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文档简介

函数的最大值与最小值 一 复习与引入 1 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 如果在x0附近的左侧右侧 那么 f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧右侧 那么 f x0 是极小值 2 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到 3 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值 二 新课 函数的最值 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 发现图中 是极小值 是极大值 在区间上的函数的最大值是 最小值是 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 导数的应用 求函数最值 2 将y f x 的各极值与f a f b 端点处 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 求f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 3 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 三 例题选讲 例1 求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 令 解得x 1 0 1 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 最大值是13 最小值是4 例2 函数y x 3x 9x在 4 4 上的最大值为 最小值为 分析 1 由f x 3x 6x 9 0 2 区间 4 4 端点处的函数值为f 4 20 f 4 76 得x1 3 x2 1 函数值为f 3 27 f 1 5 当x变化时 y y的变化情况如下表 比较以上各函数值 可知函数在 4 4 上的最大值为f 4 76 最小值为f 1 5 求下列函数在指定区间内的最大值和最小值 练习 最大值f 1 3 最小值f 3 61 04浙江文21 本题满分12分 已知a为实数 求导数 若 求在 2 2 上的最大值和最小值 若在 2 和 2 上都是递增的 求a的取值范围 例3 五 小结 1 求在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 求函数的最值时 应注意以下几点 1 要正确区分极值与最值这两个概念 2 在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 内未必有最大值与最小值 3 一
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