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二次函数教学中容易出现的几点“误区”函数是中学数学的重要内容，学生普遍认为函数难学，在教学中怎样才能取得好的教学效果呢？我们教学中要提升对函数教学整体性和连贯性的认识，尽量避免走入各种“误区”，这样才能够为学生的终身学习奠定基础。初中主要学习了一次函数、反比例函数、正比例函数和二次函数，其内容有内在的必然联系，但也有不同。在教育教学过程中，作为教师必须深刻认识他们之间关系，洞悉函数的内涵，把难点突破，是学生从一开始就接受到严谨的概念和思想。因为人的认识的第一映像非常重要。只有这样，教与学才能能够真正地互长相宜。下面我通过具体课例二次函数的教学，分析函数教学中出现的几个误区，以供大家商讨，共同进步。二次函数是中考，甚至是高考中必考的考点，也是重点，更是难点。在教学过程中，发现学生的问题很多，下面简单列举几个：问题1：对称轴与最值关系理解不准如：求二次函数y=x2+4x-5，当-1x0时，函数有最小值，并且当x=-b/2a时，y最小值=(4ac-b2)/4a ；当a0），加上个正值就应该往右移，但恰恰相反，我们是加上一个正值往左移，减上一个正值往右移。这一个问题对于初中生来说没有必要给他们写出严格的证明，也不能直接让他们记忆“左加右减”。证明的话，他们很有可能听不懂；直接记忆的话，他们又要问为什么。所以，我感觉应让他们自己动手多画画这样的图像，通过图像找出“左加右减”这样的规律。下面我用几个简单一点的例子来说明这一点。例1 在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2和y=（x+1）2的图像。例2 在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2和y=（x1）2的图像。由上面的两个例题我们发现加上1函数y=x2图像往左平移了一个单位长度，减上1函数y=x2图像往右平移了一个单位长度。那么，函数y=（xh）2，（h0）的图像是由函数y=x2怎样平移得到的？函数y=（x+h）2，（h0）的图像又是由函数y=x2怎样平移得到的呢？由此，我们就总结出了这样的结论，“左加右减”。“一次函数”教学的几点感受 山阳县城区第一初级中学结合一次函数的教学谈谈自己在教学中的肤浅感受、成功与不足以及对教材的几点不成熟的建议。“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。教学完后，对新教材有了一些更深的认识。肤浅感受：备课过程是一种艰苦的复杂的脑力劳动过程，知识的发展、教育对象的变化、教学效益要求的提高，使作为一种艺术创造和再创造的备课是没有止境的，一种最佳教学方案的设计和选择，往往是难以完全使人满意的。一：教材课时安排过紧有关。初二教材的教学时间不够，教参函数第一节第二节二节课，第三节一次函数节，课时太少，本节要加一个复习课二：教学内容不好处理。 在“2. 一次函数的图象”中有平移的问题， 1.(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线_; (2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线_. 与多位教师讨论后，我们用学案（下面的表）来处理，让学生更多一点感性认识，少一点理论上的结论2. “一次函数的性质”中无b对函数的图象的影响，但题中有，要补讲 环节二：概括一次函数图象的性质 一次函数ykxb有下列性质： （1）当k0时，y随x的增大而_，这时函数的图象从左到右_； （2）当k0时，y随x的增大而_，这时函数的图象从左到右_. （3）当b0时，这时函数的图象与y轴的交点在： （4）当b0时，这时函数的图象与y轴的交点在： 待定系数法的引入上用“弹簧的长度 y（厘米）”来讲的，太难，要先讲书上的“做一做：“已知一次函数y=kx+b的图象经过点（-1，1）和点（1，-5），” 三：难度不好处理：如我们在讲一次函数的定义时（第一课时）补充了一个例题：已知函数y= 当m取什么值时，y是x的一次函数？