高考数学一轮复习精讲课件 第9单元第54讲 空间距离及其计算、折叠问题 湘教版 .ppt

第54讲空间距离及计算 折叠问题 1 了解空间各种距离的概念 掌握求空间距离的一般方法 2 能熟练地将直线与平面之间的距离 两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离 3 了解折叠问题的基本内涵 掌握分析求解折叠问题的基本原则 1 在长方体abcd a1b1c1d1中 若ab bc a aa1 2a 则点a到直线a1c的距离为 c a ab ac ad a 解析 如图 点a到直线a1c的距离 即为rt a1ac斜边上的高ae 由ab bc a 得ac a 又aa1 2a 所以a1c a 所以ae a 2 在正三棱柱abc a1b1c1中 若ab 2 aa1 1 则点a到平面a1bc的距离为 b a b c d 解析 取bc的中点m 连接am a1m 可证平面a1am 平面a1bc 作ah a1m 垂足为h 则ah 平面a1bc 在rt a1am中 aa1 1 am a1m 2 故ah 3 如图 四边形abcd中 ad bc ad ab bcd 45 bad 90 将 abd沿bd折起 使平面abd 平面bcd 构成几何体abcd 则在几何体abcd中 下列命题中正确的是 d a 平面abd 平面abcb 平面adc 平面bcdc 平面abc 平面bcdd 平面adc 平面abc 解析 由已知ba ad cd bd 又平面abd 平面bcd 所以cd 平面abd 从而cd ab 又ba ad 故ab 平面adc 又ab 平面abc 所以平面abc 平面adc 4 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为a e f分别是b1c1 bb1的中点 则 1 直线ef与平面d1ac1的距离是 2 平面ab1d1与平面c1bd间的距离是 解析 1 易知ef 平面d1ac1 过e作eh bc1h 因为d1c1 平面bb1c1c 所以d1c1 eh 故eh 平面d1ac1 从而ef与平面d1ac1的距离为eh a 2 因为平面ab1d1 平面c1bd 连接a1c 设a1c分别与平面ab1d1和平面c1bd交于o1 o2 则为所求距离 且o1o2 a1c a 一 空间距离1 两点间的距离 连接两点的 的长度 2 点到直线的距离 从直线外一点向直线引垂线 的长度 3 点到平面的距离 自点向平面引垂线 的长度 4 平行直线间的距离 从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线 的长度 线段 点到垂足之间线段 点到垂足间线段 点到垂足间线段 5 异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度 6 直线与平面间的距离 如果一条直线和一个平面平行 从这条直线上任意一点向平面引垂线 的长度 7 两平行平面间的距离 夹在两平行平面之间的 的长度 线段 这点到垂足间线段 公垂线段 二 求距离的一般方法与步骤 一 传统方法1 两点间距离 点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题 可用 求解 2 平行直线与平面间的距离 平行平面间的距离可归结为求 的距离 3 求距离的基本步骤是 找出或作出有关距离的图形 证明它符合定义 在平面图形内计算 平面几何方法 点面间 三 折叠问题1 概念 将平面图形沿某直线翻折成立体图形 再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算 就是折叠问题 2 折叠问题分析求解原则 1 折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系 2 折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持 不变 题型一用基本法求空间距离 评析 点到平面的距离是有关距离的重点 它主要由两种方法求得 1 用定义直接作出这段距离 经论证再计算 即 找 作 证 算 2 等积法 转化为锥体的高 用锥体的体积公式求解 题型二用向量法求空间距离 则 评析 由上可知 用向量求立体几何中有关距离的问题 不但可以减少一些辅助线的添加 而且求解简捷 利用向量法求点到平面的距离的步骤如下 1 求出该平面的一个法向量n 2 找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a 3 利用公式d 求距离 题型三折叠问题 例3在直角梯形abcd中 d bad 90 ad dc ab a 如图 将 adc沿ac折起 使d到d 记平面acd 为 平面abc为 平面bcd 为 如图 1 若二面角 ac 为直二面角 求二面角 bc 的大小 2 若二面角 ac 为60 求三棱锥d abc的体积 解析 1 在直角梯形abcd中 由已知 dac为等腰直角三角形 所以ac a cab 45 过点c作ch ab 由ab 2a 可推得ac bc a 所以ac bc 取ac的中点e 连接d e 则d e ac 又二面角 ac 为直二面角 所以d e 又因为bc 平面 所以bc d e 所以bc 而d c 所以bc d c 所以 d ca为二面角 bc 的平面角 由于 d ca 45 所以二面角 bc 的大小为45 2 取ac的中点e 连接d e 再过点d 作d o 垂足为o 连接oe 因为ac d e 所以ac oe 所以 d eo是二面角 ac 的平面角 所以 d eo 60 在rt d oe中 d e ac a d o sin60 d e a 所vd abc s abc d o ac bc d o a a a a3 评析分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系 在求解过程中充分利用不变量和不变关系 素材3如图 已知四边形abcd是上 下底边长分别为2和6 高为3的等腰梯形 如图 将它沿对称轴oo1折成直二面角 如图 1 证明 ac bo1 2 求二面角o ac o1的正弦值 解析 方法1 1 证明 由题设知 oa oo1 ob oo1 所以 aob是所折成的直二面角的平面角 即oa ob 从而ao 平面obco1 oc是ac在面obco1内的射影 因为tan oo1b tan o1oc 所以 oo1b 60 o1oc 30 从而oc bo1 由线面垂直得ac bo1 2 由 1 知 ac bo1 oc bo1 知bo1 平面aoc 设oc o1b e 过点e作ef ac于f 连接o1f 则ef是o1f在平面aoc内的射影 由线面垂直得ac o1f 所以 o1fe是二面角o ac o1的平面角 由已知 oa 3 oo1 o1c 1 所以o1a 2 ac 从而o1f 又o1e oo1 sin30 所以sin o1fe 方法2 1 证明 由题设知oa oo1 ob oo1 所以 aob是所折成的直二面角的平面角 即oa ob 故可以o为原点 oa ob oo1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如右图 则相关各点的坐标是 2 因为 3 0 所以bo1 oc 由 1 知ac bo1 ac oc c 所以bo1 平面oac 所以是平面oac的一个法向量 设n x y z 是平面o1ac的一个法向量 n 0 3x y z 0n 0y 0 由 得 取z 得n 1 0 设二面角o ac o1的大小为 由n 的方向可知 n 所以cos cos n 则sin 即二面角o ac o1的正弦值为 n 1 对于空间中的距离 我们主要研究点到平面的距离 直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离 其重点是点到直线 点到平面的距离 点到平面的距离要注意其作法 一般要利用面面垂直的性质来做 求点到平面的距离也可以用等体积法 2 求距离传统的方法和步骤是 一作 二证 三计算 即先作出表示距离的线段 再证明它是所求的距离 然后再计算 其中第二步证明易被忽略 应当引起重视 3 用向量法求距离 方便快捷 应注意掌握 一般转化为点面距离后 按如下步骤操作 1 求出平面的法向量n 2 找出以该点及面内某点为端点的线段对应的向量a 3 代入