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第二章 三 收敛数列的性质 唯一性有界性保号性 保序性 4 收敛数列与其子列的关系 三 收敛数列的性质 1 唯一性定理1 1 收敛数列极限的唯一性 即若 则必有 若极限 则极限唯一 用反证法 及 且 取 因 N1 N 使当n N1时 假设 即当n N1时 证法1 同理 因 故 N2 N 使当n N2时 有 从而 使当n N2时 有 则当n N时 矛盾 故假设不真 2 有界性 例如 有界 无界 证设 取 则 当 时 从而有 取 则有 即收敛数列必有界 有 注 有界性是数列收敛的必要条件 但不是充分条件 收敛有界 关系 例如 虽有界 但不收敛 数列 推论无界数列必发散 使当n N时 恒有 1 若 时 有 3 保号性 保序性 证 1 取 因 故存在N1 使当n N1时 从而 当n N1时 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 则当n N时 便有 与已知矛盾 于是定理得证 当n N1时 推论 收敛数列的保号性 1 若 则 使当n N时 2 若 则a 0 恒有 且 对a 0 取 证 1 2 用反证法证明 注 如 4 收敛数列与其子数列的关系 1 子数列的概念 称为数列 xn 的一个子数列 或子列 例如 从数列 中抽出所有的偶数项 是其子数列 它的第k项是 组成的数列 2 收敛数列与其子数列的关系 结论 1 2 注 定理 1 某 收敛 例如 但 发散 2 若数列
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