数学建模_统计回归模型.doc

第6组：潘光松，刘博，杜晶习题10-6问题：某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量，表中给出了19771981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）（1） 画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。（2） 建立公司销售额对全行业的回归模型，并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。（3） 建立消除了随机误差项自相关性之后的回归模型。分析与假设：表中的数据是以时间为顺序的。由于前期的销售额对后期的投资一般有明显的影响，从而对后期的后期的销售额造成影响。因此在此模型中因考虑到出现自相关型时，建立新的回归模型。记公司公司的销售额为y，全行业的销售额为x,利用x来建立y的预测模型。基本回归模型：为了大致分析y和x的关系，首先利用表中的数据作出y对x关系作出散点图，如下（见图中的+）：做散点图：x=A(:,2); y=A(:,1); plot(x,y,+)图一从图一中可以看出，随着x的增加,y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型，因此可建立一元线性回归模型 y=0+1x+ (1)拟合的（其中是随机误差），这里假设（对t相互独立）且服从N(0, ).根据表中的数据，对模型（1）直接利用matlab统计工具箱求解、算法如下：xx=ones(20,1),x;b,bint,r,rint,stats=regress(y,xx);hold on;yy=b(1)+b(1)*x;plot(x,yy)hold off;得到的回归系数估计值及其置信区间（=0.05），检验统计量R,F,P的结果如表1：参数参数估计值参数置信区间0-1.4548 【-1.9047 -1.0048】10.1763【0.1732 0.1793】R=1.0e+004 *0.0001F=1.0e+004 *1.4888P=1.0e+004 *0.0000 表1 模型（1）的计算结果 将参数的估计值带入（1）中得到yy=-1.4548+0.1763*x (2)用matlab中的restool命令得到的交互式画面见图2，由此可以得出不同水平下的预测值及其置信区间。通过左下方的Export下拉式菜单。可以输出模型的统计结果。rstool(x,y) 得出y1= 24.569+/-0.051307 当x=147.625时且通过Export下拉菜单可得出beta 0=-1.4548，beta1=0.1763rmse(剩余标准差)= 0.086056图二自相关性诊断与处理方法 从表面上来看得到的基本模型（2）拟合度非常高，接近你100%，应该很满意了，但是这个模型并没有考虑到我们的数据是一个时间序列（将原表中的数据打乱不影响，模型（2）的结果）。实际上对于时间序列数据做回归分析时，模型的随机误差有可能存在相关性，违背模型 关于（对时间t）相互独立的基本假设，其他相关因素对公司销售额的影响肯能也有时间上的延续，即误差会出现自相关性。 残差e=y-yy, yy 为估计值e可作为随机误差的估计值，画出e e的散点图，能够直观的判断的自相关性，模型（2）的残差可在计算过程中得到表2，以及数据e e的图见图3做残差图：plot(x,r,+)t12345e-0.0282-0.06420.01980.16160.0443t678910e0.04410.0412-0.0608-0.0968-0.1516t1112131415e-0.1505-0.0555-0.02550.10330.0828t1617181920e0.10340.02630.0395-0.047-0.0359表2为了对的字相关性做定量的诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑如下模型y=0+1x+，=P+u,其中p是自相关系数，|p|0，则随机误差存在正的自相关；若p0，则随机误差存在负的自相关。利用D-W检验诊断自相关现象如下：e=y-yy;ee=e(2:20,:);eee=e(1:19,:);y0=sum(ee-eee).2);y1=sum(ee.2);DW=y0/y1;p=1-0.5*DW;算出y0 = 0.0980 y1 = 0.1326DW = 0.7388 p = 0.6306因为DW2（1-p），所以 0DW4,若p的估计值在0附近，则DW的值在2附近，的自相关行很弱，若p在正负1附近，则DW接近0或4，的自相关性很强。加入自相关后的模型利用表2给出的残差e,根据以上式子可得出DW=0.7388，对于显著性水平=0.05，n=20,k=2,查D-W分布表，得到检验的临界值dL=1.2和dU=1.4.现在DWdL,因此可以认为随即误差存在正自相关，且p可得出=0.6306。以p的估计值带入（3）和（4）做变换，利用变换后的数据y4,x4估计模型(5)的参数，得到的表见表3，还可以得出剩余标准差rmse=0.08828.y2=y(2:20,:)y3=y(1:19,:)x2=x(2:20,:);x3=x(1:19,:);参数参数估计值参数置信区间0-0.3951 -0.7481 -0.042210.1738【0.1675 0.1800】R=1.0e+003 *0.0010F=1.0e+003 *3.4621P=1.0e+003 *0.0000y4=y2-y3*p; （3）x4=x2-x3*p（4）yyy= y=0+1x+u, 0=0(1-p) (5)b1,bint1,r1,rint1,stats1=regress(y4,ones(19,1),x4); 最后将模型（5）的变量还原为原始变量。得到的结果如下yyy=-0.3951+0.6306*y3+0.1738*x2-0.1096*x3;表3结果极其预测 从机理上看，加入自相关的模型（5）更为合理。将原表中的数据和得到的两个新的模型进行比较，可以得到如下表。以及下图e1=yyyy-yyy;t=2:20;subplot(1,2,1);plot(y2,yyy,+)hold on;yyyy=yy(2:20,:);plot(y2,yyyy,o)hold off;subplot(1,2,2);plot(t,ee,+)hold on;plot(t,e1,o) ty(实际数据)yy(模型1)yyy（模型2）eee1221.421.46421.464-0.06424.00E-06321.9621.9421.9150.019790.02521421.5221.35821.3990.16158-0.04026522.3922.34622.4560.0443-0.11047622.7622.71622.7560.04407-0.04008723.4823.43923.4720.04124-0.033823.6623.72123.755-0.06084-0.03367924.124.19724.162-0.096850.0349341024.0124.16224.109-0.151590.052891124.5424.6924.595-0.150490.0952241224.324.35624.27-0.055520.085056132525.02524.988-0.025460.037661425.6425.53725.5170.103270.019971526.3626.27726.3320.08281-0.055271626.9826.8