时域与采样课件

1 3 2线性常系数差分方程的求解 已知系统的输入序列 通过求解差分方程可以求出输出序列 求解差分方程的基本方法有以下三种 1 经典解法 y n yH n yP n Homogeneouspart yH n Particularpart yP n 2 递推解法 迭代法 卷积和计算法 3 变换域方法 Z变换法 递推解法 已知输入序列和N个初始条件 则可以求出n时刻的输出 如果将该公式中的n用n 1代替 可以求出n 1时刻的输出 因此 1 3 1 式表示的差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程 例1 3 1设系统用差分方程y n ay n 1 x n 描述 输入序列x n n 求输出序列y n 解该系统差分方程是一阶差分方程 需要一个初始条件 y n ay n 1 x n n 0时 y 0 ay 1 0 1n 1时 y 1 ay 0 1 an 2时 y 2 ay 1 2 a2 n n时 y n any n anu n h n 1 设初始条件y 1 0 n 0时 y 0 ay 1 0 1 an 1时 y 1 ay 0 1 1 a an 2时 y 2 ay 1 2 1 a a2 n n时 y n 1 a any n 1 a anu n 2 设初始条件y 1 1 该例表明 对于同一个差分方程和同一个输入信号 因为初始条件不同 得到的输出信号是不相同的 对于实际系统 用递推解法求解 总是由初始条件向n 0的方向递推 是一个因果解 但对于差分方程 其本身也可以向n 0的方向递推 得到的是非因果解 因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统 还需要用初始条件进行限制 下面就是向n 0方向递推的例题 例1 3 2设差分方程为y n ay n 1 x n 式中x n n y n 0 n 0 求输出序列y n 解 n 1时 n 0时 n 1时 n n时 y n 1 a 1 y n n y 0 a 1 y 1 1 0y 1 a 1 y 0 0 a 1y 2 a 1 y 1 1 a 2y n 1 an 1 将n 1用n代替 得到y n anu n 1 1 4模拟信号数字处理方法 在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点 因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号 再采用数字信号处理技术进行处理 处理完毕 如果需要 再转换成模拟信号 这种处理方法称为模拟信号数字处理方法 其原理框图如图1 4 1所示 图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍 本节主要介绍采样定理和采样恢复 图1 4 1模拟信号数字处理框图 抗混叠滤波器 抗镜像滤波器 抽样 量化 编码 Mychirp m 1 4 1采样定理及A D变换器对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S 设电子开关每隔周期T合上一次 每次合上的时间为 T 在电子开关输出端得到其采样信号 正弦信号的抽样 导论 P73 图1 4 2对模拟信号进行采样 非理想抽样 矩形窄脉冲抽样 理想抽样 p t 为单位冲激信号序列 上式中 t 是单位冲激信号 在上式中只有当t nT时 才可能有非零值 因此写成下式 1 4 1 1 4 2 理想抽样实域关系 我们知道在傅里叶变换中 两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积 按照 1 4 2 式 推导如下 则 设 理想抽样频域关系 1 4 3 式中 s 2 T 称为采样角频率 单位是弧度 秒 1 4 4 t 1 4 5 则 两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积 上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴 每间隔采样角频率 s重复出现一次 或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以 s为周期 进行周期性延拓而成的 图1 4 3采样信号的频谱 设xa t 是带限信号 最高截止频率为 c 其频谱Xa j 如图1 4 3 a 所示 采样的频域表示 10kHz信号 表现 10kHz信号 20kHz信号 表现 20kHz信号 30kHz信号 表现 10kHz信号 40kHz信号 表现 0kHz信号 50kHz信号 表现 10kHz信号 60kHz信号 表现 20kHz信号 70kHz信号 表现 10kHz信号 80kHz信号 表现 0kHz信号 采样频率 40KHz 采样举例 理想低通滤波器 图1 4 4采样恢复 图1 4 4采样恢复 抗镜像滤波器目的 从镜像中恢复信号 1 对连续信号进行等间隔采样形成采样信号 采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的 2 设连续信号xa t 属带限信号 最高截止频率为 c 如果采样角频率 s 2 c 那么让采样信号x a t 通过一个增益为T 截止频率为 s 2的理想低通滤波器 