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张驰有度，收放自如例谈放缩法证不等式江苏省启东中学 张 杰所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。本文例谈运用放缩法证题。引例：已知，求证:本例中左边不等号显然成立，关键是如何证右边的不等式！观察本题特征，为分式形式，联想到，所以考虑对通项进行放缩，即由，得，由此得，即原不等式成立。 对于分式，通常利用的恒等变换结论，将其每项“一分为二”成二数之差的形式,从而 “裂项相消”。上述引例中，根据时，有，其结论还可加强为： 根据上述引例，我们再谈下列例题：例1.已知函数（1）求证:当时，不等式恒成立；（2）求证: ()分析:本题第(1)小题含有对数函数,属超越函数范畴,主要通过导数法证原函数单调性后,求其在确定的区间上的最值,从而证得不等式成立;而第(2)小题是不等式，欲证其成立，可通过两边“取对数”的方法进行化归，其间利用第(1)题的结论,放缩法是解决问题的最佳方法.证明: (1)记,则得在上单调递增,从而,得不等式恒成立；(2) 由(1)得,所以, , , ,上述不等式叠加得,即,从而,所以成立.点评:从解析过程知,本题第(2)小题通过两次放缩,第一次是为了将分数凑成如的形式,第二次是通过求和后再放缩,去掉小数部分.如放弃第一次放缩,则得,就不能通过“裂项相消法”化简计算了.如将本题题干中的函数修改为,则仿照上述过程，可将第(2)小题的结论加强为, (). 例2. 已知数列满足，求证：分析:欲证不等式中已含有形如的分式，但不完全如此！即，因此第一步考虑如何将进行适当的放缩后化成常数，这可根据已知条件中给出的递推公式进行。证明：由条件可知数列的各项均为正数，故由基本不等式得，若，则，这与已知条件矛盾.所以，从而，其中，因上述两个不等式中等号不可能同时成立，故于是，因，故，得点评：数列求和中不等关系证明的两种方法：1.每一项转化为两项差，求和后消去中间项（裂项法）与放缩法的结合；2.用放缩法转化为等比数列求和。本题技巧性较强,经过了三次放缩，关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。第一次是利用基本不等式，将转化为常数，在此步骤中，因两不等式中的等号不可能同时成立，所以，两式相乘后不取等号，这一过程是易错之处，必须加以警示！第二次是通过裂项相消后，对进
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