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物理光学作业习题答案第一章光波的基本性质（1）作业习题1、试说明下列各组光波表达式所代表的偏振态。x=osin（t-kz），y=ocos（t-kz）x=ocos（t-kz），y=ocos（t-kz+）x=osin（t-kz），y=-osin（t-kz）解：（1），超前 ，为右旋圆偏振光（2），超前 且， 为右旋椭圆偏振光，长轴在y=x方向上 （3）， ， 为线偏振光，振动方向为y=-x2、试证明：频率相同，振幅不同的右旋与左旋圆偏振光能合成一椭圆偏振光。 证明：令左旋圆偏振光为，右旋圆偏振光为：， 且为左旋椭圆偏振光。3、把一根截面是矩形的玻璃棒（折射率为1.5）弯成马蹄形，如图所示。矩形宽为d，弯曲部分是一个圆，内半径是R。光线从一个端面正入射。欲使光线从另一端面全部出射，R/d应等于多少？解：要使光线全部射出，则要求在棒内光线传播为全反射。当入射点从B点入射，则在外界面上的入射角为，当入射点从B点向A点移动时，外界面上的入射角从变为。如果满足全反射,则从B点到A点的入射光皆满足全反射，可以从另一端全部出射。全反射条件为当时，所有的光线可发生全反射而从另一端射出。于是有 取=时,即B点以外的入射角均大于，而， 4、若入射光线是线偏振光，入射角为，其振动面与入射面间的夹角为。试证：这时空气和玻璃的分界面上，反射光仍然是线偏振光，并求其振动面和入射面间的夹角以及振动面的旋转方向。证明：（1）求布鲁斯特角，由非涅耳曲线可知，r0 r0则入射光平行分量与反射光平行分量同相位即入射光垂直分量与反射光垂直分量反相位由于入射光为线偏振光令有,也为线偏振光.解:(2)反射光的方位角为，, 折射定律, ,因此振动面沿逆时针背离入射面。5、欲使线偏振光的激光束通过红宝石棒时，在棒的端面上没有反射损失，则棒端面对棒轴倾角应取何值？光束入射角1等于多少？入射光的振动方向如何？已知红宝石的折射率为n=1.76。光束在棒内沿棒轴方向传播。解：要想没有反射损失，则光沿布鲁斯特角入射，即， 并且，入射光的振动方向平行入射面无垂直分量 由于是布鲁斯特角入射，则入射角与折射角互余。6、试证明琼斯矢量表示的椭圆偏振光，其主轴与X轴夹角为tan1证明： 由已知 即 （2）讨论习题1、如图用棱镜是光束方向改变，要求光束垂直于棱镜表面射出，入射光是平行于纸面振动的HeNe激光（波长=3628）。问，入射角i等于多少时，透射光为最强？并由此计算此棱镜底角应磨成多少？已知棱镜材料的折射率n=1.52。若入射光是垂直纸面振动的HeNe激光束，则能否满足反射损失小于1%的要求？解：要使透射光最强则要求反射光最弱，则光沿布鲁斯特角入射，由折射定律可求出=33.340因为出射光垂直于棱镜表面，所以由几何关系可知， 若入射光垂直于纸面振动，则无法满足反射损失小于1%的要求。2、下图是激光技术中用以选择输出波长的方法之一。它是利用在入射面内振动的光，在布鲁斯特角入射时反射光强为零，以及布鲁斯特角的值与波长有关的这些事实，使一定波长的光能以最低损耗通过三棱镜而在腔内产生振荡，其余波长的光则因损耗大而被抑制不能振荡，从而达到选择输出波长的目的。现欲使波长为6328的单色线偏振光通过三棱镜而没有反射损失，则棱镜顶角应取多大？棱镜应如何放置？设棱镜材料的折射率为n=1.457。解：在入射面内振动的光 且当入射角时 光全部透射无反射损失。所以应使从激光管出来的光束与棱镜表面夹角为55.540（3）思考题一观察者站在水池边观看从水面反射来的太阳光，若以太阳光为自然光，则观察者所看到的反射光是自然光，线偏振光还是部分偏振光？它与太阳的位置有什么关系？为什么？