抗镜像滤波器 可以唯一地恢复出原连续信号xa t 否则 s 2 c会造成采样信号中的频谱混叠现象 不可能无失真地恢复原连续信号 设 Example1 SamplingPrinciple 解 1 2 由图可知 通过 后其输出信号为 作业 s 12 T G j 画出频谱图 Example2 SamplingPrinciple Let1 DetermineandplotitsFouriertransformXa j 2 Samplexa t atFs 5000sam sectoobtainx1 n DetermineandplotX1 ej 3 Samplexa t atFs 1000sam sectoobtainx2 n DetermineandplotX2 ej 1 Solution Usingtheapproximation xa t canbeafinite durationsignalover Similarly MatlabImplementation Solution Sincethebandwidthofxa t is2000Hz theNyquistSamplingFrequencyis4000Hz whichislessthanthegivenFs Thereforealiasingwillbe almost nonexistent 2 Samplexa t atFs 5000sam sectoobtainx1 n DetermineandplotX1 ej 讨论1 当不满足Nyquist sSamplingtheorem时 抗镜像滤波器计算出的是一个或许多混叠频率 10Hz 30Hz 如何识别假频 略微修改采样频率Fs 基带内的峰移动 则为假频 反之则为真实信号 采样频率Fs 40Hz 上述针对带限范围 但若带限范围 例如 带限120kHz 160kHz 带宽40kHz采样频率是否需要Fs 320kHz 答案 否 最小采样频率取决于信号的带宽及带宽在频谱中的位置 但至少是带宽的两倍 甚至更高些 关键是保证信号不混叠 讨论2 欠采样 Undersample K 80KHz 140khzk 1 2不混叠 但需要理想抗镜像滤波器 K 100KHz 140khzk 1 2混叠 K 120KHz 140khzk 1 2不混叠 不需要理想抗镜像滤波器 LPfilter容易实现 1 2 2 1 1 2 对带限信号的采样 未遵循Nyquist条件 将该方法称为 欠采样 Undersampling 无限蜂窝电话的一个信道就是高频带限信号 例如 一个蜂窝电话在900MHz频段上只占30kHz带宽 通过欠采样 只用比60kHz高些的采样频率 而非1 8GHz就可以恢复信号 若信号为非带限信号 且最大频率未知 则无法通过提高采样频率来避免混叠 因而 一般采用抗混叠滤波器进行低通滤波 信号重构 有两种方法从DTS重构CTS a 频域低通滤波 b 时域插值 从DTS恢复CTS 条件是采样满足Nyquist采样定理 低通滤波 1 5 6 让取样信号通过一个理想低通滤波器 将取样信号频谱中的基带频谱取出来 理想低通滤波器的传输函数H j 信号重构 则滤波器输出端可得到恢复的原模拟信号 图1 4 4采样恢复 抗镜像滤波器目的 从镜像中恢复信号 下面由 1 5 6 式表示的低通滤波器的传输函数G j 推导其单位冲激响应g t 因为 s 2 fs 2 T 因此g t 也可以用下式表示 图1 5 6内插函数g t 波形 所以 理想低通滤波器输出为g t 和x a t 的卷积 1 5 8 1 5 9 这样 被恢复的信号在取样点的值恰好等于原来连续信号在取样时刻t nT的值 而取样点之间的部分由各加权内插函数波形的叠加而成 图1 5 7理想恢复 理想恢复 MatlabImplementation t t1 Dt t2 n n1 n2 Fs 1 Ts nTs n Ts t t1 Dt t2 n n1 n2 Fs 1 Ts nTs n Ts Xa x sinc Fs ones length n 1 t nTs ones 1 length t Sincfunction sinc x Description sinccomputesthesincfunctionofaninputvectororarray wherethesincfunctionis Xa x sinc Fs ones length n 1 t nTs ones 1 length t 图1 5 8实际D AC方框图 实际数模转换器PracticalD Aconverters Zero order hold ZOH interpolation Inthisinterpolationagivensamplevalueisheldforthesampleintervaluntilthenextsampleisreceived 由时域离散信号xa nT 恢复模拟信号的过程是在采样点内插的过程 理想低通滤波的方法是用g t 函数作内插函数 还可以用一阶线性函数作内插 零阶保持器是将前一个采样值进行保持 一直到下一个采样值来到 再跳到新的采样值并保持 因此相当于进行常数内插 零阶保持器的单位冲激函数h t 以及输出波形如图1 5 9所示 对h t 进行傅里叶变换 得到其传输函数 图1 5 9零阶保持器的输出波形 1 5 10 图1 5 10零阶保持器的频率特性 由该图看到零阶