研究群的子群的乘积的阶.doc

10 近世代数课程论文研究群的子群的乘积的阶姓名： 郭 庆 学号： P111713313 班级： 2011级 数学与应用数学 学院： 数学与计算机科学学院 西北民族大学 数学与计算机科学学院研究群的子群的乘积的阶P111713313 郭庆 数学与应用数学内容摘要：通过对群的子群的乘积的探究，明白子群的乘积的阶和子群的阶的关系。近世代数以具有代数运算“乘法”的集合作为主要的研究对象，研究的主要是抽象代数系统的性质与结构。而群论是近世代数的一个重要的分支，因此群论中的许多思想方法有着重要的意义，在很多领域中有着广泛的应用，可以帮助我们解决一些复杂的问题，更好的理解群的概念，以及群的阶的概念。我们知道，群的子群的乘积需满足一定条件时，才可确定它是子群。那么子群的阶的乘积和子群的乘积的阶又满足怎样的关系？这次我们将探讨。当然，除非特殊说明，本文“乘法”还是指的群中满足的代数运算。关键字：群、子群、子群的乘积、子群的阶陪集和指数是两个重要概念，他们通过拉格朗日定理相联系，具有十分微妙的关系。首先，我们看群的阶是如何定义的:如果一个有限群G中所包含的元素个数为n，则称n为群G的阶，并记为|G|=n。无限群的阶称为无限，被认为是大于任意的正整数。其实群的阶就是指群中元素的个数，利用是否属于同一左陪集可将群中元素分成若干甚至无限类，且每一类中元素个数相同。下面我们来看。定义：设H是群G的一个子集，aG。则称群G的子集aH=ax|xH为群G关于子群H的一个左陪集。而称Ha=xa|xH为群G关于子群H的一个右陪集。显然，当G为交换群时，左陪集和右陪集相等。这是一个特殊情况。 须注意，这里说的是左陪集，也就是子集而非子群，须满足一定条件才可将子集改为子群。这在下面还将作进一步讨论。很显然，左陪集满足如下性质。1. aaH证明：H是子群，eH，故a=aeaH 2. aH aH=H证明：设aH=H。则由1知，aaH，所以aH。设aH，任取axaH，因为H为子群，所以axH，即aHH。同样，任取xH，又aH，则x=ex=a()aH，即HaH。3. baH aH=bH证明：设aH=bH，由1得bbH，所以baH。设baH，令b=ax（xH）。xH，由2得xH=H，则axH=aH，即bH=aH。4. aH =bH,即a与b同在一个左陪集中 b（或）。证明：设aH=bH，则aH=bH，即H=bH，则由2得bH。同理，可得aH。设b，则由2得H=b，即aH=b，即aH=bH.5. 3与4结合则可得，baH aH=bH b（或）即传递性。6. 若aHbH，则aH=bH。证明：设caH，且cbH，则由3得cH=bH=aH。这样就得到G关于H的任二左陪集要么相等，要么交集为空。从而G按照左陪集可分解为G=aHbHcH当然，对于右陪集也有相应性质。这里不作赘述。G的左陪集和右陪集满足怎样关系呢？我们看：H是G的一个子群，令L=aH|aG，R=Ha|aG。则L和R之间存在一个双射，从而左、右陪集的个数都无限或个数相等。证明：L和R之间建立映射：aH。如果aH=bH，则由4得bH，即H，从而H=H。同理，由Ha=Hb可得H=H。为双向单射，这样就得为一个双射。即左陪集与右陪集一一对应，个数相等。所以由G=aHbHcH可立即得到G=HHH指数指数是指一个群G关于它的一个子群H互异的左（或右）陪集个数，称为H在G中的指数，记作（G：H）。下面我们来看一个非常重要的定理，即拉格朗日定理。H是有限群G的一个子群，则|H|（G：H），即（：）从而任何子群的阶和指数都是群的阶的因数。证明：令（：），且（）是关于的左陪集分解。由于易知：（）是左陪集到的一个双射，从而。于是有。因此由（）知，即（：）。由此定理可得一个推论，我们把它称为推论：有限群中每个元素的阶都整除群的阶。