毕业论文向量在立体几何中的应用.doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文 向量在立体几何中的应用向量在立体几何中的应用 学生姓名 学 号 系 部 数 学 系 专 业 数学与应用数学 年 级 班 指导教师 麦麦提依明 克热木 完成日期 年 月 日 1 摘要摘要 在本论文中主要介绍几种用向量法来解决立体几何问题的方法 并说明这 中方法在解决问题中的应用和重要性 当所涉及的线 面在一些特殊的几何模 型中 如以正方体 长方体 正四面体为背景 往往容易建立空间直角坐标 系 仿射坐标系 关键词关键词 线线 线面 面面 2 目目 录录 摘要摘要 1 1 引言引言 3 3 1 1 线线问题的解法线线问题的解法 3 3 1 1 利用向量法证明线线垂直问题 3 1 2 线线角的计算 4 1 3 线线距的计算 5 2 2 线面问题的解法线面问题的解法 8 8 2 1 利用向量证明线面平行问题 8 2 2 利用向量证明线面垂直问题 10 2 3 线面角的计算 11 2 4 线面距的计算 14 3 3 面面问题的解法面面问题的解法 1515 3 1 利用向量证明面面平行问题 15 3 2 利用向量证明面面垂直 17 3 3 面面角的计算 19 参考文献参考文献 2121 致谢致谢 2222 3 引言引言 向量在数学 力学 物理学和工程技术中应用很广泛的一个概念 利用向 量解决一些相关数学问题将大大减少解题步骤 大多数学 物理问题 用向量 来解决往往解法简单明快 尤其是用向量法解决比较难解的空间角 距离 面 面垂直 面面平行 线面垂直 线面平行等问题比较方便 总之 许多几何证 明问题用向量法来解决简单 思路清晰 1 1 线线问题的解法线线问题的解法 1 1 利用向量法证明线线垂直问题利用向量法证明线线垂直问题 设分别为直线的一个方向向量 那么 a b a b0aba b 或 则 或 1122 ax ybxy 1212 0abx xy y 111 zyxa 则 222 zyxb 0 212121 zzyyxxba 例例 1 1 如图 1 1 1 在三棱锥 中 是边长为 4 的正三角形 SABC ABC 分别 2 3 SACABC SASCM N 平面平面 为的中点 AB SB 求证 ACSB 解解 本题就属于证明空间异面 直线垂直的问题 取 连接ACO中点 OS OB 因为所以 SASC ABAC 且因为 ACSO ACBO SACABC 平面平面 所以 SACABCAC 平面平面 SOABC 平面 图 1 1 1 4 所以 如图所示建立空间直角坐标系 则SOBO kjio 2 0 0 0 2 3 0 0 0 2 2 1 3 0 0 3 2 ABSMN 所以 0 2 3 2 2SB 4 0 0AC 因为 所以 4 0 00 2 3 2 20 AC SB ACSB 1 21 2 线线角的计算线线角的计算 空间角是立体几何题中考查的重点 其中两异面直线所成的角是考查的重 中之重 若用向量的数量积来处理这类问题 则思路简单 操作起来更为方便 求异面直线所成的角 利用直线的方向向量求异面直线所成的角 设异面直线 的方向向量分别为 为异面直线所成角 则 12 l l 12 v v 12 l l 12 12 cos v v vv 例例 2 2 如图 1 2 1 在长方体 中 已知 1111 DCBAABCD 4 AB 分别是线段3 AD2 1 AAFE 上的点 且 BCAB 1 FBEB 求 求直线与所成的角 1 EC 1 FD 解解 以为原点 分别A1 AB AD AA 为轴 轴 轴的正向建空间直角xyz 坐标系 则有 0 3 0 D 2 3 0 1 D 0 0 3 E 于是 0 1 4 F 3 3 0DE 图 1 2 1 5 设与所成角为 则 11 3 2EC 14 2 2FD 1 EC 1 FD 11 11 cos FDEC FDEC 222222 1 4 64 132 4 22 14 21 即异面直线与所成角为 或 1 EC 1 FD 14 21 arccos 14 21 arccos 1 31 3 线线距的计算线线距的计算 两异面直线的距离是数学中的一个难点 如果用向量的数量积来处理这类 问题 则思路简单 解法固定 要求两异面直线与之间的距离最终也要转化为线两点面距 用两种方ABCD 法计算 1 两异面直线间的距离等于它们公垂线的长 