数学建模——金砖国家在经济上的优势.doc

金砖国家优势分析摘要 本文中我们选择经济未来发展潜力这个侧面来分析金砖国家相对发达国家的优势，并用各国GDP的增长率来代表其经济未来发展潜力。金砖五国都是重要的发展中国家和新兴市场国家，尽管目前金砖国家在很大程度上还是一个松散的团体，但它们拥有世界40%的人口、18%的全球贸易以及约45%的当年增长。其经济增长速度远高于世界平均增长速度，而且占全球GDP总量超过1/7。针对问题一，我们选择对发展中国家GDP相对影响较大的人口、经济活动人口、价格指数、资源和环境、能源、对外贸易等方面为参考指标，以中国和俄罗斯为代表，运用灰色分析法找出对金砖五国GDP影响较显著的因素，其中对外贸易、能源及经济活动人口对金砖国家GDP的影响最大，并根据各金砖国家的经济特点及相对优势分析其GDP增长较快的原因。针对问题二，我们首先通过互联网搜集金砖国家及七国集团在0509年GDP增长率的变化情况，并用折线图反映出金砖国家GDP增长率相对世界平均水平及七国集团的具体情况，从而反映出从GDP增长率的角度来看，金砖国家对七国集团还存在整体上的优势。针对问题三，我们利用第一问模型中得出的结论对外贸易对金砖国家GDP影响最为显著，运用数据拟合模型，找出金砖各国进出口总额的增长率和GDP的增长率之间的线性关系，从而分析五国之间的差异。针对问题四，我们根据金砖五国地理位置及其经济特点的不同，建立马尔可夫模型，从而建立金砖五国在经济贸易上的合作关系，通过调剂其贸易余缺从而达到经济共同进步发展的目的。在第五问中，我们建立灰色预测模型，利用20042010年金砖国家及美国GDP值情况预测出20112015年六国GDP的发展趋势，从而得出作为世界新兴经济体的金砖国家其GDP将保持高速增长的态势，并且在此方面的优势将会继续扩大。关键词：灰色分析法 数据拟合模型 马尔可夫模型 灰色预测一、 问题重述2003年10月高盛公司发表了一份题为“与BRICs一起梦想的全球经济报告”，首次提出了“金砖四国”这一概念。“金砖四国”（BRIC）的名称来源于巴西、俄罗斯、印度和中国的英文首字母。由于该词与英文中的砖（Brick）类似，因此被称为“金砖四国”。该报告估计，到2050年，世界经济格局将会经历剧烈洗牌，全球新的六大经济体将变成中国、美国、印度、日本、巴西、俄罗斯。在2010年，南非加入金砖四国，“金砖四国”即将变成“金砖五国”，并更名为“金砖国家”(BRICS)。2011年4月14日，金砖国家领导人第三次会晤在中国三亚举行，五国领导人商讨了如何协调应对重大国际问题，如何深化和扩大彼此间合作，如何加强金砖国家合作机制等问题。根据华尔街日报的报道，中国打算提升金砖集团作为新兴经济体平台的地位，从而获得对发达国家更有力的优势。由于这种优势可能体现在多个侧面，请你选择某个感兴趣的侧面，建立数学模型分析以下问题：1、 尽管目前金砖国家在很大程度上还是一个松散的团体，但它们拥有世界40%的人口、18%的全球贸易以及约45%的当年增长。因此，请分析在世界范围内，金砖国家在该此方面的优势，并指出产生这种优势的主要原因；2、 七国集团（G7）是由加拿大、法国、德国、意大利、日本、英国和美国所构成的联盟。请分析在你选择的侧面上，金砖国家是否对七国集团也存在着这种整体优势；3、 在感兴趣的侧面上，金砖五国是否存在着相同的优势，或者建立模型研究成员之间在该种优势上的差异性；4、 为了提高金砖国家在此侧面的优势，请建立数学模型探讨成员之间更好的协作分工模式；5、 预测研究在若干年后，金砖国家在此侧面的优势会继续保持、缩小还是扩大？利用数学模型支持你的结论。二、 问题分析对于问题一，金砖五国因为突飞猛进的经济发展势态而得名，所以首先考虑从最能反映经济增长速度的GDP增长率入手，先选择对经济影响较明显的几个因素：总人口，经济活动人口，居民消费价格指数上涨率，森林面积、一次能源生产总量、货物进出口总额，考虑到经济现象的复杂与不确定性，采用灰色模型理论，对于这几个因素进行标准的量化归一，求出他们对于GDP增长率的关联度。根据关联度的大小判断这几个因素对于GDP增长的影响。对于问题二，通过将G7这几个传统发达国家对世界平均GDP的总量和增长率的影响力与金砖五国对于世界平均GDP总量和增长率的影响力的比较突显出金砖五国在GDP增长率上的优势。