线性科学是当今重大的研究课题，并成为科学发展观的一个重要标志。各学科中均有非线性问题。因此，非线性科学研究已经成为各学科分支共同关心的问题。特别是最近20年来有关非线性问题的研究有了飞跃的发展，形成一系列完整的理论与分析方法。非线性电路理论的研究属于非线性问题研究的一个方面。随着非线性科学研究的不断发展，其研究也取得了长足的进步。非线性电路的各种非线性现象随之也得到了有效的解释。二、非线性电路的分析方法1、分段线性化法非线性电阻的伏安特性往往可以近似地或粗略地用一些直线段来逼近。伏安特性上的每一段直线可以用直线的斜率和表征该直线的段的有效区域的电压、电流值唯一地确定。如下图1所示其中曲线部分为隧道二极管的伏安特性，此特性可用图中的三段直线粗略地表示。 假设这3段直线的斜率分别为：，当（为区域1），当（为区域2），当（为区域3）其中的，分别为区域1和区域2 和区域2与区域3之间转折点的电压。这种用有限段直线来近似代替非线性元件的伏安特性称为非线性元件的分段线性化特性。至于一个元件的时实际伏安特性究竟要用多少段直线表示，要由分析问题要求的准确程度决定。显然，为了逼近一个非线性的伏安特性，划分的线段的段数越多，则折线特性将越接近于实际情况，但是分析计算电路的工作量也会随之迅速增加。在用折线表示电阻元件的伏安特性之后，对于每一段直线都可以用戴维南或诺顿等效电路代替。如图1中的第二段直线即可表示为图2（a）所示的戴维南电路，第三段直线可以表示为图2（b）所示的诺顿电路。图中的电流源和电压源分别是其直线在纵轴（电流轴）和横轴（电压轴）上的截距。若研究的非线性电路中所有非线性元件的伏安特性都是分段线性化表示的，则非线性电路的求解过程通过用各个线性区段内的诺顿或戴维南等效电路代替原来的非线性元件而化为线性电路的求解过程。这种研究非线性电路的方法称之为分段线性化法（折线法）。用分段现行化法分析电路时，可以做出非线性电路的分段线性化的等效电路，其拓扑结构和原来的电路相同，而等效参数则取决于割断直线的斜率和在坐标轴上的截距。通常在电路求解开始时并不知道各个电路元件的确切工作区域，往往需要用试探的方法分析。假定某个非线性元件用某段直线表示，就等于说假定了该元件的电压和电流的取值范围。在该电压、电流的取值范围内可以进行各种计算和处理，以求得需要的电路工作点。例如在求电路的工作点时，可以任选一组非线性元件的直线段的组合，据此可算出各条支路的电压和电流。若计算出的电压或电流正好是在设定的取值范围内，则该假定计算的结果便是正确的；若计算出的电压或电流没有在设定的取值范围内，则该假定下计算的结果是不合理的。如果一个电路有个非线性元件，而某一非线性元件又是用段直线表示的，那么从存在工作点的可能性来看，就需要把所有可能的组合搜算出来以获得最后结论。也就是说需要对电路进行次分析。在电路比较复杂时，非线性元件个数较多，并且元件特性含有较多的直线段，用分段线性法对电路进行分析需要很大的工作量。2、牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种迭代方法。对于一维系统，若非线性代数方程为设方程有解，解必然是曲线与轴的焦点，如图3所示，求解的步骤如下。（1） 首先给定一个比较合合理的初估数值作为方程的解，若恰巧，则方程的解，否则就对初估数值修正。（2） 取修正值，充分小，将在附近展开成泰勒级数，得到（3） 并且有如下公式：只要，便可以确定出第一次修正值，若，则，若，同理，则由确定出第二次修订值，如此继续迭代，以至在第（k+1）次迭代时，有 （*）上式的条件是不为零。如果，则，迭代结束，否则迭代继续。实际上，只要足够校，即迭代就可以结束。