绝对值不等式与柯西不等式.doc

绝对值不等式与柯西不等式一、 基础训练1【题文】设，且，则的最小值为_.【答案】试题分析：由柯西不等式得：，所以，得，所以，故答案为.考点：柯西不等式.2【题文】，若，则的取值范围为_.【答案】【解析】试题分析：因为，当且仅当取等号，所以，又，所以，因此的取值范围为.考点：含绝对值不等式的性质3【题文】(1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】试题分析：因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.考点：含绝对值不等式性质4【题文】不等式的解集为 .【答案】.【解析】试题分析：令，则，（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，此时不等式无解；（3）当时，由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为.【考点定位】本题考查含绝对值不等式的求解，属于中等题.5【题文】（本小题满分7分）选修45：不等式选将已知定义在R上的函数的最小值为.（I）求的值；（II）若为正实数，且，求证：.【答案】（I）;（II）参考解析【解析】试题分析：（I）已知定义在R上的函数的最小值,由绝对值的性质可得函数的最小值.即可得到结论.（II）由（I）可得,再根据柯西不等式即可得到结论.试题解析：（I）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.（II）由（I）知,又因为是正数,所以,即.考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.6【题文】设函数，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）不等式变形为，然后分类讨论去绝对号解不等式得不等式解集；（2）解不等式，得故当时，此时代入中为二次函数，求其最大值即可（1）当时，由得故；当时，由得，故所以的解集为（2）由得，故当时，故考点：1、绝对值不等式解法；2、二次函数最值7【题文】若函数的最小值3，则实数的值为（ ）A5或8B或5C或D或【答案】D【解析】试题分析：由题意，当时，即，则当时，解得或（舍）；当时，即，则当时，解得（舍）或；当时，即，此时，不满足题意，所以或，故选D.考点：1.绝对值函数的最值；2.分类讨论思想应用.【题文】设函数（1）证明：；（2）若，求的取值范围【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由绝对值三角不等式得，由结合基本不等式得，故；（2）由，得关于的不等式，去绝对号解不等式即可（1）由，有，所以（2）当时，由得当时，由得综上，的取值范围是考点：1、绝对值三角不等式；2、基本不等式；3、绝对值不等式解法8【题文】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：令，其图象如下所示（图中的实线部分）由图可知：由题意得：，解这得:所以答案应填：考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.9【题文】设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以 ，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.10题号：2162181，题型：填空题，难度：一般标题/来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷带解析），日期：2014/6/20【题文】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即因为关于的二次方程有实根，所以，可得，取最大值时，或，当时，当时，综上可知当时，法二：柯西不等式：由可得：，当且仅当时取等号，即时，取等号，这时或当时，当时，综上可知当时，考点：柯西不等式. 11【题文】已知，则满足且 的概率为 .【答案】【解析】试题分析：因为满足且 的平面区域是一个矩形，面积为，而圆的半径为2，面积为，根据古典概型公式得所求的概率为.考点：古典概型,简单的线性规划，圆的面积公式.12【题文】设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是 ，此时a+b+c= .【答案】 【解析】试题分析：由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是 ，此时 .考点：柯西不等式.13【题文】若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是 。【答案】【解析】试题分析：解：不等式至少有一个正解等价于不等式在内有解，令，当时，在同一坐标系中画出函数和的图象如图一所示，由题意知即当时，在同一坐标系中画出函数和的图象如图二所示，由题意知方程组有两组不同的解，消去得，由得：，即综上：，所以答案应填考点：1、含绝对值的不等式；2、等价转化与数形结合的思想.14【题文】不等式对任意实数恒成立，则正实数的取值范围 .【答案】 【解析】试题分析：因为不等式对任意实数恒成立，所以，利用绝对值的几何意义可知（当且仅当时等号成立），从中求解得到或，而，所以.考点：1.恒成立问题；2.绝对值的三角不等式；3.二次不等式.15【题文】已知函数（1）解不等式；（2）若不等式 , 都成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）-1m2, 则关于实数x的不等式的解集是 . 【答案】R【解析】考察绝对值不等式的基本知识。，函数的值域为：.所以，不等式的解集为R。29【题文】在实数范围内，不等式的解集为_.【答案】【解析】因此解集为.