对于问题三，不同国家因为产业结构的不同对于进出口贸易的依赖程度也不同，以此为切入点对五国之间的差异，建立进出口额与GDP之间的线性关系，通过比较线性方程之间系数的差异来反应五国之间的差异。对于问题四，五个国家的合作问题，从贸易往来入手，研究资源在各个国家的转移率为多少时能够满足各个国家的需求。针对研究长期随机现象可以利用马尔可夫链，建立条件向量和转移矩阵求得资源在各个国家的转移率之间的相互关系，得到具有参考价值的数据。对于问题五，针对未来几年GDP的预测考虑到离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。而灰色理论首先基于对客观系统的新的认识。尽管某些系统的信息不够充分，但可将有些随机量、无规则的干扰成分以及杂乱无章的数据看作是在一定范围内变化的灰色量按适当的办法将原始数据进行处理，将灰色数变换为生成数，获得较强的生成函数，因而有一定的可靠性。三、 模型假设1. 假设网上搜集的数据准确可靠；2. 假设在预测的五年里，不会出现战争和金融危机等严重影响经济发展的因素；3. 假设影响GDP的各指标有一个稳定的发展趋势；4. 假设各金砖国家愿意建立贸易合作双赢关系。四、 符号说明总人口经济活动人口居民消费价格指数上涨率森林面积一次性能源生产总量货物进出口总额巴西中国印度俄罗斯南非五、模型的建立与求解5.1问题一模型的建立求解：金砖五国都是重要的发展中国家和新兴市场国家，尽管目前金砖国家在很大程度上还是一个松散的团体，但它们拥有世界40%的人口、18%的全球贸易以及约45%的当年增长。金砖国家经济增长速度远高于世界平均增长速度，而且占全球GDP总量超过1/7。因此，我们选定GDP的增长率作为反映金砖国家经济未来发展潜力的首要依据，针对金砖国家在该此方面的优势，我们选择对发展中国家GDP相对影响较大的人口、经济活动人口、价格指数、资源和环境、能源、对外贸易等方面为参考指标，运用灰色分析法分析出对金砖五国GDP影响较显著的因素，从而找到产生这种优势的原因。我们以中国和俄罗斯为代表，分析总人口、经济活动人口、居民消费价格指数上涨率、森林面积、一次能源生产总量、货物进出口总额与GDP的相关系数，从而得到对金砖五国GDP影响较显著的因素。我们首先对中国进行具体分析：对中国2005至2009年GDP及这六个指标的数据变化统计如下表（一）：（一） 年份指标20052006200720082009GDP（亿美元）2257627135349574521849905总人口（万人）130372131102131789132466133138经济活动人口（万人）7561576170768327722777752居民消费价格指数上涨率（%）1.81.54.85.9-0.7森林面积（万公顷）1749117491174911749119545一次能源生产总量 （万吨标准油当量）151353162517173095182386192233货物进出口总额（亿美元）1549019145237692905624466运用灰色分析法来确定这六个方面对GDP影响的比重，具体步骤如下：首先选取=GDP为参考数列,=22576，27135，34957，45218，49905以总人口，经济活动人口，居民消费价格指数上涨率，森林面积，一次性能源生产总量，货物进出口总额为比较数列。（1）原始数据做均值化处理设原始数据为=（其中i=1,2,3,4,5,6），对均值化处理得到数列，令，则： （2）求差序列： (i=1,26；k=1,2,3,4,5)（3）计算参考数列在第k点的灰色关联系数为： (i=1,26)（4）计算灰色关联度： (i=1,2,3,4,5,6)用matlab计算得到各关联度系数为：0.73340.73450.63090.73530.77450.9096按r的数值大小排出相应的序列：由关联序列可以看出，对于中国来说，货物进出口总额和GDP的关联度最高，其次是一次性能源生产总量和森林面积，再然后是经济活动人口，总人口，居民消费价格指数上涨率。