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数学归纳法 问题1 大球中有5个小球 如何证明它们都是绿色的 模拟演示 问题情境 问题2 某人看到树上乌鸦是黑的 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的 问题3 如果 an 是一个等差数列 怎样得到an a1 n 1 d 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 1 完全归纳法 考察全体对象 得到一般结论的推理方法 2 不完全归纳法 考察部分对象 得到一般结论的推理方法 归纳法 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法 多米诺骨牌演示 2 任意相邻的两块骨牌前一块倒下 一定导致后一块倒下 请思考 满足什么样的条件才能便骨牌全部倒下 1 第一块骨牌倒下 相当验证n n0时等式成立 相当假设n k时等式成立 证明 n k 1时 等式也成立 一个与自然数相关的命题 如果 1 当n取第一个值n0时命题成立 2 在假设当n k k n k n0 时命题成立的前提下 推出当n k 1时命题也成立 那么可以断定 这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立 这种证明方法叫做数学归纳法 数学归纳法 例1用数学归纳法证明 如果 an 是一个等差数列 公差为d 那么an a1 n 1 d对一切n n 都成立 2 假设当n k时 等式成立 即ak a1 k 1 d 那么当n k 1时 ak 1 ak d a1 k 1 d d a1 k 1 1 d 当n k 1时 结论也成立 由 1 和 2 知 等式对于任何n n 都成立 利用假设 结论 从n k到n k 1有什么变化 例题讲解 证明 1 当n 1时 左边 a 右边 a 1 1 d a 当n 1时 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 即 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 那么 这就是说 当n k 1时等式成立 由 1 和 2 可知 等式对任何n n 都成立 例题讲解 用数学归纳法证明 课堂练习 练习1用数学归纳法证明 证明 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 假设当n k时 等式成立 即 那么当n k 1时 这就是说 当n k 1时等式成立 由 1 和 2 可知 等式对任何n n 都成立 由 1 2 得出结论 找准起点奠基要稳 用上假设递推才真 写明结论才算完整 归纳小结 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法 主要有两个步骤 一个结论 缺一不可 先验证当n取第一个值n0 一般取使结论有意义的最小正整数 时结论正确 假设n k时结论正确 推出n k 1时结论也正确 两个步
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