如图 1 3 1 设两异面直线与它们的公垂 12 l l 线的交点分别为 而与分别为 0 l 12 N N 1 M 2 M 直线上的任意点 于是公垂线的长 12 l l 0 1212l N NM M 射影 12012 cos M Ml M M 或 1212 12 M Mv v d vv 2 可先设 的公垂线段 再由垂直向量性质得abEFaE bF 从而得到 的坐标 最后算出所求 0 0 EFb EFa EF EF 图 1 3 1 6 例例 3 3 如图 1 3 2 在单位正方体中 在一个平面的对 ABCDABC D 角线上取点 使 在另一对角线上取点 使 ABM 1 3 AMAB BDN 1 3 BNBD 求证 是和的公垂线 并求的长 MN ABBDMN 证明证明 建立空间直角坐标系 A i j k 如图 5 2 3 则 11 33 AMik 11 0 33 11 33 ANABBDij i 2 1 0 3 3 从而 1 11 3 33 MNANAM 因为 1 1 0BD AM MN 11 0 99 从而是 的公垂线 111 0 0 333 BD MN MN ABBD 而且 222 1113 3333 MN 所以异面直线与的距离为 ABBD 3 3 MN 例例 4 4 如图 1 3 3 四面体 中 两两垂直 ABCD AB BC CDABa 图 1 3 2 7 BCb CDc 求 两斜棱间距离 即与间的距离 BCAD 解解 如图所示建立直角坐标系 则 ABa BCb CDc 0 0 B b 0 0 0 DcA ba 0 0 CBbDAbc a 设 且 则 yxn 1 0 00 nCB nDA 得 0 0 bx bxcay 0 x c y a 即 0 0 1 0 0 c nCDc a 从而和间的距离为 BCAD 0 22 0 CD n ac nac 22 ABCD ABCD 同理可得和间的距离为 CABD 22 bc bc BCCD BD 图 1 3 3 8 2 2 线面问题的解法线面问题的解法 2 12 1 利用向量证明线面平行问题利用向量证明线面平行问题 直线与平面平行可转化为直线的方向 向量与平面的法向量垂直 也可用共面向 量定理来证明线面平行问题 如 2 1 1 即 求出平面 已知 如果 则可判定lBAl 0 nAB 面 AB 例例 5 5 如图 2 1 2 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直 ABCDACEF 且 是2AB 1AF M 线段的中点 EF 求证 平面 AMBDE 证明证明 建立 如图所示的空直角坐 标系 设与相交与 连结ACBDN 的坐标分别为NENE 有 22 0 22 N 0 0 1 E 又点的坐 22 1 22 NE A M 标分别为 有 2 2 0 A 22 1 22 M 22 1 22 AM 所以 又因为平面 平面 NEAM NE BDEAM BDE 所以平面 AMBDE 图 2 1 1 图 2 1 2 9 N M A B D C O xy z N M A B D C O P 例例 6 6 如图 2 1 3 在四棱锥OABCD 中 底面ABCD四边长 为 1 的菱形 4 ABC OAABCD 平平 2OA M为 OA的中点 N为BC的中点 求证 直线MNOCD平平 证明证明 作APCD 于点P 如图 2 1 3 分别以AB AP AO 所在直线为 x y z轴建立坐标系 22222 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 22244 ABPDOMN 则 2 2 2 0OP 1 4 2 4 2 1 MN 2 2 2 2 2 OD 设平面的法向量为 则 OCD zyxn 即 2 20 2 22 20 22 yz xyz 0 0 ODnOPn 取2z 解得 2 4 0 n 0 2 4 01 4 2 4 2 1 nMN 平面 MNOCD 图 2 1 3 图 2 1 4 10 2 22 2 利用向量证明线面垂直问题利用向量证明线面垂直问题 如图 2 2 1 设直线 的方向向量为 平面的法向量为 la n 那么 或欲证直线 lan 和平面垂直 只须求出平面AB 的法向量 然后定是否等于 nAB 它们是否共线 如果共线的话 n 则可说明平面 AB 例例 7 7 如图 2 2 2 正三棱柱 的所有棱ABC 111 CBA 