式子中为预先指定的一个足够小的正实数。式子（）*对就是牛顿-拉夫逊法的迭代公式。根据这个迭代公式，有此式表明，从曲线上一点做切线，该切与轴的交点即为，图3中，在区间，牛顿-拉夫逊法 把曲线的段用切线的直线段来代替。应用牛顿-拉夫逊法时，的初估值的选取很重要，初估值选得好，迭代就会很快收敛，且迭代次数少；如果的初估值选得不好，就有可能产生迭代震荡或发散，为了检验迭代过程是否收敛较慢或发散，通常要预先规定迭代次数，入伏哦迭代次数达到规定次数时，其结果仍不符合要求，就强迫迭代结束，另选初估值进行迭代计算。对于非线性方程组仍可用牛顿-拉夫逊法，设非线性方程组为 （*）在第次迭代时所得修正值用表示，且令如果所有都确定，且所有都为零（或小于预先指定的一个小的正实数），则将会满足上述非线性代数方程（*），因此就是所需要的解。如果不满足，则的值就用多元函数在点附近展开为泰勒级数，然后取一次项近似表示，即有令，就能推导出迭代公式如下计及所有，将有下列矩阵形式其中的。在求解过程中，当对所有的，有时，则方程右面的列向量为零，迭代收敛。上式左面的系数矩阵称为雅可比矩阵。3、应用友网络模型求解非线性电阻电路上述用牛顿-拉夫逊法求解非线性电阻电路问题时，首先要列写该电路的非线性代数方程组，然后在方程的解的初步估算附近将非线性方程线性化，逐次迭代求得其近似解。但是，每次迭代，不仅要计算雅可比矩阵，而且还要对它求逆，才能计算出下一次修正值，计算时间长。在此根据牛顿-拉夫逊法的思想，先对每个非线性电阻的伏安特性在该电阻电压的股指附近线性化，导出迭代时的非线性电阻的模型，构成非线性电阻电路的友网络再进行计算。设某非线性电阻的伏安特性为令和表示的第次和第次的电压估值，则对应 电流，。把在附近展开成泰勒级数，得到由于很小，故取泰勒级数的线性部分，于是得式是非线性电阻在的动态电导。由于，故上式可写成必须注意，在次迭代时，、和的数值是已知的。上式可以用图4(a)、(b)所示的电流源和电导并联组合来表示电流源的电流为，而并联电导为。这个组合成为非线性电阻在第次迭代时的“线性化”模型。如果用这个线性化模型替代非线性电阻电路中的非线性电阻，就得到了非线性电阻电路的“友网络”模型。友网络是非线性电阻电路在第次迭代计算时的线性化模型，它本身是一个线性电阻电路，其中的、和是前一次迭代计算出的非线性电阻电路的电流、电压和电导，在第次迭代时，这些值均为已知。友网络与原非线性电路具有相同的拓扑结构，而且每次迭代时，友网络的拓扑结构并不改变，只需修正其中有关非线性电阻元件的线性化参数值（、和）。三、非线性系统的经典解法1、摄动法非线性电路中的周期现象十分丰富，讨论周期解是非线性电路分析的一个重要内容。摄动法是求解非线性微分方程的一种重要方法，可以用来求解非线性微分方程中的非线性项总是与一个小参数联系在一起的方程。对于一个二阶方程其中是一个参数，且。为的解析函数。设方程的周期解的频率为，作变换，则上式可以改写成 （*）显然，上式的解以及频率为均是的函数，故可以展开为的幂级数，即为 （*）在这里，的歌词乘幂系数、等皆为的周期函数，其周期皆为。因此，使用中我们常去上述式子的开首几项来近似表达周期解。将上述式子代入函数，则函数可展开为幂级数 （*）其中，有如下的隐式微分计算法令，同样可将展开为幂级数 （*）上式中的系数的隐式微分计算法是至此，将方程（*）、（*）、（*）代入（*）中，并令方程两边的的同幂项系数相等，得到上述两个方程构成了求解及的各解分量的递推式。递推式中，每个分量为求解一个二阶线性微分方程。2、平均法这里介绍克雷洛夫-包戈柳包夫法。