答：（1）当入射角时，反射光为线偏振光，因此时 即当时反射光为线偏振光。（2）当反射光为自然光。（3）其他角度时，反射光为部分偏振光。（4）课程论文查阅相关文献后，写一篇利用光的偏振态实现光学传感的论文。第二章光的干涉（1）作业习题1、利用牛顿环的干涉条纹可以测定凹曲面的曲率半径。方法是把已知半径的平凸透镜和凸面放在待测的凹面上，在两镜面间形成空气隙，可以观察环状的干涉条纹。如图，试证明第m个暗环的半径rm和凹半径R2 凸半径R1以及光波波长之间的关系为 。 解：如图所示 又 第m个暗环有 有 对于空气隙 2、将迈克耳逊干涉仪调到能看到定域在无穷远干涉条纹，一望远镜焦距为40厘米，在焦平面处放有直径为1.6厘米的光阑，两反射到半镀银镜的距离分别为30厘米和32厘米，问对的入射光波，在望远镜中能看到几个干涉条纹？解： 用迈克耳逊干涉仪看到的圆干涉条纹为等倾干涉 等倾干涉 为第N环的光束入射角 是纯小数 且 可以忽略 即可以看见14条条纹3、一束准直的白光正入射到一块折射率为n，厚度为d的玻璃板上，推导出作为波长函数的透射比公式，并证明透射比最大值落在的波长处，式中为真空中的波长，N为整数。（透射函数是周期性的，用波数或频率表示，称之为“沟槽光谱。）（。式中，为光在真空中的波长。）解： 平行平板多光束干涉的光强分布公式： （1） 为相邻两透射光相位差 其中 （2） R为平板表面的反射率=r2正入射时反射率 （3）代如（2）中，得入射光和反射光形成干涉附加光程差为d，因平行平板厚度不变为d，所以 正入射 （4）将（2）（3）（4）代入（1）中得：透射比最大时，因n为定值，所以当（N为整数时）这时T最大由（4）式 即又 真空中的波长。即 的波长处为透射比最大。4、已知一组法布里-珀罗标准具的间距分别为1毫米，60毫米和120毫米，对于微米的入射光而言，求其相应的标准具常数。如果某一激光器发出的激光波长为6328纳米，波长宽度为0.001纳米，测量其波长宽度时应选用多大间距的法布里-珀罗标准具？解：（1）标准具常数 （2） 5、将法布里-珀罗标准具置于密封容器中，然后在容器内充以压强为P的气体。设气体的折射率是压力的线性函数，k为气体有关的常数。对于空气，k=2.68103帕-1（=3.5710-1乇-1）改变压强P可实现波长扫描。试证明：。证： 对于空气 （1）只有满足这个条件的入射光才可通过仪器实现对波长的扫描上式两边微分： （2）由（1）式可知 p=0时，（2）讨论习题1、在平晶面和凸球面组成的牛顿环干涉装置中，如图，如果把平晶面拉开，平移一小段距离，则等厚干涉环怎样变动（包括中心强度，环的收缩和扩大，环的疏密）？说明理由。解：（1）原光程差 n=1.0 且=0 =2 平面镜移开h0后，即h到h+h0处 光程差变为 设h0=0时，r处为m级干涉亮条纹 即： 其中， m=0，1，2 （差 差2 原一条亮条纹变为另一个亮条纹 h差）当：时 则 以上说明： 当 h0=0时 r处是m级干涉亮条纹 时 r处是（m+1）级干涉亮条纹由于 =2=m h=0处即中心处的干涉极次最小当r 干涉极次m rm+1 rm当h0 由h0=0到过程中，m+1级条纹向内收缩，收缩到原来的m级条纹的位置r处。 h0在增大过程中，干涉条纹向内收缩。（2）=m m=0，1，2为干涉亮条纹当：h0=0时为干涉极次最小的亮条纹（设一级亮条纹）对应的厚度为h = 当：时 显然不存在 m=1的一级条纹消失了，而二级条纹占据了一级条纹的位置 即 同h0=0时，m=1时对应的h一样，也就是说当厚度由h时 m=1m=2 而一级条纹消失，如果在r处的是m级条纹（在h0=0时）即在0r内有m条亮条纹；当时，m+1级占据了m级的位置。2 级占据1级的位置，而1级条纹消失 ，所以在0r内仍有m条亮条纹即条纹间距不变。