二次函数典型例题.doc

18已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）。（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形，ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。18、(1)B点坐标为（-3，0）(2)y=x2+4x+3或y=-x2-4x-323已知：如图1227所示，直线y=x+3与x 轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=x2bxc经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC上，且SPAC=SPAB，求点P的坐标 23 P（1，2）或（-3，6）二、填空题：(每题3分,共33分)17、已知二次函数 ，当x_时，函数达到最小值。25已知P（，）是抛物线上的点，且点P在第一象限.OPAM（1）求的值（2）直线过点P，交轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M. 当时，OPA=90是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；当时，记MOA的面积为S，求的最大值如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图，求抛物线的函数表达式（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点若，求点的坐标（4）请在图上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由图11图11图11解：（1）有多种答案，符合条件即可例如，或， 图（2）设抛物线的函数表达式为，点，在抛物线上，解得 抛物线的函数表达式为 （3），点的坐标为 过三点分别作轴的垂线，垂足分别为，则， 延长交轴于点，设直线的函数表达式为，点，在直线上，解得直线的函数表达式为点的坐标为设点坐标为，分两种情况：若点位于点的上方，则连结，解得点的坐标为 若点位于点的下方，则同理可得，点的坐标为 （4）作图痕迹如图所示 由图可知，点共有3个可能的位置 图6如图，在直角坐标系中，以点A（）为圆心，以 为半径的圆与x轴相交于点，与轴相交与点。（1）若抛物线经过两点，求抛物线的解析式，并判断点是否在该抛物线上，（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点，使得的周长最小，（3）设为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点，使得四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。图6（2）6. 【考点分析】 本题主要考查二次函数与四边形知识的综合运用 .【名师点评】第（1）题所求抛物线解析式中有两个待定系数，因此找出两个已知点，将坐标带入解析式，组成二元一次方程组，解出待定系数即可，本题中由于圆心为点,半径为,则圆于轴的交点的坐标分别为,从而有,又由相交弦定理知,所以点坐标为,将两点坐标带入解析式组成关于的二元一次方程组可求出,所以抛物线的解析式为图6（3）容易验证点坐标满足抛物线的解析式,从而点在抛物线上第（2）小题与第5(2)题具有异曲同工之处,找出点关于抛物线对称轴的对称点,连接，与抛物线对称轴形成的交点即所求点,如图5（2）设的解析式为,则,所以的解析式为,将代入得,所以点的坐标为第（3）小题,对于这种存在性问题的探索,通常先假设存在点,使得四边形是平行四边形（要画出草图如图6（3），由此可得且,所以,又,所以,将其代入抛物线的解析式得或,所以,存在点M的坐标为.【正确答案】(1) 抛物线的解析式为,点在抛物线上(2) 的坐标为(3) 存在点M的坐标为5.已知抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴分别于B（1，0）C（5，0）两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；图5（2）图5（2）（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达X轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。5.【考点分析】本题主要考查二次函数,一次函数等知识的综合运用.【名师点评】第(1) 小题题目已知抛物线过三点,故将三点坐标分别代入解析式 得关于的三元一次方程组,解此方程组即可;另外,由于题目已知抛物线与轴的两个交点,故可设抛物线的解析式为将点A坐标代入解得,从而可得抛物线的解析式为.