长都为 2 D为中点 1 CC 求证 面 1 ABBDA1 证明证明 取BC中点O 连结AO ABC 为正三角形 AOBC 取 11 BC 中点 1 O 以O为原点 OB 1 OO OA 的 方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系 则 10 0 B 110 D 1 0 2 3 A 0 03 A 1 12 0 B 1 1 2 3AB 1 2 1 0 1 2 3BDBA 0022 1 BDAB0341 11 BAAB 1 ABBD 11 ABBA 1 AB 平面 1 ABD x z A B C D 1 A 1 C 1 B O F y 图 2 2 1 图 2 2 2 o1 11 2 32 3 线面角的计算线面角的计算 直线与平面所成的角求法很多 下面主要讲两部分 a 1 求直线与平面所成的角 已知平面 直线 与平面相交 设平面的法向 l 量为 直线的方向向量为 平面所成的角为 则所求的角n v nv nv sin 2 平面的法向量是向量的一个重要内容 是求直线与平面所成角 求点 n 到平面距离的必备工具 由可知 要求得法向量 只需在平面上找出 n n 两个不共线向量 最后通过解方程组得到 a b 0 0 nb na n 12 例例 8 8 如图 2 3 4 在直三棱柱中 111 CBAABC 底面是等腰直角三角形 侧棱 90ACB 分别是与的中点 2 1 AADE 1 CCBA1 点在平面上的射影是的重心 EABDABD G 求 直线与平面所成角正弦值 BA1ABD 解解 题中显然所求的角为 但在中BGA1 BGA1 没有求解的条件 由题中条件 可轻易建立坐标系 如图 由直三棱柱只知 高度为 所以设底面直角边 从而算得立体中各点的坐标 2aCA 0 a 如 由得 得向量 1 2 2 aa E 3 1 3 3 aa G0 ADGE2 a 1 1 2 3 3 3 GE 由数量积得 1 1 1 BE 3 2 cos BEGE 与平面所成的角为 BA1ABD 3 2 arccos x y z A B C C1 A1 B1 G D E EE 图 图 2 3 1图 E 13 例例 9 9 如图如图 2 3 5 四棱锥S ABCD中 底面ABCD为平行四边形 侧面SBC 底面ABCD 已知 ABC 45 AB 2 BC 2 SA SB 23 求 直线SD与平面SAB所成角的大小 解解 作于 E 点 则AEBC cosAEBEABABE 又BC 2 45cos22 2 即 E 点是 BC 的中点 1 2 BEBC 又 SEASBE 90SEBSEA 即 SE 是 BC 的中垂线 以 E 为原点 分别以向量的正 EA EB ES 方向为 x 轴 y 轴 z 轴的非负半轴 建立 空间直角坐标系 如图 2 3 5 所示 容易求得 SE 1 于是 A 0 0 B 0 0 22 C 0 0 D 2 0 S 0 0 1 222 E 0 0 0 设平面 SAB 的法向量 nx y z 2 0 1SA 0 2 1SB 令 得 又 2 0 2 0 n SAx z n SBy z 2z 1 1 2n 2 2 2 1SD 设直线SD与平面SAB所成的角为 则 2 222 sin 11114 SD n SDn 22 arcsin 11 z y x S E D C B A 图 2 3 5 14 2 42 4 线面距的计算线面距的计算 关于线面距的问题也是数学中的一个难点 如果用向量的数量积来处理 这类问题 则思路简单 解法固定 点面距与线面距总是可以 互转化的 首先求斜线AB 平面 的法向量 设线面角 n 为 则 sincos AB n 然后 AB n ABn 如图 2 4 1 求直线 到平面的距离 也就是求点到平面的距离 BC dB 即 sindAB 0 90 例例 1010 如图 2 4 2 在四面体ABCD中 O E分别是BD BC的中点 2 2 CACBCDBDABAD ADAB 求 点E到平面ACD的距离 解解 连结OC ADABDOBO BDAO BODO BCCD COBD 在AOC 中 由已知可得1 3 AOCO 而2AC 222 ACCOAO 即 AOOC 从而 90 AOC 以O为原点 如图建立空间直角坐标系 则 1 0 0 1 0 0 BD 1 3 0 1 0 1 0 2 3 2 1 1 0 0 0 3 0 ACADEAC A