该方法主要用于下列形式的方程的求解：（*）方程中通常被假设为，很小的正数，并且还假设是的周期函数，其周期为。当时的解为（亦称母解）：现在考虑在是的解，可以认为此时的解接近于母解，即认为：其中、分别代表缓慢变化的振幅和相位，即、很小。这样，要得到上式的解归结为求出、。这里，首先推到求解、的方程，然后再应用平均的概念讨论、的求解。将上式代入方程（*）中得到其中。解上式有此即求解，的方程。由于是意非线性函数，因此要求解上式的方程得到、一般是不可能的。但注意到很小，故上式方程右端用它的一周期的平均值来近似，于是上式方程成为在进行对上式方程的积分时，把看作常数，则积分后得到解上式方程时，又视为的函数，从而得到、的解。3、谐波平衡法谐波平衡法的原理可以在求解非线性微分方程的周期解中获得广泛应用。这种方法可以通过平均法加以解释。设非线性微分方程为 （*）通常，方程的解是一个与激励同周期的非争先周期解。展开为傅氏级数，则有将上式代入（*）式，在方程两边按同次谐波进行整理，分别令等式两边的和的系数相等。则可以得到关于、，从而得到了（*）式的解。这就是所谓的谐波平衡原理。通常计算时只需要用几个谐波（高次谐波或子谐波）就足够了，如果要提高解的准确性，必须用更多的项，但这样求各系数的工作量将随之增加。三、非线性人工神经网络系统1、人工神经网络人工神经网络是由大量简单的基本但愿相互连接而成的自适应非线性动力学系统，实际上就是自适应系统。每个神经元的结构和功能比较简单，而大量的神经元连接产生的系统却是很复杂的。系统模型可用软件描述，而最终是以硬件实现。人工神经网络是在现代神经生物学基础上提出的模拟生物过程，反映人脑某些特性的一种计算结构。它不是人脑神经系统的真是描述，而只是有关它的某些抽象，简化，和模拟。人工神经网络具有的系统行为既与神经元有关，也与神经元之间的相互连接形式有关。人工神经网络的构成原理有以下几个方面：神经元功能函数，神经元之间的连接形式，神经网络的学习方式。人工神经网络是一个高度互联的非线性系统，其中每个神经元的输入可以与许多其他的神经元相连，但只有一个输出。而这个输出又可与同时输入给许多其他的神经元。神经元之间的互联模式将对神经网络的性质和功能产生重要的影响。典型的网络结构有前馈网络，反馈网络等。人工神经网络的一些特点：（1） 大规模的并行处理。神经网络是一个高度并行的非线性系统，其并行性不禁在结构上，它的处理运行过程也是并行和同时的。计算是分布在多个处理单元上同时进行的，可以大打提高工作速度。（2） 自适应性。神经网络的自适应性是指整个神经网路进行自我调节的能力。包含三个方面的含义：学习，自组织，泛化。2、神经网络在三相系统中的谐波检测现代电力系统由于非线性负载尤其是电力电子装置的使用，使得谐波与无功电流大量注入电网，影响电网运行安全和电能质量。在诸多的谐波电流抑制与无功电流补偿系统中，为保证对变化的无功功率和谐波进行快速的动态跟踪，必须对所采用的谐波和基波电流的检测方法进行合理的设计。基于Fryze的功率定义，可以在时域把电网中畸变后的非正弦周期电流相对于电压分解为两项：（1）式子中：为非正弦条件下的平均功率，即有功功率；为负荷等效电阻；为的有效值。显然，与波形应该一致，它是非正弦电流中对作出贡献的电流分量，叫做有功电流。与正交，被称为虚功电流。从中检测出并进行补偿，就能把补偿为与一致的电流。更进一步，可将进行分解为（2）式子中与正交，叫做无功电流；叫做电钝电流。进行无功补偿时，应该从中检测出并通过补偿装置把它抑制掉。、三者正交，它们之间的关系为（3）同样，对于三相系统，在三相不对称非线性负载情况下，假设电网电压对称且无畸变，电网电压角速度，选择a相电压为参考电压，有（4）在