对俄罗斯2005至2009年GDP及这六个指标的数据变化统计如下表（二）：（二） 年份指标20052006200720082009GDP（亿美元）76409899129971660412223人口（万人）47294785484148954947经济活动人口（万人）24122488256525452621居民消费价格指数上涨率（%）12.79.79.014.111.7森林面积（万公顷）8705787075870768707987082一次能源生产总量 （万吨标准油当量）253000260400262800265800255200货物进出口总额（亿美元）43295436675389015982则同上运用灰色分析法来确定六个指标对俄罗斯GDP影响的比重，通过matlab计算得到各关联度系数为：0.59850.60930.54300.58970.59970.8609按r的数值大小排出相应的序列：由关联序列可以看出，对于俄罗斯来说，货物进出口总额和GDP的关联度最高，其次是一次性能源生产总量和经济活动人口，再然后是总人口，森林面积，居民消费价格指数上涨率。则由以上分析可以看出，对中国和俄罗斯GDP影响较大的都为货物进出口总额、一次性能源生产总量，其次是经济活动人口。由此我们可得出，作为发展中国家的金砖五国GDP同货物进出口总额、一次性能源生产总量、经济活动人口的相关度最大。由于金砖国家以廉价商品、丰富资源、充足劳动力、巨大潜在市场等著称，成为各发达国家小商品及原材料的生产基地，同时对外贸易也为其带来了巨大的经济效益，促进了各金砖国家经济的快速发展，因此其货物进出口总额相对GDP的权重较大。金砖五国总人口大约占了全球总人口的42.7%，拥有丰富的人力资源，而且比欧美国家更加年轻化，因此其经济活动人口较多也对其经济发展起到较好的促进作用。5.2问题二模型的建立求解：七国集团（G7）是由加拿大、法国、德国、意大利、日本、英国和美国所构成的联盟。他们拥有强大的经济实力，但面对国际金融危机带来的严重冲击，其GDP甚至出现负增长现象（见表三）。（表三）2009年GDP（亿美元）GDP增长率（%）20052006200720082009美国124562.83.0542.67314.160.439-2.44日本50680.591.9342.03914.16-1.193-5.197加拿大13364.273.0192.85414.160.5-2.5法国26759.151.9412.41614.160.1-2.5德国33527.420.7323.17614.161.248-4.9意大利21182.640.6562.03614.16-1.319-5.038英国21836.072.1732.85314.160.548-4.92平均值41701.851.9302.57814.160.046-3.9282009年，当世界经济出现-0.6的增长率时，金砖国家仍以平均0.72的增长率快速发展（见表四）。其中中国和印度甚至出现了9.2%、4.5%的高速增长。表明金砖国家的经济实力及对全球经济增长的贡献率不断提高，对发达经济体的依赖程度也在逐渐降低。（表四）GDP增长率（%）年份国家20052006200720082009巴西3.24.06.15.2-0.6中国11.312.714.29.69.2印度11.27.123.0-6.54.5俄罗斯6.48.28.55.2-7.8南非5.35.65.63.6-1.7平均值7.487.5211.483.420.72世界4.485.085.183.02-0.60金砖五国GDP增长率相对世界以及七国集团的综合折线图如下：由上图可以清晰看出，在20052009年间，中国一直处于高速发展的前线，其GDP增长率始终高于七国集团。而且巴西、南非、俄罗斯的国内生产总值也都保持了较平稳的增长率，并且都在08年之后超过七国集团的平均增长率。其中印度的经济增长幅度波动较大，受08年国际金融危机的影响较大，但在09年期间逐步摆脱影响且恢复较快，迅速超过了七国集团的平均增长率。随着金砖国家经济的迅速增长，世界经济权力和财富将加速向金砖国家转移，以西方为主导的世界经济版图将会发生巨大变化。2008国际金融危机的爆发进一步加速了金砖国家追赶西方发达国家的脚步。金砖国家经济的崛起并不是处于危机下的短暂或偶然现象，而将是一种持续长期的趋势，体现为全球经济由西向东、由北到南的历史性转折。因此，从GDP增长率的角度来看，金砖国家对七国集团还存在整体上的优势。5.3问题三模型的建立求解：金砖五国各自的GDP虽然都在快速增长但彼此之间又不尽相同，通过对问题一的求解发现各国GDP的增长和进出口总额的关联度最大，所以利用数据拟合模型，探求金砖五国各国进出口总额的增长率和GDP的增长率之间的线性关系，找出五国之间的差异。 