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北师大版高中数学选修2 2第四章 定积分 利用定积分求平面图形的面积 一 教学目标 1 进一步让学生深刻体会 分割 以直代曲 求和 逼近 求曲边梯形的思想方法 2 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理 3 初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法 二 教学重难点 曲边梯形面积的求法及应用三 教学方法 探析归纳 讲练结合四 教学过程 1 微积分基本定理 牛顿 莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系 2 利用牛顿 莱布尼茨公式求定积分的关键是 思考 试用定积分表示下面各平面图形的面积值 图4 如图 解 两曲线的交点 解 两曲线的交点 直线与x轴交点为 4 0 s1 s2 解 两曲线的交点 8 2 4 解 两曲线的交点 于是所求面积 说明 注意各积分区间上被积函数的形式 例3求由抛物线y2 8x y 0 与直线x y 6 0及y 0所围成的图形的面积 求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤 1 画草图 2 求曲线的交点定出积分上 下线 3 确定被积函数 但要保证求出的面积是非负的 4 写出定积分并计算 例4已知抛物线y x2 2x及直线x 0 x a y 0围成的平面图形的面积为4 3 求a的值 若 面积为4 3 改为 面积不超过4 3 呢 思路 根据a的取值的不同分类讨论 当a 0时 解得a 1 当a 2时 无解 当0 a 2时 解得a 2 注意 故a 1或a 2 1 2 巩固练习 1 由定积分的性质和几何意义 说明下列各式的值 2 一桥拱的形状为抛物线 已知该抛物线拱的高为常数h 宽为常数b 求抛物线拱的面积 3 已知直线y kx分抛物线y x x2与x轴所围图形为面积相等的两部分 求k的值 4 求下列曲线所围成的图形的面积 1 y x2 y 2x 3 2 y ex y e x 0 课外练习 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤 1 作图象 2 求交点的横坐标 定出积分上 下限 3 确定被积函数 用定积分表示所求的面积 特别注意分清被积函数的上 下位置 4 用牛顿 莱布
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