这里要补充一下元素的阶的概念：设为群的一个元素，使的最小正整数叫做元素的阶。现在来证推论。证明：设是有限群的一个阶元素，则H=e，a，是G的一个n阶子群，故由拉格朗日定理知，。得证。接着，我们可得到，如果为素数，则由可得，=n，当然，这里n也一定是素数。则可知：素数阶群必为循环群。如果，G为有限群，由拉格朗日定理可得（：）和（：），所以=（：）（：），所以即（：）（：）=（：K） ，这样就得到了指数间的关系。这有点类似a=b（a：b）,b=c(b:c)，则a=c（b:c）(a:b).其中a：b为a与b的比值。其实，这就是数字间简单的运算。这样，我们就得到有限群G中元素被分成了若干等份，且每一份都是他的一个陪集。即每一份的元素数相等。接下来，我们看子群的乘积的阶和子群的阶的关系，这是本文的核心定理，我们把它叫做定理1。设H、K是群G的两个有限子群，则|HK|=证明：首先，易知HKH，由拉格朗日定理，可设=m，再由以上讨论可得H=（1），任取aHK，则aK，再任取bK，因为K为子群，则abK，所以（HK）K=K。所以有HK=，设，ij，则由1得，再由左陪集要么相等，要么无交集，所以与（1）式矛盾。所以，所以 ij时，即，为G关于K的左陪集，要么相等，要么无交集，所以|HK|=m|K|，将=m代入得|HK|=|K|即|HK|= （得证）须说明，这里HK仍不一定是子群。而当HK为单位元时，有|HK|=|H|K|由定理1可得到一个推论，推论设p、q是两个素数且pq，则pq阶群G最多有一个q阶子群。证明：设H、K都是G的q阶子群，则由定理1得，|HK|=但|HK|整除q，而q是素数，故|HK|=1或q若|HK|=1，则|HK|=，由qp可得|HK|G|，矛盾。所以，|HK|=q，所以H=K。由此我们可得到：6阶群最多有一个3阶子群（实际是有且只有一个3阶子群），10与15阶群都最多有一个5阶子群（实际上也是有且仅有一个5阶子群），等等。由定理1我们可以推广到三个子群甚至n个子群的情况。下面我们看：推广一设H、K、L是群G的三个有限子群，则|HKL|=证明：首先由上面的定理可得，|HKL|=，因为|HKL|=|HL|KL|,所以|HKL|= 得证。推广二设H、I、K、L是群G的四个有限子群，则|HIKL|=证明：由定理一可得|HIKL|=如此我们可以推广到n阶的情形，我们看：设是群的个有限子群，则证明：用数学归纳法，由定理一得，时定理成立，即将定理一中、K改为即可。假设当n=k时成立，即=，则当n=k+1时，=得到了这么多定理，我们会发现，通过陪集给群分类是非常重要的方法。我自己也总结了一个定理，虽然有点太寒酸，但我自己认为还是蛮有用的。定理（1）在G=aHbHcH中，如果aH，则aHH=。证明：很显然，如果dH，则dH=H，如果aHH，则dHaH，于是dH=aH，又aaH，所以abH=H,与假设矛盾。所以aHH=。 得证。另外，HKH，这也是一个值得探讨的问题，我们看：首先HK肯定是H的子集。现在我们只需证明HK作成群即可。任取a，bH，且a，bK，那么abH，且abK。即abHK。即HK中存在代数运算。而H、K为子群，这个代数运算在H、K中满足结合律在HK中一定也满足。而单位元一定也是原群的单位元。且每个元素都有逆元，这是显然的。所以HK作成群。这也就回答了定理一中的易知。当然本文中需要深究的东西还很多，在此限于篇幅和水平只能到此为止了。只要我们不断努力，知识是无止境的。群论是近世代数中的一个重要的分支，也是一个难点。我们一定要掌握好，群论的进步也关系到数学的发展，数学上小小的进步将带来其他学科的突破性进展。时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学