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第六节对数与对数函数 知识汇合 典例分析 点拨1 利用对数运算性质进行计算时 要把不同底的对数化成同底的对数再进行计算 要能从正 反两方面灵活的运用对数性质 因此熟练运用对数的运算性质是解决此类问题的关键 考点二对数型函数的定义域与值域问题 例2 求函数y log x 2 16 4x 的定义域 点拨2 求与对数函数有关的定义域问题 首先要考虑真数大于零 底数大于零且不等于1 若分母中含有x 还要考虑不能使分母为零 解析 考点三对数型函数性质的应用 例3 若01时 函数y logax在其定义域上是增函数 所以12 当0a 1 2a 1 0 解集为 综上所述 a的取值范围为 2 点拨3 求解指数或对数中含有未知数的不等式时 必须分底数大于1和大于零且小于1两种情况讨论 然后再利用相应指数函数或对数函数单调性进行解答 考点四对数函数图象的应用 例4 方程log2 x 2 x2的实数解有 个 解在同一坐标系中分别画出y1 log2 x 2 与y2 x2的图象 如图所示 由图观察知 二者有两个交点 所以方程log2 x 2 x2有两个解 点拨4 此类题一般采用构造函数 应用数形结合求解 需要指出的是 我们仅能求解一些特殊的此类问题 对于一般的问题 在目前阶段还没有普遍的方法来求解 我们只能借助数形结合得到方程解的个数或解的大致范围 函数图象所具有的数形转换功能 不仅使解题直观 简捷 而且对于培养创新意识 提高分析问题和解决问题的能力是十分有益的 同学们要注意领会 掌握 在高考中既考查对数函数的定义与图象以及他们的主要性质 又在数学思想方法上考查分类讨论的思想与运算能力 有关指数函数 对数函数关系的试题仍是高考的重点 它既可以在填空题中出现 也可以在大题中出现 综合能力要求往往较高 2013年高考仍将以图象与性质为考点 高考体验 练习巩固 2 函数f x log3 2 x 在定义域上是 a 增函数b 减函数c 有时是增函数有时是减函数d 无法确定其单调解析 由复合函数的单调性可以判断 内外两层单调性相同则为增函数 内外两层的单调性相反则为减函数 答案 b3 计算log225 log32 log59的结果为 a 3b 4c 5d 6 答案 d 解析 由已知 f x logax 又f 2 1 则loga2 1 即a 2 故f x log2x 答案 a 答案 8 设a 0 a 1 p loga a3 1 q loga a2 1 试比较p与q的大小 解析 当a 1时 对数函数y logax为增函数 又此时a3 1 a2 1 从而loga a3 1 loga a2 1 即p q 当0loga a2 1 即p q 综上 p q 9 方程a x logax a 0 a 1 的实数解的个数为 解析 当a 1时 在同一坐标系内画出y1 a x和y2 logax的图象 如图 1 所示 由图象知两函数图
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