C D O B E y z x 图 2 4 1 图 2 4 2 15 设平面ACD的法向量为 nx y z 则 01 3 0 01 0 1 zyxACn zyxADn 0 30 xz yz 令1 y 得是平面ACD的一个法向量 3 1 3 n 又 点E到平面ACD的距离 321 77 EC n h n 0 2 3 2 1 EC 3 3 面面问题的解法面面问题的解法 3 13 1 利用向量证明面面平行问题利用向量证明面面平行问题 如图 3 1 1 平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行 即 要 证平面平面 求出两平面的法向量若 则 或者把向 nm nm 量在平面平行定理中应用可以解决的 比如 若果两平面都垂直于同一直线 那么两平面平行 例例 1111 在平行六面体 中 DCBAABCD 图 3 1 1 16 F E M z y A DC B A1 1 B1 1 C1 1 D1 1 x N 1 求证 平面与平面平行 D ABDBC 证明证明 如图 3 1 2 设 ABa bAD AAc ABac ABAD acbc cbcaba 又 BDba DCac 所以 BDDCbaac a ba cb c ABAD 这说明平面垂直于同一直线 所以平面 平面平行 DAB DBC 例例 1212 如图 3 1 3 在正方体 中 M N 分别是棱ABCD 1111 DCBA 的中点 E F分别是棱 的中点 11B A 11D A 11C B 11D C 求证 平面 AMN 平面 BDFE 证明证明 以 D 为原点 DC DA 所在的直线分别 1 DD 为 x y z 轴 建立如图 3 1 3 所示空间直角坐标系 设正方体棱长为 1 则 A 1 0 0 1 1 M 2 1 N 0 1 E 1 1 F 0 1 2 1 2 1 2 1 11 0 1 1 0 22 EFDB EFDB2 且 即 E F B D 四点共面 0 EFDFDB 1111 0 1 0 0 1 2222 DFMNMA 图 3 1 2 17 设是平面 BDFE 的一个法向量 则 nx y z 可取 zy zx EFn DFn 2 2 0 0 2 2 1n 是平面BDFE的一个法向量 易验证 即0 MAnMNnMAnMNn 也是平面 AMN 的一个法向量 平面AMN 平面BDFE 2 2 1n 3 23 2 利用向量证明面面垂直利用向量证明面面垂直 如图 3 2 1 要证平面平面 求出两平面法向量 若 即 12 n n 12 0n n 12 nn 则平面平面 例例 1313 如图 3 2 2 在正方体 1111 ABCDABC D 中 E F 分别是上的点 1 BB CD 求明 11 ADEAFD 图 3 1 3 图 3 2 1 18 证明证明 建立空间直角坐标 系 则并设 123 e e eo 则 1213 DAe DCe DDe 如 1 11 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 22 AAEF 11 0 0 1 1 1 0 1 1 1 DBB 11 1 0 0 1 0 0DAD A 1 1 1 2 DE 1 1 0 1 2 D F 又设平面 的法向量分别为AED 11 AFD 1 100 1 11 2 ijk nDADE 1 2 jk 1 0 1 2 2111 100 1 01 2 ijk nD AD F 11 0 1 22 jk 12 11 00 22 nn 即 平面平面 12 nn AED 11 AFD 3 33 3 面面角的计算面面角的计算 求二面角的平面角 已知二面角 设平面的法向量分别为 l 12 n n 图 3 2 2 19 为二面角的平面角 则 21 21 cos nn nn 例例 1414 如图 3 3 4 在四棱锥中 底面是正方形 侧面ABCDV ABCD 是正三角形平面底面 VADVAD ABC 求 面与面所成的二面角的大VADVDB 小 解解 如图 以A为原点建立空间直 角坐标系 设正方形的边长为 1 则 0 0 0 A 0 0 1 B 0 1 1 C 0 1 0 D 2 3 2 1 0 V 2 3 2 1 0VD 1 1 0BD 0 1 0BC 容易可知 平面 13 1 22 VB 的法向量平面的法VAD 1 1 0 0n VBD 向量 2 1nx y 0 2 V