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武进区2014届第一学期期中考试2013.11高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1已知集合若，则实数的值为 2函数的最小正周期是 3已知两条直线若，则 4已知等差数列的前n项和为，若，则的值为 5已知向量，.若向量与向量共线，则实数 6已知直线平面，直线平面，给出下列命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则.其中正确命题的序号是 （把所有正确的命题序号都填上）7定义在上的函数满足:，且，则 8若实数x，y满足，则的最大值是 9在直角三角形中，点是斜边上的一个三等分点，则 10已知函数，其中若的值域是，则的取值范围是 11如图，在正三棱锥ABCD中，底面正三角形的边长为2，点E是AB的中点，ACDE，则正三棱锥ABCD的体积是 12已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则的最小值为 13. 定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，则等于 14曲线C：与轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则当时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为 二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且. 求函数的最大值； 若，求c的值16（本题满分14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面， 求证：平面平面； 在棱上是否存在一点，使得/ 平面？如果存在，请找出点并加以证明；如果不存在，请说明理由17（本题满分14分）已知函数的定义域为.设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为、. 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； 设点为坐标原点，求四边形面积的最小值.y2x18（本题满分16分）甲乙两地相距300千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过a千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度(千米/小时)的函数关系是. 试将全程运输成本(元)表示为速度的函数； 为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值.19（本题满分16分）已知数列中，数列满足. 求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； 求数列的前项和； 设数列满足（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意，都有.20（本题满分16分）已知函数 若，求曲线在点处的切线方程； 若，求函数的单调区间； 设函数若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围2014届第一学期期中考试2013.11高三文科数学试题答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1、 1 2、 3、 2 4、 21 5、6、 7、 8、 9、 10、11、 12、 13、 2 14、二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）解：（1）.3分因为，所以.4分则所以当，即时，取得最大值，且最大值为.7分（2）由题意知，所以又知，所以，则.10分因为，所以，则.12分由得，14分16（本题满分14分）（1）证明：平面，平面， 2分四边形为矩形， 4分，平面 6分 平面平面平面 7分 （2）答：当点为棱中点时，/ 平面. 9分证明：取棱中点，连接与相交于点，连结四边形为矩形，为中点 为棱中点 12分平面，平面， 直线/平面 14分 17（本题满分14分）解：设点的坐标为，则有，2分由点到直线的距离公式得，4分，6分，即为定值；7分（2）由题意可设，知.由与直线垂直，知，即，又，解得，故.10分所以，.12分所以.当且仅当时等号成立，故四边形面积有最小值.14分18（本题满分16分）解：（1）3分，.5分（2），7分令（舍去）或，当 当时，9分当时， 时，全程运输成本取得极小值，即最小值；12分当时，在上单调递减，所以在时，全程运输成本取得最小值.16分19（本题满分16分）解：（1）由，则.，即当时，.3分又，数列bn是首项和公差均为1的等差数列.于是，.5分（2）由（1）得，所以， ，7分由得，.9分（3）， 11分当n=2k1，k=1，2，3，时，式即为 依题意，式对k=1，2，3都成立，13分当n=2k，k=1，2，3，时，式即为 依题意，式对k=1，2，3都成立， ，又15分存在整数，使得对任意有.16分20（本题满分16分）解：函数的定义域为， 1分（1）当时，函数，由，所以曲线在点处的切线方程为，即4分（2）函数的定义域为 由，（）若，由，即，得或； 由，即，得6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 8分（）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增 10分（3）因为存在一个使得，则，等价于.令，等价于“当 时，”. 12分对求导，得. 因为当时，所以在上单调递增. 故此时，当时，所以在上单调递减.，又，故此时，14分综上，即，所以.16分另解：当时，；当时，.即，所以.另解：设，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当 时，. 12分（1）当时，在恒成立，所以在单