第(2)小题点有两种可能,如图5（2），点坐标为,设解析式为,将点C、D的坐标代入得二元一次方程组,所以 ,所以DC的解析式为或 xy图5（3）第(3)小题,如图分别作出点关于轴的对称点 ,点关于抛物线对称轴的对称点,连接分别与轴和抛物线的对称轴相交,交点即分别为所求点、点，事实上，如果点先到达轴点（不与点重合）再到达抛物线的对称轴上的点（不与重合）如图5（3），则此时路径长大于,因此， 、点分别为所要求的点;设直线的解析式为,将点的坐标代入得,解得,所以直线的解析式为,分别将代入得,所以点的坐标分别为,且最短总路径长. 【正确答案】(1)抛物线的解析式为(2) DC的解析式为或 (3) 点的坐标分别为,最短总路径长为4.已知：半径为1的与轴交于A，B两点，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数的图象经过A，B两点，其顶点为F。（1）求的值，及二次函数的顶点F的坐标；（2）写出将二次函数的图象向下平移1个单位，再向左平移2个单位的图象的函数表达式；（3）若经过原点O的直线与相切，求直线的函数表达式。4.【考点分析】本题主要考查二次函数与圆的综合运用.【名师点评】第（1）题解析式中有两个待定系数,故只需找出抛物线上的两个已知点带入,然后解关于的二元一次方程组即可.由已知得A（1，0），B（3，0），则解得 所以,所以顶点F(2，1）第（2）题平移不改变抛物线的开口大小、开口方向，因此值 不变，由于平移后顶点坐标为，所以平移后抛物线的解析式为；或向左平移2个单位，再向下平移1个单位，即为.第（3）题同学们需先根据题意画出草图,要注意的是符合题意的直线有两条，由于经过原点O，故可设的直线的解析式为，与相切于点C,则因为,所以. 设点C的坐标为，则，得 ,，由图的对称性，另一条直线的解析式是.【正确答案】 (1)b=-4, c=-3,顶点F的坐标为(2,1). (2) (3) ,3.容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t=为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示（1） 试求图（1）中线段l的函数关系式;（2） 求出开发该小区的用地面积；（3） 求出图（2）中抛物线段c的函数关系式.（4） 当用地面积为多少时，每平方米的资金投入最少？3.【考点分析】 本题主要考查学生运用函数知识解决实际问题的能力. 【名师点评】 认真审题,弄清各个量的含义及其之间的关系是解决本题的关键. 第(1)题由于已知线段l上的两个点，所以线段l的解析式易于求出.设线段l函数关系式为M=kt+b，由图象得 解之，得线段l的函数关系式为M13000t+2000, 1t，解题时要充分利用此条件，第(2)题题目已知条件中涉及到用地面积S的只有t=由t=知，当t=1时，S用地面积=M建筑面积，因此要求用地面积即求当t=1时的M建筑面积，把t=1代入M13000t+2000中，得M=15000 m2.即开发该小区的用地面积是15000 m2. 第(3)题由图象可知题目已知抛物线的顶点,按常规思路用顶点式求解.可设抛物线段c的函数关系式为Qa( t4)2+k, 把点（4,0.09）, （1,0.18）代入，得 解之，得抛物线段c的函数关系式为 Q( t4)2+,即Qt2-t +, 1t8.(4)每平方米建筑资金投入最小即最小,由图(2)可知当时值最小,又当时, M13000t+2000=130004+2000=54000平方米,此时平方米. 【正确答案】(1) M=13000t+2000, 1t8. (2) 开发该小区的用地面积为15000平方米. (3) Qt2-t +, 1t8. (4)当用地面积为13500平方米时,每平方米资金投入最少.10.某机械租赁公司拥有同一种型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现，当每套机械设备的月租金为270元时，恰好可全部租出，在此基础上，当每套设备的月租金每增加10元时，这种设备就少租一套，且未租出一套设备每月需要维护管理费20元，设每套设备的月租金为元，租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=-租金收入-支出费用）为元。 （1）用含的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出的设备（套）的支出费用； （2）求与之间的函数关系式； （3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？为了减少机械设备的磨损，此时你认为应出租多少套机械设备？（4）请把（2）中所求的二次函数配方成的形式，并据此说明，当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？（请注意：机械设备租出套数可要为整数）10.【考点分析】本题考查运用二次函数知识解决实际问题的能力.【名师点评】本题信息量大、涉及到的量多,同学们要认真读懂题意,弄清量与量之间的关系:每套租金越高,租出的套数会在40套的基础上逐渐减少,减少的量为每套租金比270元高出数值的,所以未租出套数=, 未租出设备的费用=20未租出设备的套数收益=租金收入支出费用, 另外,同学们一定要注意租金的取值一定要使租出的设备为整数.