如何利用数学建模解数学应用题——黄玉兰老师.docx

如何利用数学建模解数学应用题黄玉兰摘要：本文论述了数学应用题的特点；数学应用题如何建模;建立数学模型应具备的能力；教师必须以思维训练为主弦律，弹好数学应用题教学五部曲。关键词：数学应用题特点, 如何建模， 具备的能力, 指导应用问题是高考命题的热点之一，它不仅具有题材贴近生活，题型功能丰富，涉及知识面广等特点，而且具有其应用性、创造性、开放性显著特征在数学科考试大纲中明确强调要培养学生解决实际问题的能力，即能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述随着新课程、新高考改革的深人，数学应用题题量、分值也在逐渐发生变化。数学建模在数学教育中的地位也被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点：第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。二、数学应用题如何建模建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次：第一层次：直接建模。根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为：将题材设条件翻译成数学表示形式应用题 审题： 题设条件代入数学模型求解： 选定可直接运用的数学模型第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。三、建立数学模型应具备的能力从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解题质量，同时也体现一个学生的综合能力。31提高分析、理解、阅读能力。32强化将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力。 将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等，这种译释能力是数学建成模的基础性工作。33增强选择数学模型的能力。选择数学模型是数学能力的反映。数学模型的建立有多种方法，怎样选择一个最佳的模型，体现数学能力的强弱。建立数学模型主要涉及到方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型。结合教学内容，以函数建模为例，以下实际问题所选择的数学模型列表：函数建模类型实际问题一次函数成本、利润、销售收入等二次函数优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等幂函数、指数函数、对数函数细胞分裂、生物繁殖等三角函数测量、交流量、力学问题等34加强数学运算能力。数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是提高学生素质，进行素质教育的一条有效途径。同时数学应用也是科学实践，有利于实践能力的培养，是实施素质教育所必须的，需要引起教育工作者的足够重视。提高学生解答应用题的能力，实现应用题的多能性目标，教师必须以思维训练为主弦律，弹好数学应用题教学五部曲。（一）、审题。由于应用题叙述的生活化语言与数学语言的差别，加上冗长、抽象的特点，学生对理解题意往往产生困难。对此，可采用“缩写”、“改写”的方法帮助理解。“缩写”即是把与解题有关的已知量与未知量从题中分化出来，“去粗取精”、“去伪存真”、重新构建，使句式简单，数量关系趋于明朗；“改写”即把应用题的生活化叙述改为更贴近四则运算意义的数学叙述，使学生在学习四则运算后形成的认知结构纳入新的知识结构并予以同化，形成新的认知结构。例如，下面就以一道实际的应用题为例说明如何进行阅读训练： 在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似地满足下图所示的折线写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量的取值范围。据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的，如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？ 假若某病人一天中第一次注射药液是早晨6点种，问怎样安排此人从6：0020：00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？ 本题是取材于社会热点的应用问题，文字多，有专业术语（非典型肺炎），有数据图形，数量关系错综复杂，数学模型多样,问题的层次感强，我们可用前面介绍的方法进行各个节破： 首先，删除掉关于形势的修饰语，将题意理解为一种药物实验。其次，抓住重要信息“函数图象”进行有针对性的分析，做好“横看竖看、左思右想”的工作，明确以下四点坐标中横轴表示时间，服药后1小时是一个分界点，血液中有药物的时间是注射后10小时；而纵轴表示血液中药物的含量，注射后每毫升血液中的含药量最高达6（微克）。图象呈直线型，和一次函数有关。图象走势，注射后的1小时内血液中的药物的含量渐增，可理解为吸收的过程，1小时后血液中的药物的含量渐减，可理解为稀释过程，而且增加的速度大于减少的速度。图象中的特殊点，如与x轴交点坐标为（0，0）（10，0）及最值点（1，6）的具体含义。问题中的关键词控制病情是有效的，可理解为“含药量4微克”，问题中的关键词使病人的治疗效果最好，也可理解为第一次注射并有效后每毫升血液中含药量必须一直大于或等于4微克，并且用药量最少对解题无任何影响，不必斤斤计较。最后，进行数据重组、试算，选择适当的数学模型。 解：1）由图象可得函数解析式为 4分 2）由题意可知，当 当时,当时,综上,这一次注射后小时控制病情开始有效,有效时间为小时 8分 3)由2)可知,该病人第二次注射时间为四小时后,即上午10:00,则第二次注射后每毫升血液中含药量与第二次注射后时间x 的函数关系式如下:则要使,则,即第三次注射时间应在第二次注射后5小时,即15:0010分而第一针注射10小时在血液中就不再有残余,即第三针注射1小时后,第一针完全不再有作用,而在第三针注射后一小时内，始终是有药效的，则在第三针注射1小时后的函数关系为则要使，则1，所以在第三针注射4.5小时后需注射第四针，即19：30注射第四针。综上，在6：0020：00注射时间安排如下：6：00，10：00，15：00，19：30 12分（二）、析题。这是解答应用题的关键一步。首先要让学生学会用实物演示、学具操作、画线段图或示意图等辅助手段，使数量关系更直观地显示出来，减缓思维坡度；其次要引导学生掌握基本的分析法和综合法。分析法的思维方向是逆向思维执果索因。即从最后问题想起：“要求出这个问题，必须要知道哪两个条件？”通过一步步的逆推分析，把未知量变成两个已知量相互之间的依存关系（即通过已知量之间的某种运算能得出所需的未知量）；综合法的思维方向是正向思维由因导果。即从已知条件出发，由两个已知量和它们之间的关系导出一个必然结果。依此法，在基本数量关系的支配下一步一步前进，直至最后求出问题。第三，在学生基本掌握常用分析方法的基础上，逐步简缩思维过程，要求学生直接说出条件与问题之间的桥梁，同时逐步从不同角度去分析数量关系，拓展解题思路，拓宽思维广度。（三）、解题。要做到“一看二算三查”：看列式与思路是否一致，数据是否抄错，算式有无利于简算的特点；算要按照四则运算的顺序进行，锻炼口算能力和速算能力；查指检查结果是否准确，是否符合题意、符合常理。在有条理的计算中培养学生思维的严密性和灵活性。（四）、论题。通过审、析、解三步，教学已知一段落，但不能停留在此。还要让学生学会论题，把思维训练推向新的境界。这部分训练包括：较完整、条理地叙述分析过程；计算时叙述每步计算的意义；变换题目的叙述方法；改变应用题的条件或问题并作出相应解答；把问题与算式搭配起来；根据算式补充相应的条件或问题