当m取什么值是，y是x的正比例函数。”学生难以理解，我个人认为太难，超出了学生的理解能力。反而对一个具体的一次函数y=-2x+3中k，b是多少强调的不多。成功之处： 一次函数的教学有以下令自己较满意的地方： 一、结合生活实例，充分调动学生学习的激情，恰当的过渡，点燃其求知的欲望。 在本节课的引入部分采用班级里的真人真事（校运动会上，令全校师生兴奋不已的一幕：八（10）某同学在男子4100米的接力赛中以惊人的速度赶超了原先的第一名，为十班夺得了冠军）。上此课是早上第三节了，再加上天气的原因，部分同学似乎精神不佳，令我非常担心这节课不能吸引学生。“在此跑步过程中涉及到哪些量？”“假定每位选手各自都是匀速直线运动的，那速度、时间、路程之间有什么关系？”“路程是时间的一次函数吗？”等过渡性的问句既复习回顾了上节课的知识又为一次函数图像的概念引出作了铺垫。 二、大胆对教材作大幅度调整、修改对知识内容的完整性作了补充。（附一次函数的图象的知识要点：一次函数几何形状：一条直线；一次函数图象的画法；一次函数图象与坐标轴的交点坐标。）教材对“一次函数图象的画法”阐释得不太完整、详尽。学习函数的图象需要培养学生数形结合的思想，一次函数图象又是所有函数图象中最简单的一种，是以后学习其他复杂函数的基础，所以整体全面地学习一次函数的图象能为学生以后学习其他复杂函数提供思路样本、节省学习时间。虽然在课后的习题与作业本中都有涉及到：当一次函数的自变量限制在某一范围时如何画此一次函数的图象，但在教材中似乎没有涉及到此类问题，对于B班的学生需要教师对此类问题做相关示范解决。(1)求 y1 关于 x 的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）画出上述函数的图像。图像还是一条直线吗？此题为拓展知识点：当一次函数的自变量限制在某一范围时一次函数的图象是一条射线或线段而特地设计的。至于如何快速地画出射线或线段呢，让学生讨论后给出总结：对于射线，取起点与另一个异于起点的任一点画出射线；对于线段，取线段的两个端点然后连接即可。对例题的处理 对例1作两处调整：一是对题目的设置，二是对题目的讲解次序。为更好阐述当一次项的系数为分数或小数时，如何画一次函数的图象（自变量可取任何数），特在例1中添加了画（2）,问学生取怎样的两个点使作图方便简洁，让学生自由发挥充分讨论后总结：一般取整数点。 在讲解次序上，先解决(1)(2)(3)小题的作图，归纳方法；再解决如何求(1)(2)(3)小题的函数图象与坐标轴的交点坐标，归纳拓展为一般情况：与y轴交点坐标（0，b）与x轴的交点坐标 遗憾之处： 一、 时间把握不准。由于我在原教材的基础上加宽了知识点的面，拓展了知识点的深度，个别环节还需要小组活动或学生个别上台动手操作，而我又想将这所有的内容在一节课内完成，似乎太高估了自己和学生的能力。所以我想这么多内容可以更宜分开两节课来上吧。二、 部分内容上处理出现失误：初探索一次函数y=x的画法时，我直接自己硬性规定先取这样五个点：(-2,-2), (-1,-1) , (0,0) , (1,1) , (2,2),而没有先征求学生的意见，看看他们是怎么取的，也没有解释为什么要取这五个点（理由应是：这五个点分布均匀，它们的坐标较简单，有代表性）疑惑点与对教材的不成熟的建议函数与函数图象广泛运用到实际问题中，也是中高考的重难点，而一次函数和一次函数图象又是其他复杂函数与函数图象的基础，将这个基础地基打得扎实显得尤为重要，探究一次函数图象的特点的许多方法也同样适用于其他复杂函数图象。