考点：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运用能力.30【题文】若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 【答案】【解析】先确定的取值范围，再使得能取到此范围内的值即可当时，；当时，；当时，；综上可得，所以只要，解得或，即实数的取值范围是31【题文】设不等式|x2|a(aN*)的解集为A,且A,A.(1)求a的值;(2)求函数f(x)=|x+a|+|x2|的最小值.【答案】（1）1（2）3【解析】(1)因为A,且,所以|2|a,且|2|a,解得1.(1)当a=2时,求不等式f(x)4|x4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.【答案】(1)x|x1或x5.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x4|=当x2时,由f(x)4|x4|得2x+64,解得x1;当2x4时, f(x)4|x4|无解;当x4时,由f(x)4|x4|得2x64,解得x5;所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5.(2)记h(x)=f(2x+a)2f(x),则h(x)= 由|h(x)|2,解得x又已知|h(x)|2的解集为x|1x2.所以=1且=2于是a=3.33【题文】在实数范围内,不等式的解集为.【答案】0,4【解析】由绝对值的性质知：|x2|1|11|x2|110|x2|22x220x434【题文】已知关于x的不等式（其中）（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数的取值范围【答案】（1）x|4x；（2）【解析】试题分析：本题主要考查对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，先将a=4代入，得到，然后用零点分段法解绝对值不等式，分情况讨论，解不等式组；第二问，将不等式有解转化为，用零点分段法将绝对值去掉，转化成分段函数，结合图形，求出函数的最小值，代入到所转化的表达式中，利用对数函数的单调性解对数不等式（1）当a=4时，不等式即|2x+1| |x 1|2，当x时，不等式为 x 22， 解 得4x；当x1时，不等式为 3x2，解得x ；当x1时，不等式为x+22，此时x不存在综上，不等式的解集为x|4x 5分（2）设f（x）=|2x+1| |x 1|= 故f（x）的最小值为，所以，当f（x）log2a有解，则有，解得a，即a的取值范围是。 10分考点：对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法35【题文】已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是_。【答案】 【解析】试题分析：解：由关于x的不等式的解集不是空集得：即a的最小值是，所以答案应填考点：1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法36【题文】已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对值符号，并求出相应的不等式；（2）将问题转化为，利用双绝对值函数的最小值为，于是得到，问题转化为来求解，解出不等式即可.（1）由得，或，或，解得：或，原不等式的解集为；（2）由不等式的性质得：， 要使不等式恒成立，则，解得：或所以实数的取值范围为.考点：1.零点分段法求解不等式；2.不等式恒成立37【题文】函数（1）若，求函数的定义域；（2）设，当实数，时，求证：【答案】（1）或;（2）参考解析【解析】试题分析：（1）由，绝对值的零点分别为-1和-2.所以通过对实数分三类分别去绝对值可求得结论.（2）由（1）可得定义域A.又，当实数，所以可以求得实数，的范围. 需求证：，等价于平方的大小比较，通过求差法，又即可得到结论.（1）由解得或 5分（2），又及， 10分考点：1.绝对值不等式.2.求差法比较两个数的大小.38【题文】若，则函数的最大值为 【答案】【解析】试题分析：，考点：柯西不等式39【题文】若不等式恒成立，则的取值范围为 【答案】 【解析】试题分析：因为（当且仅当即时等号成立），不等式恒成立即，所以的取值范围为.考点：绝对值不等式.40【题文】对于实数，若，则的最大值为（ ）A4B6 C8D10【答案】B【解析】试题分析：因为又因为，可得，故选B.考点：绝对值不等式.41【题文】函数，若不等式的解集为，则实数的值为 .【答案】3【解析】试题分析：将代入得且，解之得.再将代入得其解集为，故.考点：不等式选讲.42【题文】若存在实数使成立，则实数的取值范围_【答案】【解析】由又因为存在实数使成立则，则【考点】绝对值不等式；存在性问题.43【题文】已知，且求证：【答案】详见解析【解析】试题分析：由柯西不等式得试题解析：因为， 8分当且仅当，即时，取等，所以 10分考点：利用柯西不等式证明（难题）43【题文】已知，求证【答案】详见解析【解析】试题分析：利用分析法或作差法证明不等式. 即，而显然成立，【证明】因为，所以，所以要证，即证 即证， 5分即证， 而显然成立，故 10分考点：不等式相关知识44【题文】若不等式的解集为，则的取值范围为_;【答案】【解析】试题分析：令，则；若不等式的解集为，则的取值范围为.考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题.45【题文】若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是ABCD【答案】C【解析】试题分析：不等式对于一切非零实数均成立.由.所以.解得.故选C.考点：1.绝对值不等式.2.恒成立问题.45【题文】已知，且，求的最小值【答案】1.【解析】试题分析：观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件化为，此时，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，或时，等号成立，从而可得的最小值为1.