（3）中央条纹： 当h=0时为中央条纹的光程差 当 h0=0时 = cos= -1 为暗条纹当 时 =2 cos= 1 为亮条纹 h0 即会发生周期性的明暗变化。2、如果玻璃板是由两部分组成（冕牌玻璃n=1.50和火石玻璃n=1.75），如图，平凸透镜是用冕牌玻璃制成的，而透镜与玻璃板之间的空间充满着二硫化碳（n=1.62）这时牛顿环是何形状？解：右边 ：n1=n2小角度入射有半波损失 当 h=0时对应的是中央条纹 为暗条纹 右边中央条纹为暗条纹 第m个暗条纹的光程差为 m=0，1，2 （第m个暗条纹的半径）左边： 无半波损失 中央条纹为h=0时 =0时应为亮条纹第m个亮条纹光程差为 m=0，1，2 （第m个亮条纹的半径）可见，右边第m个暗环恰是左边第m个亮环（3）思考题1、多光束叠加与双光束叠加的计算方法和计算结果有什么差别？多光束干涉的主要特点是什么?决定多光束干涉条纹强度分布的主要原因是什么？这些因素怎样影响条纹的强度分布？条纹宽度怎样计算？条纹精细度N是什么意思？为什么多光束干涉结果会使条纹变锐？解：双光束叠加的计算方法是从双光束的光程差入手，然后利用光程差与相位差之间的关系和相位差与光强分布的关系从而来确定光强分布：，其中；多光束的叠加的计算方法是从计算相干光的复振幅入手，然后计算叠加后的复振幅，最后用光强与复振幅之间的关系确定反射光透射光的光强分布：，其中， 多光束干涉时，平板一经确定，板的折射率n厚度h固定，因此，诸透射光（反射光）在焦平面上叠加时，其光束间的位相差只随入射角而变，为等倾干涉；干涉条纹的光强分布由反射率R决定；R很小时，干涉强度变化不大，即干涉条纹极不明显，可见度低，当R增大时，条纹可见度提高；干涉光强的极大值与R无关。恒等于I0，R增大使极小值下降，且亮条纹宽度变窄，在R很大时，透射光的干涉条纹是暗背景上的很细的亮的同心环，反射光的干涉条纹则是在亮背景上的暗条纹。决定多光束干涉光强分布的因素有R,n,h它们对I的影响由光强分布公式决定。见。条纹宽度：透射光情况下，透射光峰值两边强度下降到峰值的一半时两点间的位相差。，R增加，减小N,条纹精细度，表示条纹的锐度，减小，N增加。由于可知，R增加，N增加, 减小，条纹变细。多光束干涉要求R增加，所以会使条纹变锐。2、牛顿环与等倾干涉条纹有何异同？实验上如何区分这两种干涉图样？解：相同处： 干涉条纹都是同心圆环 等倾干涉：条纹间距 即越向边缘环的半径越大，条纹越密 等厚干涉：（牛顿环） 增加 减少 ，即 越向外条纹越密不同点： 等倾干涉： 对于h固定时，=0是中央条纹，即 光程差和干涉极次最大，当环半径增大时对应增大 减小，m减小 等厚干涉： （若小角度入射时） 中央条纹的光程差最小即 干涉极次最小即 当环的半径增大时，干涉极次和光程差都在增大。实验上区别的方法，可以改变h值的方法（用手压h减小，反之h增大） 等倾干涉：，每个圆条纹均有自己的干涉极次，对于亮环 来说，当h变小时cos必然要增大，以保持不变,因此这第极环所对 应的半张角0 就跟着减小，也就是环的半径不断减小，环向中心收缩 而且每减少一个环，中心点的亮暗就要变化一次。 等厚干涉： ，对于h=0时是中央条纹，干涉极次最小，等厚干涉的每 一条纹是对应膜上厚度相同的点，当h减小减小，对应干涉极次减 小，所以对于原来同一位置即同一半径r处当h减小时，干涉极次由 减小到-1，即牛顿环在h变化时向外扩张。（4）课程论文查阅相关文献后，写一篇利用光的干涉现象实现光学传感的论文。第三章光的衍射（1）作业习题1、如下图所示，一光栅的上部为等间距光栅，栅距为0.02毫米，下部某栅距带有误差毫米。此光栅受到一个平面波照射，如果只考虑一级衍射，求栅距为处的衍射光线所产生的附加相关（迂回相位原理）。