既然要学一次函数的图象，为何不将其相关知识要点继续深入下去呢？教材中对一次函数的图象只安排了两个课时，且第二课时讲的图象的增减性问题及其应用，而第一课时中对一次函数的图象的相关特点阐述得不怎么全面、完整，所以我想在原第一、二课时之间是否再增一个课时的内容，以便学生们更扎实地掌握知识。我听过关于二次函数的复习课，在课堂上，该老师总结二次函数的性质，总结如下： 一轴：对称轴 二性：增减性、对称性 三式：一般式、顶点式、交点式 四点：顶点、与x轴两交点、与y轴交点 五距:与x轴两交点A、B到坐标原点的距离；与y轴交点C到坐标原点的距离；顶点D到x轴,y轴的距离 六符号：a的符号； a和b的符号； c的符号；b*2-4ac的符号； x=1时y的符号；x=-1 时y的符号。从学生的反应可看出，老师平时很认真地讲了这些知识，总害怕遗漏什么。但很显然，与北师大版的教材要求“降低难度”有出入交点式不学，“x=1时y的符号；x=-1 时y的符号”又有多大实际价值？我认为，要避免教师“新瓶装老酒”，教材应明确什么教，什么删，考试时也要这样要求考试就是指挥棒。这节课我收获最大之处，就是学到要重视抛物线的平移，我在平时的工作中，不太重视这一点。该老师举了如下的例子：求平移后抛物线的解析式例1 y=-3(x-1)*2-3先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,求平移后的解析式.解：y=-3(x+1)*2+2求平移前抛物线的解析式例2.抛物线y=a(x-h)*2+1向左平移5个单位又向下平移4个单位长度后得y=-2(x+2)*2-3则原抛物线解析式为_解：由题意得：-h+5=2,k-4=-3所以，h=3,k=1而a值不变，故y=-2(x-3)*2+1已知平移前后抛物线的表达式,求平移过程.例3.将抛物线y=x*2+2x-3经过怎样的平移得到y=x*2-4x+7解：将平移前后两个表达式分别配成顶点式得：y=(x+1)*2-4 和y=(x-2)*2+3,观察h和k可知：向右平移3个单位，向上平移7个单位。总结的口诀是: “左加右减,上加下减”。通过反复练习，学生掌握了图像的平移确定函数解析式的方法。二次函数误区浅析陕西省西乡县隆基中学 张永旭二次函数是初中数学中较重要的内容，其内容丰富，题型变化大，与许多数学知识都有联系。如：方程、不等式，几何题等。因此，学生在解决与二次函数有关的题目时，常常由于审题不清、考虑不周，思维混乱而出错，走入误区。以下就我在教学实践中对各种原因造成的错误、学生易入的误区及避免措施，分析归纳小结。 、二次函数中二次项系数的条件（a 0）。 例：关于x的二次函数y=(k-2)x2-kx+k2+2k-8的图像经过原点，求k的值。 误解：把（0，0）代入，可得方程k2+2k8=0，解得k=-4、2。 评析：在解答此题中，学生就忽视了二次函数的定义，二次项系数a0的条件，要考虑到k20，即k2.因而要舍去k=2，正解为m= 4。因此，教学中应讲清概念，强调条件，才能正确解答。 、平移抛物线易出错。 例：把抛物线y=3x2+5x+8怎样平移可以得到抛物线y=3x2+2x+6。 误解：向右平移3个单位，再向下平移2个单位。 评析：解答时应先把二次函数化成顶点式。抛物线平移位置变换，只需关注顶点。因平移中顶点也随之变换，故先把二次函数的解析式化为顶点式，再由平移变换性质，确定平移的方向和距离。左加右减，上加下减，平移顺序无关。、二次函数的图像与性质的联系例：求函数y= x2+6x+13 (-5x0) 的最大值和最小值。误解：当x=-5时，y=8；当x=0时，y=13。故当-3x0时，y最小值=8，y最大值=13。