首先取五国各自的进出口额增长率作为自变量，GDP增长速率作为因变量，利用matlab中的拟合函数进行一元线性拟合，得到下列线性方程：巴西： 中国： 印度： 俄罗斯： 南非： 根据上述五个线性方程的一次项系数可见当前进出口对于印度GDP的增长率影响最大，其次依次是俄罗斯、南非、巴西、中国。印度作为世界第一大产奶国，也是世界重要的产棉国和产茶国，拥有丰富的矿产资源，铝土储量和煤产量均占世界第五位，农业和服务业为其最大的经济部门，其牛、山羊、绵羊、水牛头数居世界第一。近年来，随着综合国力不断增强，印度加快推进大国外交战略，强调外交为经贸服务，在保持与俄罗斯及其他独联体国家关系的同时，大力发展与美、日、欧等发达国家的关系，尤其是经贸科技合作，吸收资金和技术。其主要进口商品为：石油及其制品、燃料、资本货物、宝石、化肥、化工产品、钢铁、造纸原料、纸张等；主要出口商品为：棉纱及棉织品、珠宝制品、医药及化工制品、机械及五金制品、农业及相关半成品、皮革及其制品、海产品、铁矿砂等。在政治鼓励和经济利益的刺激下，印度加强对外贸易，其兴旺发展的出口贸易也为其经济发展提供了强大的后继力量。甚至有报告称，到2020年印度将跃升为全球经济增长最快的国家之一，其对外贸易在世界各国外贸排行榜上将跃居前十。俄罗斯作为世界加油站，其自然资源十分丰富，种类多，储量大，自给程度高。石油探明储量65亿吨，占世界探明储量的12-13%，居世界第二位。其出口商品主要有石油、天然气、电力、煤、机器设备、黑色金属等，进口商品主要有机器设备、小轿车、卡车、食品以及纺织品、鞋帽等轻工业品。随着石油和天然气价格的不断上涨，这两大工业的开采和生产控制了其五分之一的国民生产 ，并创造了50%的出口贸易产值和40%的国家收入。南非、巴西、中国则分别拥有丰富的自然自然、强大的世界原料基地以及充裕可靠的劳动力，为其出口矿产资源、提供原材料、吸引外资等对外贸易建立了条件，也创造了巨大的经济效益，为其国内年国产总值的增长做贡献。5.4问题四模型的建立求解：针对金砖五国的地理位置以及各国的对外贸易特点，以及每个国家的资源种类和总量的不同，五国之间要加强合作，需要通过相互贸易调剂余缺，今假设五国总共可以出口的资源为1，巴西、南非、印度、中国、俄罗斯分别需要0.1、0.2、0.3、0.2、0.2假设五国之间相互贸易的关系如图所示巴西1南非2印度3中国4俄罗斯5为资源从第i个国家出口到第j个的概率。假设停留在每个国家的资源向外周转的概率可以调控，求当概率分别为多少时能够满足各国的需求条件。针对资源长期稳定流通这一问题，考虑到资源的流动方向只与当前货物所在的国家有关而与其所在产地无关可以建立马尔可夫模型，因此可以设巴西、南非、印度、中国、俄罗斯这五个国家种各自的需求量为条件概率将资源在各个国家的转移率列为转移矩阵由可以解得只要资源在各个国家转移的概率满足上述公式就可以使资源大体上满足每个国家的需求。至于各个转移概率的具体值可由五个国家根据自身的情况自己制定。5.5问题五模型的建立求解：金砖国家在2004到2010年，GDP显持续上升趋势。我们用灰色预测模型来预测金砖国家和美国2011到2015未来五年的GDP，进行比较，进而判断出金砖国家在此侧面的优势会继续保持、缩小还是扩大。灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用，特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。下面以巴西为例详细建模并求解。 1 数据的检验与处理 首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验。设参考数据为 ：=（6638，8824，10888，13665，16507，15384，20898）计算数列的级比： 则（ ）=（0.7523，0.8104，0.7968，0.8278 ，1.0730，0.7361）如果所有的级比 都落在可容覆盖（ ， ）=（0.7575，1.3307）内，则数列 可以作为模型 GM(1,1)的数据进行灰色预测。