解： 光栅方程： m=1时的衍射角 所以，附加光程差，相位差：2、已知一法布里-珀罗标准具的空气间隔h=4厘米，两镜面的反射率均为R=89.1%另一反射光栅的刻线面积为厘米2，光栅常数为1200条/毫米，取其一级光谱，试比较这两个分光元件对红光的分光特性。解: 法-珀干涉仪:(1)分辨率本领:(2)最小可分辨的波长差: (3)自由光谱范围: 光栅(1) 分辨率本领: 由m=1可得(2) 最小可分辨的波长差: (3)自由光谱范围: 3、一平行单色垂直入射到一光栅上，在满足时，经光栅相邻两缝沿方向衍射的两束光的光程差是多少？经第1缝和第n缝衍射的两束光的光程差又是多少？这时通过任意两缝的光迭加是否都会加强？解:(1) 当时 而m=3衍射角为时相邻两缝的光程差为所以相邻两缝光程差为.(2)第1和第3条缝光程差 -缝数(3)只考虑干涉因子时任意两缝间光程差都是波长的整数倍,所以相位差为的整数倍, 应是相干加强,但由于衍射作用的存在,有可能不会加强.4、一束光直径为2mm的HeNe激光器（=632.8nm）自地面射向月球。已知地面和月球相距3.76105km，问在月球上得到的光斑有多大？如用望远镜做扩束器把该光束扩成直径为5m，应用多大倍数的望远镜？用此扩束镜后再射向月球，问在月球上的光斑是多大？解：（1）爱里斑的角宽度 光斑大小 2op=2s s 是地球到月球的距离 op为光斑半径 （2）D由 放大倍数为倍（3）光斑大小为 倍 光斑大小倍 即为290/2500=116米。5、菲涅耳圆孔衍射（R,r0有限）当r0连续变化时，观察屏上轴上点的光强如何变化？为什么？（R，光源到孔间距；r0观察点到孔间距）解：开孔半径 当R时，当连续变化时，N的奇偶性发生变化， 而轴上点的复振幅由于相邻两带的相位差而绝对值近于相等N为奇数时，光强大而N为偶数时光强小，光强出现明暗交替的变化。（2）讨论习题1、光学仪器的分辨标准是怎样确定的？为什么这样规定？望远镜、显微镜和照相物镜的分辨本领各由什么因素决定？在可见光范围内限制分辩本领提高的主要是什么？为什么显微镜的有效放大倍数只是200300倍左右？能否用增加目镜放大倍数的办法来缩小显微镜的最小分辨距离？答：（1）瑞利标准：当一个光点的衍射图样中央最大和另一个光点衍射图样的第一最小重合时，这两个光点恰能被分辨。 （2）因计算表明这时两衍射图中心之间的光强度均为中央最大的80%，一般人眼对这样大的光强差完全能感觉到，所以利用这点作用确定分辨的标准的依据。“ （3）望远镜：最小分辨角为： D望远镜物镜的直径 显微镜：物镜能分辨的最小距离： n物方折射率，u物方孔径角，NA数值孔径 照相物镜：物镜在底片上每毫米内恰能分开的线条数N作为物镜分辨本领的量度： f为物镜焦距 （4）在可见光内提高分辨本领，这里都与入射光波长有关，缩短照明光源波长，但在可见光范围内，波长的变化极为有限，对分辨本领的提高好处不大，所以受到限制。 （5）显微镜： 目前，NA=1.25 n=1.5 而人眼在明视距离处观察时能分辨的最小距离作为55，两者比值近于200倍，也就是从分辨本领的角度来看，光学显微镜的最大放大倍数是200倍左右，不会比这更高。 （6）不会，因为显微镜的最小分辨距离由物镜框限制的，与目镜无关。2、用下图的装置观察白光，则在屏上将出现一条连续光谱。若在棱镜和物镜L2之间放一单缝，缝的细长方向与光谱展开方向一致，则在屏上将出现几条如图所示的弯曲彩色条纹。试解释这一现象。解：（1）白光经棱镜后，由于色散，各波长的光都有自己的一束平行光。 由Snell公式 （，-棱镜折射率）相同，取决于 ，于是在焦平面上形成由红到紫的连续光谱（一条由上至下从红到紫的彩色直线）。（2）插入单缝后，各波长的光都参与单缝衍射，衍射主极大，对应处，与无关，所以各波长对应的位置不变，但由于条纹主极大的宽度，与有关， ，因此红光条纹粗而紫光条纹细。