评析：本题考查求二次函数的最值问题，还考查了数形结合思想方法，解决此题只需作出二次函数的图像就可以解决了，但学生没有挖掘出题目中的隐含条件，误认为是在端点处达到函数最值。由二次函数的图像可知：它的最低点是顶点（-3，4），最高点是x=0对应的y=13。即：y最小值=4，y最大值=13。应指导学生深入思考，严谨缜密，方能正确解题。、对题目中关键词的正确理解。 例：已知抛物线的最高点的纵坐标为5，与x轴的两个交点为(2，0)、(4，0)，求抛物线的解析式。 误解：由题意，可设y=a (x+2)(x4)，把（0，5）代入，得解析式为：y=-5/8x2+5/4x+5。 评析：误解中忽视了“抛物线的最高点的纵坐标为5”中的关键词“最高点的纵坐标为5”；“最高点”就是抛物线的顶点。题中抛物线的最高点的纵坐标为5，即顶点的纵坐标是5，而不是与y轴交点的纵坐标为5由抛物线的对称性，而与x轴的两个交点为(2，0)、(4，0)，得抛物线的对称轴为直线x=1，即顶点的横坐标为1，再由已知条件可得顶点为（1，5），可设顶点式y= a (x1)2+5，再把(2，0)或(4，0)代入，得：a=5/9，得其正解：抛物线的解析式为y= 5/9(x1)2+5。此类问题学生粗略读题，易忽视对关键词的理解，导致出错。教学中，可适当选择一些容易忽略的问题，当堂训练，提高阅读、理解能力。、二次函数与一元二次方程根与系数的关系的联系。 例：抛物线y=x2-mx+6与x轴的两个交点的横坐标的平方和等于4，求实数m的值。 误解：设抛物线y=x2-mx+6与x轴的两个交点坐标为（x1，0）、（x2，0），由一元二次方程根与系数关系得：x1+x2=m,x1x2=6。又x12+x22=4，解得：m=4或-4。 评析：抛物线与轴的交点问题就是取y=0，求一元二次方程解的问题。本题可用一元二次方程根与系数的关系，但须判别，一元二次方程要有两个实数根。误解中忽视了将求出的的值代入判别式中检验而造成错误。两值代入一元二次方程均无实根，故无解。因此要先解后，再验定取舍。、二次函数的图像与一元二次不等式的联系。 例:已知抛物线y=x2+mx+5经过点(-2，3)。 (1)求这个函数的析式； (2) 求使y9的x的取值范围。 误解：（1）小题把点(-2，3)代入解析式得y=x2+3x+5，（2）小题学生会把y9代入，误认为解一元二次不等式x2+3x+59，得：x2+3x40，分解因式(x-1)(x+4) 0，得：x-10；x+40，解得：x1； x-4。 评析：初中阶段对一元二次不等式的解法已不作要求，学生没有系统地学习如何解一元二次不等式，故解一元二次不等式易出错，只会想当然地解答。应指导学生首先根据题意作出抛物线，找出函数值y9对应的图像，找出关键点，即函数值y=9对应的自变量x的值，即x2+3x+5=9，解得：x1=1、x2=-4，观察图像，得正解：x4或x1。 在二次函数教学中，首先教导学生掌握必要的基础知识，然后结合图像思考，细心审题，学习，解答就容易了。由学生平时作业与练习中的错题进行分析，并给出一些解决的简单评析和对策，希望能共勉，在教学中学生解决与二次函数的问题时避免走入误区。以上本人浅识，不足处望老师、学友赐教。在函数教学中出现的误区函数是初中数学的一个重要内容，也是中考命题的一个热点内容，因此所有教师都非常重视函数知识的讲授，然而每次考试过后反应出来的问题总是很多。是什么原因造成这种劳动与收获不成正比呢？ 结合自己在“一次函数图像及其性质”课程的教学过程，针对学生所反映出来的问题，我认为在教授函数知识时，自己没有能很好的考虑到函数两两之间的关系，缺乏系统意识和整体意识，数学方法的运用还不够深入。 