向量的概念（高一）.doc

向量的概念、运算和共线向量知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.（3）运算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.4.实数与向量的积：（1）定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|=|a|.当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，a与a平行.（2）运算律：（a）=（）a，（+）a=a+a，（a+b）=a+b.5.两个重要定理：（1）向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a，即bab=a（a0）.（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数1、2，使a=1e1+2e2.点击双基1化简：(1)_；(2)_；(3)()()_2.若ABC满足|，则ABC的形状必定为 3若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则= 4已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，则 5e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，若a与b共线则实数k= 6若a=“向东走8 km”，b=“向北走8 km”，则a+b|=_，a+b的方向是_.7下列说法正确的有（1）对于两个非零向量a、b，若存在一个实数k满足akb，则a、b共线（2）B若ab，则|a|b|（3）若a、b为两个非零向量，则|ab|ab|（4）若a、b为两个方向相同的向量，则|ab|a|b|典例剖析例1.（1）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则 （2）设P是ABC所在平面内的一点，2，则P点的位置在（3）已知在平面上不共线的四点O、A、B、C，若320，则_.例2如图，已知OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D在OB上，且2，DC和OA交于E，设a，b.(1)用a和b表示向量、；(2)若，求实数的值例3在ABC中，AMAB=13，ANAC=14，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示.例4如图，G是ABC的重心，求证：+=0.例5设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值例6已知向量a=2e13e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量d=a+b与c共线?例7设、不共线，点P在AB上，求证：=+且+=1，、R.变式（1），不共线，若=+，且+=1，R，R，求证：A、B、P三点共线.变式（2）当=时，=（+），P点在AB的什么位置上变式（3）如图，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_变式（4） 若a、b是两个不共线的非零向量（tR）.若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量的终点在一直线上?课后练习1若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有a、b的关系为 2在四边形ABCD中，=