衍射次极大 一级衍射次极大形成的彩色条纹是弯曲的，红光端弯曲最大。3、波带片与透镜的有何区别与联系？答：波带片与透镜都有聚光作用。波带片：焦距不是单值的，因此一平行光入射到这种波带片上，在许多位置上都会出现亮点，有一系列虚焦点。成像时在像点周围会形成一些亮暗相间的同心环。透镜：焦距是单值的，因此一平行光入射到透镜上只有一个亮点，成像时也只是一个亮点。（3）思考题1、有人认为：“干涉和衍射，在本质上并没有什么不同，都是光波相干性造成的，都是波动过程的特征。区别只是形式，干涉是由分离的一个个相干光束叠加的结果，衍射则是一个波面造成，实际上由连续的无数个子波叠加所产生”。对此，你是怎样理解的？答：干涉和衍射是波的两大特征，光的干涉是多束分立的相干光迭加的结果，而光的衍射则是无限多相干子波叠加的结果。2、试比较单缝、双缝、多缝、和闪耀光栅的平行光衍射的光强分布，并说明这些光强分布不同的原因。解：单缝衍射的光强分布： ， ，a-缝宽，衍射角 -衍射花样中心=0处的光强， 双缝衍射的光强分布： ， ， d-两缝对应点间距离双缝衍射是因为双缝中各单缝的衍射光的双光束干涉。多缝衍射的光强分布： N-缝数多缝衍射是多个单缝衍射光的多光束干涉。闪耀光栅的光强分布：3、在平行光的双缝衍射实验中，缝距d=2a（a是缝宽）。若挡住一缝，条纹有何变化？原来亮条纹处的光强是否会变小？为什么？答：（1）已知，缝距，光强分布为，处，干涉主极大，衍射主极大，衍射主极大内包含 个干涉主极大。条纹的光强分布如下图所示。 （2）挡住一缝相当于单缝衍射，条纹变宽。（3）由于双缝的光强分布为： 单缝的光强分布为： 双缝亮条纹为单缝的4倍，所以原来亮条纹处的光强会变小。4、菲涅耳衍射和夫琅和菲衍射有何区别？答：菲涅尔衍射：当光源和衍射物之间的距离和衍射物与观察屏之间的距离二者至少有一个是有限的衍射称为菲涅尔衍射。夫琅和菲衍射：当光源和衍射物之间的距离和衍射物与观察屏之间的距离均为无限远的衍射称为夫琅和菲衍射。（4）课程论文查阅相关文献说明为何单缝衍射时只考虑缝宽方向的衍射而不考虑缝长方向的衍射。第五章晶体光学基础（1）作业习题1、在各向异性晶体中沿同一波法线传播的光波有几种偏振态？画图说明D,E,K,S各矢量间有什么关系？解：对于给定一波法线传播的光波即给定一，只允许有两个特殊的线偏振方式的波传播和。对应两个电矢量且，在同一平面内。，且与夹角为，与夹角也为；，在同一平面内。，且 与夹角为，与夹角也为。2、如图，为了只让e光通过尼科耳（Nicol）棱镜,且使其在棱镜中平行于长边，则棱镜的长边与底面间的夹角应为多大？已知棱镜的，加拿大树胶的，并设o光射在加拿大树胶层上的入射角比临界角大,试求棱镜的长厚比a/b之值。解：已知棱镜（BDAB，BDCD）由题意 e光/AD/BC 则 (BD/入射光线的法线) 为o光在BD面上的临界角。 已知 则 由折射定律： 则 将代入则 由图中可以看出 将代入得 3、有一方解石直角棱镜，光轴平行于直角棱，自然光垂直入射。要使出射光只有一种线偏振光，另一种被完全反射掉，顶角应取在什么范围？出射光振动方向如何？（已知，）解： 已知：， 全反射临界角为 这里（空气） 为方解石的折射率 当入射角时全反射对于o光： =对于e光： =当入射角在之间时o光全反射，只有e光一种线偏振光出射。由图中可知顶角在之间时，o光全反射e光透射。又因为e光在主截面内振动所以透射光的振动方向在主截面内。4、给定一线偏振器和两个波片，试自左至右组合成一个光学系统，使得光从左至右出来为右旋圆偏振光，而自右至左（逆向传播）出来的为左旋圆偏振光。给出器件的顺序并标明其轴的相对取向，最后用琼斯矩阵证明之。解：已知：左旋圆