比如：函数图象与性质的教学，先讲授正比例函数的图象与性质，从反比例函数、一次函数到二次函数，我们都会运用类比的方法进行，类比正比例函数的图象与性质的研究过程“列表描点连线”，但在“列表”时自己没有足够重视，从正比例函数到一次函数教材上所取的点都是原点附近，或干脆就是以原点为对称中心取点，这样处理的好处有两个，一是数值简单便于操作，二是能（或是大致能）反映它们这些函数图象的性质，然而自己往往会忽视第二个好处，所以尽管自己在经历从正比例函数到二次函数的图象的画法的详细讲解后，总有少数学生画不好二次函数的图象，错误方式均是“列表”时没选好点（也都以原点为对称中心取点），导致画出的图象越来越看不出它们的特点。如何避免学生再出现这样的错误呢？我总结发现，自己今后讲授 “列表”取点时不光要重视分析“数值简单便于操作”这一特点，更要重视如何取点能清楚地反映它们这些函数图象的性质。我会采用如下方法：在反比例函数的图象与性质的列表时，我设计了三个问题，为什么正比例函数与一次函数只需要两点？反比例函数能不能也只用两个点，用几个点比较合适？如何取这些点能更好地展现图象的特点？在二次函数的图象与性质的列表时，我设计了两个问题，反比例函数如何取哪几个点可以展现图象的特点？二次函数又如何取哪几个点可以展现图象的特点？我想通过这样的问题学生就能够真正掌握函数图象与性质的研究方法了，这样做既具有知识整体性又不缺乏其连贯性。再结合不同的数学方法，多给学生自己练习的时间，让学生真正成为学习的主体，做到不仅使教师完成教学任务，还要使学生完成学习任务，以提高教学质量。简谈一次函数教学中容易出现的“误区”一次函数是中学数学中极其重要的一部分内容，我们在课堂教学设计时一定要了解学生的认知水平，根据初中学生的思维特点，合理设计教学方案，使学生能更好的掌握本学段的知识。在一次函数的学习中容易出现一些误区，下面就一次函数教学中容易出现的几种“误区”进行分析：误区一:不能很好地揭示函数与图象的辩证关系，渗透数形结合思想，领会k、b值的正负对一次函数y=kx+b(k0)图象的影响。例如：把直线y=3x向下平移2个单位得到的直线解析式是 。解析：直线y=3x向下平移2个单位，说明所得的直线与进线y=3x平行，且与y轴交于(0，-2)，若设所求直线解析式为y=kx+b，则k=3，b= - 2，故所求的解析式为y=3x2。误区二：没有将生活实际与函数有机结合，出现一次函数图象都是一条直线的误区例如：柴油机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，求油箱中的余油q（升）与工作时间t（小时）之间的函数关系式，并画出该函数的图象。错解：由题设，可知q =5t+40，（0t8）当t = 0时，q = 40，有A（0，40）.当t = 8时，q = 0，有B（8，0），作直线AB即为所求的函数图象.观察上例,我们发现一次函数q=5t+40，（0t8）的图象是一条线段,为什么不是一条直线呢?我们知道,一般一次函数y=kx+b (k0)图象是一条直线,其中x、y都是全体实数.但是在实际问题中，自变量的取值范围受到限制，不再是全体实数了，这时函数y=kx+b (k0)的图象就不是一条直线，而有可能出现的图象是线段、射线、离散点和折线.因此，上例中的一次函数q =5t+40在0t8情况下，图象是一条线段.又比如，一次函数y =2x+1在x0情况下，图象是一条射线；一次函数y=x+1在x0且x为整数情况下，图象为离散点.因此教学中，要求学生要注意自变量的取值范围，以防止出现一次函数图象都是一条直线的误区。 函数教学中的误区还有很多，因此在以后的教学中我们应多让学生去观察、对比、讨论、交流，从而轻松愉快的掌握一次函数这方面的知识。例谈反比例函数教学中的整体性和连贯性函数是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，也是初中数学里代数领域的重要内容，它在初中数学中具有较强的综合性。在教学中，学生普遍认为函数难学