内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《归纳与类比》课件.ppt

第二十二讲归纳与类比 走进高考第一关考点关 回归教材 1 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 2 归纳推理与类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 3 归纳推理与类比推理统称为合情推理 合情推理的结论不一定正确 有待进一步证明 考点训练 1 2008 全国 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个 如两组对边分别平行 类似地 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件 充要条件 充要条件 写出你认为正确的两个充要条件 答案 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点 底面是平行四边形 注 上面给出了四个充要条件 如果考生写出其他正确答案 同样给分 2 2008 江苏 10 将全体正整数排成一个三角形数阵 123456789101112131415 根据以上排列规律 数阵中第n n 3 行的从左至右的第3个数是 解析 本小题考查归纳推理和等差数列求和公式 前n 1行共有正整数1 2 n 1 个 即个 因此第n行第3个数是全体正整数中第 3个 即为 3 2009 浙江卷 设等差数列 an 的前n项和为sn 则s4 s8 s4 s12 s8 s16 s12成等差数列 类比以上结论有 设等比数列 bn 的前n项积为tn 则t4 成等比数列 4 2009 江苏卷 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它的面积比为1 4 类似地 在空间 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它的体积比为 答案 1 8 解析 由类比推理得 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为1 8 下面计算验证 假设两个正四面体的棱长分别为1和2 如图 正四面体abcd的棱长为1 取bc的中点e 作ao ed于o 则od 答案 24n 1 1 n22n 1 解析 由观察等式发现其右边结论仅与三个数据有关 前边2的指数是以3为首项 公差为4的等差数列 后边2的指数是以1为首项 公差为2的等差数列 当n为奇数时 中间为 n为偶数时 中间为 由此 可得 解读高考第二关热点关 题型一归纳推理 归纳推理的方法步骤 1 观察分析所列情况的共性 如图形中的点 线的个数 位置关系 数列中数的变化规律 一系列式子的共同运算特点等 2 将观察到的共性进行推广 形成一般的结论 分析 不等式的左边不能合并 但当n取较小的值时 可以合并 因此从n 1时开始探讨 点评 有些结论是在某些条件下成立 不一定恒成立 可用归纳探求结论成立的条件 变式1 已知f1 f2分别是双曲线的左 右两焦点 点m在双曲线上 1 若 f1mf2 90 求 f1mf2的面积 2 若 f1mf2 120 f1mf2的面积是多少 若 f1mf2 60 f1mf2的面积又是多少 3 观察以上计算结果 你能看出随 f1mf2的变化 f1mf2的面积将怎样变化吗 解 1 由双曲线方程知a 2 b 3 c 设 mf1 m mf2 n 则 m n 4 m n 2 16 即m2 n2 2mn 16 又 f1mf2 90 m2 n2 2c 2 52 mn m2 n2 16 52 16 18 s f1mf2 mn 18 9 2 若 f1mf2 120 则在 f1mf2中 由余弦定理得 f1f2 2 m2 n2 2mncos f1mf2 即 2 2 m n 2 2mn 2mncos120 52 16 2mn mn mn 12 s f1mf2 mnsin f1mf2 12sin120 3 同理求得 当 f1mf2 60 时 s f1mf2 9 3 由以上结果可看出 随着 f1mf2的增大 f1mf2的面积在减小 题型二类比推理 类比推理的一般步骤 1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 即猜想 例2如图 1 所示 在 abc中 射影定理可表示为a b cosc c5cosb 其中a b c分别为角a b c的对边 类比上述定理 写出对空间四面体性质的猜想 分析 这是一个由平面图形到空间图形的类比 于是联想到 边长 面积 平面角 二面角 边的射影 面的射影等 解 如图 2 所示 在四面体p abc中 s1 s2 s3 s分别表示 pab pbc pca abc的面积 依次表示面pab 面pbc 面pca与底面abc所成二面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间 其表现形式应为 点评 运用类比推理方法 可以帮助我们发现问题 探索规律 很多定理 公式就是通过这种方法提出 