做一次累加（AGO）生成数列 =（6638，15462，26350，40015，56522，71906，92804）其中 = ，（k=1，2，n）2建立模型求均值序列： ，（k=2，n） 建立灰微分方程为：+a=b，（k=2，n）相应的白化微分方程为：记，则有最小乘法，求得使达到最小值的。于是求解方程得 （k=1，2，n-1）3 检验预测值 （1）残差检验：令残差为(k) ，计算如果0.2，则可认为达到一般要求，如果0.1，则可认为达到较高的要求。 =（0，-0.0674，-0.1658 ，0.0801 ，0.0154 ，-0.0203， 0.0622） 0.2故符合一般要求（2）级比偏差值检验：首先由参考数据，计算出级比(k) ，再用发展系数 a（一般取0.5）求出相应的级比偏差 ：如果 0.2 ，则可认为达到一般要求；如果 0.1，则认为达到较高的要求。 =（0.1243，0.0566 ，0.0725 ，0.0363， -0.2491， 0.1430） 0.2 故符合一般要求经验证，该模型的精度在允许范围内，其预测结果具有一定的可靠性。 4用matlab求解（程序见附录）金砖五国及美国20042015的GDP值（其中20042010为真实值，20112015为预测值）国家巴西中国俄罗斯印度南非美国20046638193165909661421901174242005882422576764076572462144866200610888271359899872826071497922007136653495712997113852855139800200816507452181660411500275014330020091598449905122231293028401480002010208985879014651131403630152400201123093-68030152291370132641478302012263997576415374140363502147830201329772829301545314272332414783020143312289274154951443634571478302015363629479115518145503569147830用matlab绘出20042015年GDP增长曲线如下图：图中：青色-美国红色-中国蓝色-巴西 绿色-俄罗斯黄色-印度紫色-南非由上折线图可以看出，在未来五年中，作为世界主要新兴经济体的“金砖五国”中国、印度、巴西、俄罗斯和南非5个金砖国家将继续保持强劲增长，其中经济发展最突出的是中国，他们与G7之间的差距将逐步变小，在此方面的优势将会逐步扩大。金砖国家的工业化涉及到全球40%的人口，从这个意义上讲，金砖国家能够在和平方式下实现现代化，工业文明将会被带到惠及世界大部分人口的崭新阶段，其历史意义将是空前绝后的。与此同时，金砖国家不仅需要处理好内部各成员国之间的利益关系，也要处理好与其他国家之间的关系。应该看到，机遇与发展同在，金砖五国经济互补性较强，具有资金、技术、资源、劳动力以及消费市场等优势，合作潜力巨大。我们有理由相信，金砖五国将会实现互利共赢，必将成为世界上一支举足轻重的力量。六、模型的评价本文的第一问第五问相继用灰色模型求解，运用灰色模型解决经济方面这些成因模糊复杂的社会现象，可以避免因为数理统计模型对于数据量要求大，对于统计数字要求要有较强的规律性等问题，灰色系统理论建模的主要根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。从而突破了概率统计的局限性， 使其结果不再是过去依据大量数据得到的经验性的统计规律。但灰色模型同样具有所得结果难以解释等缺陷等问题有待进一步改进。第三问采用拟合原理寻找GDP增长率与进出口增长率之间的连系，由于所运用的数据量较少，所得的线性关系就显得较为简单，针对长期客观现象的真实反映可能不太精准。第四问借用马尔可夫链模型，研究进出口货物之间的关系，简化了线性规划复杂的约束条件，在不影响结果的前提下简化了求解过程。但对于现实问题的解答显得有些过于模糊。本文中我们主要通过对互联网搜集到的数据进行分析并建立模型求解，在分析金砖国家在未来经济发展潜力时仅以GDP的增长率为代表，存在一定的局限性和误差，以及各国建立经济上的贸易合作，充分利用五国的资源优势，不考虑政治及其他因素仅以经济增长为目的，想法有些理想化。七、参考文献【1】金砖国家联合统计