高一数学必修一：集合与函数知识点总结.doc

必修一 集合与函数知识点集 合定 义特 征一组对象的全体形成一个集合确定性、互异性、无序性表示法分 类列举法1,2,3,、描述法x|P有限集、无限集 数 集关 系自然数集N、正整数集、整数集Z、有理数集Q、实数集R、空集元素和集合的关系是如集合与集合之间的关系是运 算性 质交集 ABx|xA且xB； 并集 ABx|xA或xB；补集 x|xA且xU，U为全集AA； A； 若AB，BC，则AC；AAAAA； A；AA；ABAABBAB；ACA； ACAI；C( CA)A方 法韦恩示意图 数轴分析注意： 区别与、与、a与a、与、(1,2)与1,2； AB时，A有两种情况：A与A4. 对于任意集合，则 ； 若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空子集的个数是，所有非空真子集的个数是。 若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空子集的个数是，所有非空真子集的个数是。集合知识网络第二章函数1. 函数三要素：（1）解析式 （2）定义域 （3）值域2. 函数定义域的求法： （1）分式的分母不得为零; (2) 偶次方根的被开方数不大于零;（3）对数函数的真数必须大于零; (4) 指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；（5）； （6）抽象函数求定义域： fg(x)的定义域为a,b，指的是x的取值范围为a,b，而不是g(x)的范围为a,b，如f(3x-1)的定义域为1,2，指的是f(3x-1)中的范围是. fg(x)与fh(x)联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同。（7）对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。3. 函数值域的求法：配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型的形式；逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。3、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）增函数： 减函数： 注： 函数上的区间I且x1，x2I.若0（x1x2），则函数f(x)在区间I上是增函数；若0（x1x2），则函数f(x)是在区间I上是减函数。 用定义证明单调性的步骤:设x1，x2M，且；则 作差整理； 判断差的符号； 下结论； 增+增=增 减+减=减 复合函数y=fg(x)单调性:同增异减)奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系）f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。 注:若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(x);若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0. 周期性: 若f(x+T)=f(x)且T0的常数,则T是函数f(x)的周期;若f(x+a)=f(x+b) ，a、b为常数且ab,则b- a是函数f(x)的周期。对称性:若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=对称;( 即:一均二等的原则)若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=对称.你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即y轴),直线y=0(即x轴),原点。函数图象的变换(a0,b0)左加右减上加下减平移变换： 对称变换：(1)y=f(-x) 与y=f(x)关于y轴对称. (2)y=-f(x) 与y=f(x)关于x轴对称.(3)y=-f(-x) 与y=f(x)关于原点对称. (4)与y=f(x)关于直线y=x对称.(5)y=|f(x)| 的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变.（下翻上）(6)y=f(|x|) 的图象：可将y=f(x)，x的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到.（2）y=f(ax)（a0）的图象，可将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到4. 求反函数的步骤：(1) 反解x； （2）对调x,y; （3）写反函数的定义域（即原函数的值域）.注：函数与反函数之间:f-1(a)=bf(b)=a5. 常用的初等函数：一次函数,二次函数,反比例函数, 指数函数,对数函数,的图象和性质(重点掌握!)（1）一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数； 应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程 求闭区间m，n上的最值。 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；（3）反比例函数：(遇y=的函数一般用反比例函数来解决)（4）指数函数： 指数运算法则= ； = ；= ； = 。（5）对数函数： 对数运算法则：logMN= ；log= ；logMn= ；log= ；logMn= ； log=1； log1=0; logb= （换底公式）； =N（对数恒等式）注意：（1）与的图象关系是 ；由图象记性质！ （注意底数的限定！） 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ 由的图象：定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。（7）幂函数（会做=1，2，3，-1的图象）注：图象都过（1，1）点。 在第四象限无幂函数图象。 0时，幂函数在第一象限是增函数。 0时，幂函数在第一象限是减函数。6. 函数与方程：（1）函数的零点方程有实数根函数的图象与x轴有交点。（2）一般地，如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0那么，函数在 (a,b)内有零点，即，使得这个c也就是方程的根。注：解决了存在性问题（有且至少有1个）。 在(a,b)内只有1个零点，说明函数是单调的。 8.