【正确答案】 (1) 未租出套数=，为租出设备的支出费用=元；(2) ；(3)为了减少设备磨损应租出32套(4)，由于租出的套数为整数，所以当时，月收益最大.11. 如图，已知是抛物线上的点，且点P在第一象限.（1）求m的值（2）直线y=kx+b过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M；当b=2a时，OPA=90是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；当b=4时，记MOA的面积为S，求的最大值.11.【考点分析】本题主要考查二次函数与三角形等知识的综合运用.【名师点评】第（1）题根据点在函数图像上，点的坐标就满足函数解析式容易求解,将点代入解析式得,因为,所以,又因为点在第一象限,所以.第（2）题第一问，对于探索性问题，通常情况下，先假设所要判断的结论正确，然后从结论出发进行推理，如果发现与已知条件等矛盾，则说明要判断的结论不正确，举出反例即可，否则对其进行正确性的证明。本题中时,则直线与轴交点坐标为,由于点坐标为,所以点为的中点,若,则垂直平分,从而有,由等腰三角形三线合一定理得平分,所以,而由题目给定的条件,显然无法保证,所以时不成立,事实上,当时,易知点坐标分别为,此时点仍为的中点,但,所以.第（2）题第二问,当时,直线解析式为,因为点在直线上,所以,变形为,故直线解析式可进一步变形为,设其中,解得,所以,解方程组可得点的纵坐标,所以,当时,取最大值.【正确答案】(1) (2)时不成立(2)xyO3911AB12.如图，已知二次函数的图像经过点A和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离12. 【考点分析】本题考查学生根据图象获取信息,并利用信息解决问题的能力. 【名师点评】（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得解得 二次函数的表达式为 （2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入，得 ，解得m0，不合题意，舍去m=6点P与点Q关于对称轴对称，点Q到x轴的距离为6 【正确答案】 (1) y=x2-4x-6 (2)对称轴为直线=2,顶点坐标为(2,-10) (3)m=6, 点Q到轴的距离为6.9. 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，根据销售经验，欲每提高1元，销售量相应减少10个.（1）假设销售单价提高元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元；这种篮球每月的销售量是 个（用含的代数式表示）.（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？9.【考点分析】此题考查学生运用二次函数知识解决实际问题的能力.【名师点评】同学们解此题时一定要弄清一些量之间的关系:销售量,为销售单价提高的元数;单件利润=售价-进价;总利润=单件利润销售量.本题第（1）题设计了两个问题，一是每个篮球的利润，二是每月的销售个数，这为第（2）题解答铺平了道路，另外同学们要会利用二次函数的最值，解决实际问题. 设月销售利润为元，由题意得 整理得 当时，.此时售价为20+50=70（元）【正确答案】（1）；（2）8000不是最大利润，最大利润为9000元,此时篮球的售价为70元.23.某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元若商场经营这种商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利不少于2160元？23.(1)若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100（100-80）2000（元）(2)依题意得：（100-80-x）（100+10x）2160 即x-10x+16=0 解得：x=2，x=8 经检验：x=2，x=8都符合题意. 答:商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元. 依题意得：y=（20-x）（100+10x） y= -10x+100x+2000=-10(x-5)+2250 画草图（略） 观察图像可得：当2x8时，y2160当2x8时，商店所获利润不少于2160元 CABOyD24.已知抛物线与x轴的一个交点为A（4，0）, 对称轴BD交x轴于点D，交抛物线于点B，且ABD是等腰三角形. (1)求顶点B的坐标及抛物线的解析式； (2)设过原点O的直线交抛物线于另一点C. 若点P在x轴上，以点P、A、B为顶点的三角形与OCA相似，求点P的坐标. 24.(1)抛物线经过原点且过点A（4，0） OA=4 直线BD是对称轴, AD=2, ABD是等腰三角形, BD=AD=2, 点B的坐标为(2,-2)将A（4，0），B（2，-2）代入，抛物线的解析式为CABOyDP2P1H（2）由点C是直线与抛物线的