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平面向量的数量积 2 4 1平面向量数量积的物理背景及其含义 2 4 2平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 定义 一般地 实数 与向量a的积是一个向量 记作 a 它的长度和方向规定如下 1 a a 2 当 0时 a的方向与a方向相同 当 0时 a的方向与a方向相反 已知两个非零向量a和b 作oa a ob b 则 aob 0 180 叫做向量a与b的夹角 o b a 向量的夹角 我们学过功的概念 即一个物体在力f的作用下产生位移s 如图 f s 力f所做的功w可用下式计算w f s cos 其中 是f与s的夹角 从力所做的功出发 我们引入向量 数量积 的概念 定义 a cos b cos 叫做向量a在b方向上 向量b在a方向上 的投影 注意 向量的数量积是一个数量 思考 a b a b cos 当0 90 时a b为正 当90 180 时a b为负 当 90 时a b为零 重要性质 特别地 解 a b a b cos 5 4 cos120 5 4 1 2 10 例2已知 a 5 b 4 a与b的夹角 120 求a b 例3已知a 1 1 b 2 0 求a b 解 a 2 b 2 45 a b a b cos 2 2 cos45 2 a b的几何意义 o 投影 o o 练习 1 若a 0 则对任一向量b 有a b 0 2 若a 0 则对任一非零向量b 有a b 0 3 若a 0 a b 0 则b 0 4 若a b 0 则a b中至少有一个为0 5 若a 0 a b b c 则a c 6 若a b a c 则b c 当且仅当a 0时成立 7 对任意向量a有 二 平面向量的数量积的运算律 数量积的运算律 注 则 a b c on c om mn c om c mn c a c b c o n m a b b a c 向量a b a b在c上的射影的数量分别是om mn on 证明运算律 3 例3 求证 1 a b 2 a2 2a b b2 2 a b a b a2 b2 证明 1 a b 2 a b a b a b a a b b a a b a a b b b a2 2a b b2 证明 2 a b a b a b a a b b a a b a a b b b a2 b2 p116例4 例4 小结 1 2 可用来求向量的模 3 投影 作业 4 已知a b都是非零向量 且a 3b与7a 5b垂直 a 4b与7a 2b垂直 求a与b的夹角 解 a 3b 7a 5b a 4b 7a 2b a 3b 7a 5b 0且 a 4b 7a 2b 0即7a a 16a b 1
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