试题解析：, , , ， 当且仅当，或时的最小值是1. 考点：柯西不等式.46【题文】已知函数（1）求的解集；（2）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、分段函数图象、直线图象等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力和数形结合思想.第一问，先将被开方数写成完全平方式，开方需要加绝对值，解绝对值不等式，利用零点分段法去掉绝对值符号，解不等式组；第二问，“对任意的都成立”转化为“的图象恒在图象的上方”利用零点分段法将绝对值去掉，转化成分段函数，画出分段函数图象，而恒过（3,0）点，将的直线绕（3,0）点旋转，找出符合题意的位置，得到k的取值范围.试题解析：（1）即或或解得不等式：；：无解：所以的解集为或 5分（2）即的图象恒在图象的上方图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，由图可知，要使得的图象恒在图象的上方实数的取值范围为 10分考点：绝对值不等式的解法、分段函数图象、直线图象.47【题文】已知函数. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：，即的最小值等于4，所以，解此不等式得或. 故实数的取值范围为3，5.考点：含绝对值的不等式性质48【题文】若实数a，b，c，d满足，则a的最大值为 【答案】2【解析】试题分析：由柯西不等式可得：，所以由条件可得：，解得，a的最大值是2.考点：柯西不等式49【题文】设a,b,c,dR,若a+d=b+c,且|a-d|b-c|,则有()Aad=bcBadbcDadbc【答案】C【解析】选C.|a-d|b-c|(a-d)2(b-c)2a2+d2-2adb2+c2-2bc,又因为a+d=b+c(a+d)2=(b+c)2a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,所以-4adbc.50【题文】解不等式|x-1|+|x-2|5.【答案】(-,-1)(4,+)【解析】根据绝对值的几何意义,|x-1|表示数轴上的点x到点1的距离,|x-2|表示数轴上的点x到点2的距离,所以不等式的解集为数轴上到1的距离与到2的距离的和大于5的实数的集合,所以不等式的解集为(-,-1)(4,+).51号：2075407，题型：解答题，难度：困难标题/来源：2013-2014学年人教A版高中数学选修4-5课时提升1-2练习卷（带解析），日期：2014/5/11【题文】已知实数a,b满足:关于x的不等式|x2+ax+b|2x2-4x-16|对一切xR均成立.(1)请验证a=-2,b=-8满足题意.(2)求出所有满足题意的实数a,b,并说明理由.(3)若对一切x2,均有不等式x2+ax+b(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)见解析 (2)a=-2,b=-8，理由见解析 (3) (-,2【解析】(1)当a=-2,b=-8时,有|x2+ax+b|=|x2-2x-8|2|x2-2x-8|=|2x2-4x-16|.(2)在|x2+ax+b|2x2-4x-16|中,分别取x=4,x=-2,得,所以,所以a=-2,b=-8,因此满足题意的实数a,b只能是a=-2,b=-8.(3)由x2+ax+b(m+2)x-m-15(x2),所以x2-2x-8(m+2)x-m-15,即x2-4x+7m(x-1),所以对一切x2,均有不等式m成立,而=(x-1)+-22-2=2(当且仅当x=3时等号成立),所以实数m的取值范围是(-,2.52【题文】已知aR,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A.(2)若A=R,求a的取值范围.【答案】(1)A=x|x0,x2 (2)a-2【解析】(1)当x-3时,原不等式为-3x-22x+4,得x-3,当-3x时,原不等式化为4-x2x+4,得-3时,3x+22x+4,得x2,综上,A=x|x0,x2.(2)当x-2时,|2x-a|+|x+3|02x+4成立.当x-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+32x+4,得xa+1或x,所以a+1-2或a+1,得a-2.综上,a的取值范围为a-2.53【题文】在实数范围内,不等式|x-2|-1|1的解集为.【答案】0,4【解析】【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.解：由绝对值的意义,|x-2|-1|1等价于0|x-2|2,即-2x-22,即0x4.54【题文】已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)m+1的解集为R,求m的取值范围.【答案】(-,-3【解析】【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,解：因为xR,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,于是有m+1-2,得m-3,即m的取值范围是(-,-3.55【题文】已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|1.求证:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).【答案】见解析【解析】证明：|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|x+a-1|x+a-1|=|x-a+2a-1|x-a|+|2a-1|1+|2a|+1=2(|a|+1),所以|f(x)-f(a)|2(|a|+1).56【题文】已知f(x)=3x+1,若当|x-1|b时,有|f(x)-4|a,a,b