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文档简介

数学归纳法 证明某些与自然数有关的数学题 可用下列方法来证明它们的正确性 1 验证当n取第一个值n0 例如n0 1 时命题成立 2 假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 完成这两步 就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 回顾 例 已知数列计算 根据计算的结果 猜想的表达式 并用数学归纳法进行证明 例 是否存在常数a b 使得等式 对一切正整数n都成立 并证明你的结论 点拨 对这种类型的题目 一般先利用n的特殊值 探求出待定系数 然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立 解 令n 1 2 并整理得 以下用数学归纳法证明 2 假设当n k时结论正确 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也正确 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论正确 1 当n 1时 由上面解法知结论正确 例 比较2n与n2 n n 的大小 注 先猜想 再证明 解 当n 1时 2n 2 n2 1 2n n2当n 2时 2n 4 n2 4 2n n2当n 3时 2n 8 n2 9 2nn2当n 6时 2n 64 n2 36 2n n2猜想当n 5时 2n n2 证明略 例 平面内有n条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明交点的个数f n n n 1 2 说明 用数学归纳法证明几何问题 重难点是处理好当n k 1时利用假设结合几何知识证明命题成立 注 在上例的题设条件下还可以有如下二个结论 1 设这n条直线互相分割成f n 条线段或射线 则 f n n2 2 这n条直线把平面分成 n2 n 2 2个区域 平面内有n条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明这n条直线把平面分成f n n2 n 2 2个区域 作业 组 1 n边形有f n 条对角线 则凸n 1边形的对角线 的条数f n 1 f n 2 设有通过一点的k个平面 其中任何三个平面或三个以上的平面不共有一条直线 这k个平
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