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高中数学必修1 2 1 3函数的简单性质 4 奇函数 偶函数的定义 都有f x f x 则称函数f x 为奇函数 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 都有f x f x 则称函数f x 为偶函数 情境问题 如果函数f x 是奇函数或偶函数 我们就说函数f x 具有奇偶性 反之则说函数不具有奇偶性 奇偶性和单调性都是函数的本质属性 这二者之间有何联系呢 已知函数f x 的定义域为a 若对任意的x a 数学探究 画出函数f x x2 2 x 1图象 通过图象 指出它的单调区间 并判定它的奇偶性 数学应用 例1 已知奇函数f x 在区间 a b 0 a b 上是单调减函数 求证 函数f x 在区间 b a 上仍是单调减函数 若f x 是偶函数 则单调性恰好相反 若f x 是奇函数 则在两个区间上的单调性一致 若 a b 是奇函数f x 的单调区间 则 b a 也是单调区间 数学应用 已知奇函数f x 在区间 a b 0 a b 上的最大值是3 则函数f x 在区间 b a 上最值 该值是 设函数f x 是r上的偶函数 且在 0 上是增函数 则f 2 与f a2 2a 3 a r 的大小关系是 f 2 f a2 2a 3 函数f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且在定义域上是增函数 若f 1 a f 1 a2 0 则实数a的取值范围是 0 a 1 数学应用 已知函数f x 1 是偶函数 则函数f x 的对称轴是 x 1 数学应用 变式 已知函数f x 1 是奇函数 则函数f x 的对称中是 1 0 若函数f x x2 ax b满足对于任意的实数x都有f 1 x f 1 x 且f x 的最小值为 2 求实数a b的值 已知定义域为r的函数f x 在 8 上为减函数 且函数y f x 8 函数为偶函数 则f 2 f 8 f 10 的大小关系为 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 且f x f 2 x 若f x 在区间 1 2 上是减函数 则f x 在区间 2 1 上的单调性为 在区间 3 4 上的单调性为 单调增 数学应用 f 8 f 10 f 2 单调减 例2 已知函数y f x 是r上的奇函数 而且x 0时 f x x 1 试求函数y f x 的表达式 数学应用 练习函数f x x x px p为常数 则 a 对于任何常数p f x 既不是奇函数也不是偶函数b 对于任何常数p f x 是奇函数c 对于任何常数p f x 是偶函数d 只有当p 0时 f x 是奇函数 b 数学应用 例3 已知函数f x 对于任意的实数x y 都有f x y f x f y 1 求f 0 的值 2 试判断函数f x 的奇偶性 3 若x 0都有f x 0 试判断函数的单调性 数学应用 抽象函数是以常见的函数作为模型 赋值是寻找解决抽象函数的突破口 抽象函数常以单调性和奇偶性为考查内容 数学建构 函数性质的运用 用奇偶性确定单调性
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