再经过严格的证明得到的 变式2 如图所示 在三棱锥s abc中 sa sb sb sc sc sa 且sa sb sc和底面abc所成的角分别为 1 2 3 sbc sac sab的面积分别为s1 s2 s3 类比三角形中的正弦定理 给出空间图形的一个猜想 题型三综合应用 例3如图所示 在圆内画一条线段 将圆分成两部分 画两条线段 彼此最多分割成4条线段 将圆最多分割成4部分 画三条线段 彼此最多分割成9条线段 将圆最多分割成7部分 画四条线段 彼此最多分割成16条线段 将圆最多分割成11部分 1 在圆内画5条线段 彼此最多分割成多少线段 将圆最多分割成多少部分 2 猜想 在圆内画n n 2 条线段 彼此最多分割成多少条线段 将圆最多分割成多少部分 分析 每增加一条线段 与前面的每条线段最多产生1个交点 而新增加的第n条线段最多与前面的n 1条线段产生n 1个交点 则这n 1个点把第n条线段分为n段 解 设在圆内画n条线段 彼此最多分割成的线段为f n 条 将圆最多分割成g n 部分 1 当n 5时 f 5 f 4 4 5 16 4 5 25 g 5 g 4 5 11 5 16 2 猜想 在圆内画n n 2 条线段 彼此最多分割成f n n2条线段 将圆最多分割为部分 点评 通过考察个别的情形 归纳猜想出一般规律 变式3 用n条直线去划分一个平面 最多能被分成几块 解 只有当这些直线互不平行并且没有两条以上的直线交于同一点时 才能使平面被分成的块数最多 我们假定这两个条件都满足 用an表示由n条直线划分平面所产生的块数 用实验的方法 可得a1 2 a2 4 a3 7 a4 11 观察这个数列 发现可用二次式表达为 笑对高考第三关技巧关 数列中的归纳推理 典例根据下列条件 写出数列的前4项 并归纳猜想它的通项公式 1 a1 0 an 1 an 2n 1 n n 2 a1 1 an 1 an n n 解 1 当n 1时 a1 0 由an 1 an 2n 1 n n 得a2 a1 1 1 a3 a2 3 4 a4 a3 5 9 由a1 02 a2 12 a3 22 a4 32 可归纳出an n 1 2 n n 点评 本题是用归纳推理求数列的通项公式 归纳推理具有由特殊到一般 由具体到抽象的认识功能 在得出结论后 要注意统一形式 以便寻找规律 然后用归纳猜想得出结论 考向精测 1 已知a1 1 an 1 an 且 an 1 an 2 2 an 1 an 1 0 计算a2 a3 猜想an等于 答案 b 解析 由已知可得 a2 1 2 2 a2 1 1 0 即a22 4a2 0 a2 0 a2 4 a2 a1 a2 4 同理可求得a3 9 知an n2成立 2 根据下列条件写出数列中的前4项 并归纳猜想它的一个通项公式 a1 3 an 1 2an 1 解 由a1 3 an 1 2an 1得 a2 2a1 1 7 a3 2a2 1 15 a4 2a3 1 31 a1 3 22 1 a2 7 23 1 a3 15 24 1 a4 31 25 1 猜想an 2n 1 1 n n 课时作业 二十二 归纳与类比 一 选择题 1 下面几种推理是合情推理的是 由圆的性质类比出球的有关性质 由直角三角形 等腰三角形 等边三角形的内角和是180 归纳出所有三角形的内角和都是180 某次考试张军成绩是100分 由此推出全班同学成绩都是100分 三角形内角和是180 四边形内角和是360 五边形内角和是540 由此得出凸多边形内角和是 n 2 180 a b c d 答案 c 2 2009 烟台二模 下面给出了关于复数的四种类比推理 复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则 由向量a的性质 a 2 a 2类比得到复数z的性质 z 2 z2 方程ax2 bx c 0 a b c r 有两个不同实数根的条件是b2 4ac 0可以类比得到 方程az2 bz c 0 a b c c 有两个不同复数根的条件是b2 4ac 0 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 其中类比得到的结论错误的是 a b c d 答案 c 答案 b 解析 平面中的面积与空间中的体积类比 平面二维与空间三维类比 4 四个小动物换座位 开始是鼠 猴 兔 猫分别坐1 2 3 4号位子上 如图 第一次前后排动物互换座位 第二次左右列动物互换座位 这样交替进行下去 那么第2010次互换座位后 小兔的座位对应的是 a 编号1b 编号2c 编号3d 编号4 答案 b 解析 由题意 第四次互换后动物们又回到开始位置 故第2010次应与第二次位置一样 答案 b 二 填空题 7 2009 山东烟台 函数f x 由下表定义 若a0 5 an 1 f an n 0 1 2 则a2009 答案 2 解析 由a0 5 an 1 f an n 0 1 2 得a1 f a0 f 5 2 a2 f a1 f 2 1 a3 f a2 f 1 4 a4 f a3 f 4 5 a5 f a4 f 5 2 说明递推数列a0 5 an 1 f an 是周期为4的数列 故a2009 f a2008 f 5 2 8 2009 山