高考数学一轮复习 45.1不等式和绝对值不等式精品课件 新人教版.ppt

共42页 1 选修4 5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式 共42页 2 回归课本 共42页 3 1 基本不等式定理1 如果a b r 那么a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 定理2 基本不等式 如果a b 0 那么当且仅当a b时 等号成立 即两个正数的算术平均不小于 即大于或等于 它们的几何平均 共42页 4 定理3 如果a b c大于0 那么当且仅当a b c时 等号成立 即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 推广 对于n个正数a1 a2 an 它们的算术平均不小于它们的几何平均 即当且仅当a1 a2 an时 等号成立 共42页 5 2 绝对值三角不等式定理1 如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 定理2 如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 共42页 6 3 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a的解集 共42页 7 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c ax b c ax b c ax b c或ax b c 共42页 8 考点陪练 共42页 9 1 2010 江西 不等式的解集是 a 0 2 b 0 c 2 d 0 0 共42页 10 解析 由绝对值的意义知 原不等式同解于 即x x 2 0 0 x 2 故选a 答案 a 共42页 11 2 2010 天津 设集合a x x a 2 x r 若ab 则实数a b必满足 a a b 3b a b 3c a b 3d a b 3解析 由 x a 2得xb 2 ab a 1 b 2或a 1 b 2 即a b 3或a b 3 a b 3 选d 答案 d 共42页 12 3 设ab 0 下面四个不等式中 正确的是 a b a a b a b a b c d 解析 ab 0 即a b同号 则 a b a b 和 正确 答案 c 共42页 13 4 不等式1 x 1 3的解集为 a 0 2 b 2 0 2 4 c 4 0 d 4 2 0 2 解析 由1 x 1 3 得1 x 1 3或 3 x 1 1 0 x 2或 4 x 2 不等式的解集为 4 2 0 2 答案 d 共42页 14 5 若关于x的不等式 x 2 x a a在r上恒成立 则a的最大值是 a 0b 1c 1d 2解析 由于 x 2 x a a 2 等价于 a 2 a 即a 1 故实数a的最大值为1 答案 c 共42页 15 类型一形如 x ai 的最小值问题 共42页 16 解题准备 当x取何值时有最小值问题可以利用以下三种解法 1 去掉绝对值号 转化为分段函数求最值 2 利用 x ai x ak 的几何意义 3 利用绝对值不等式 x a b x a b 其中取等号的条件是 x a 与 b x 不异号 共42页 17 典例1 2009 上海 某地街道呈现东 西 南 北向的风格状 相邻街距都为1 两街道相交的点称为格点 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系 现有下述格点 2 2 3 1 3 4 2 3 4 5 6 6 为报刊零售点 请确定一个格点 除零售点外 为发行站 使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短 共42页 18 解析 设格点为 x y 则格点到各零售点的距离之和为d x 2 x 3 x 3 x 2 x 4 x 6 y 1 y 2 y 4 y 3 y 5 y 6 设d1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 d2 x 2 x 3 x 3 x 2 x 4 x 6 y 1 y 6 5 当且仅当1 y 6时等号成立 y 2 y 5 3 当且仅当2 y 5时等号成立 y 3 y 4 1 当且仅当3 y 4时等号成立 共42页 19 故当y 3或y 4时等号成立 此时d1有最小值 同理可证当x 3时 d2有最小值 由题意得 x y 只能取 3 3 答案 3 3 共42页 20 反思感悟 对于 数列 ai 单调 的最小值问题 有两种情况 若n 2k 1 k z 则x ak 1时 f x 取最小值 若n 2k k z 则ak x ak 1时 f x 取最小值 共42页 21 类型二含绝对值不等式的解法解题准备 解含绝对值的不等式的基本方法是依据绝对值的定义与性质 通过变换转化成不含绝对值的不等式 转化的途径有三种 一是依据实数绝对值的定义 共42页 22 典例2 解下列不等式 1 17 x 3 x 1 x 2 5 共42页 23 分析 1 利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式 2 利用公式法转化为不含绝对值的不等式 3 不等式的左边含有两个绝对值符号 要同时去掉这两个绝对值符号 可以采用 零点分段法 此题亦可利用绝对值的几何意义去解 共42页 24 共42页 25 共42页 26 共42页 27 2 由不等式 2x 5 7 x 可得2x 5 7 x或2x 52或x2 共42页 28 3 解法一 分别求 x 1 x 2 的零点 即1 2 由 2 1把数轴分成三部分 x1 当x 2时 原不等式为1 x 2 x 5 解得 3 x 2 当 2 x 1时 原不等式为1 x 2 x 5 因为3 5恒成立 则 2 x 1 共42页 29 当x 1时 原不等式为x 1 2 x 5 解得1 x 2 综上 原不等式的解集为 x 3 x 2 共42页 30 解法二 不等式 x 1 x 2 5的几何意义为数轴上到 2 1两个点的距离之和小于5的点组成的集合 而 2 1两端点之间的距离为3 由于分布在 2 1以外的点到 2 1的距离在 2 1外部的距离要计算两次 而在 2 1内部的距离则只计算一次 因此只要找出 2左边到 2的距离等于 共42页 31 反思感悟 1 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号 其方法主要有 利用绝对值的意义 利用公式 平方 分区间讨论等 2 利用平方法去绝对值符号时 应注意不等式两边非负才可进行 3 零点分段法解绝对值不等式的步骤 求零点 划区间 去绝对值号 分别解去掉绝对值的不等式 取每个结果的并集 注意在分段时不要遗漏区间的端点值 共42页 32 类型三含绝对值不等式的证明解题准备 含绝对值不等式的证明主要分两类 一类是比较简单的不等式可以通过平方法或换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式的证明 另一类是利用绝对值三角不等式 a b a b a b 通过适当的添加 拆项证明或利用放缩法结合法分析证明 共42页 33 典例3 若f x x2 x c c为常数 x a 1 求证 f x f a 2 1 a 证明 f x f a x2 x c a2 a c x2 x a2 a x a x a 1 x a x a 1 x a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 x a 2 a 1 1 2 a 1 2 1 a 共42页 34 反思感悟 使用绝对值不等式的性质证明不等式时 常与放缩法结合在一起应用 利用放缩法时要目标明确 通过添 拆项后 适当放缩 共42页 35 错源去绝对值不当致误 典例 解不等式 2x 1 x 4 2 剖析 本题可以按照 4把实数集分割成三个部分 去掉绝对值后转化为三个不等式组的解处理 可能出现的错误就在这个去绝对值上 一个是分区时漏掉了端点值 4 另一个是在各个部分内判断绝对值内式子的符号 如当 x 4时认为2x 1 0等 共42页 36 共42页 37 共42页 38 评析 解一般的带有绝对值的不等式的基本方法就是把不等式去绝对值后转化为几个不等式组的解 去绝对值的方法一般是采取零点分区法 即让几个绝对值内的式子都等于0 解得的x值称为零点 这些值把整个实数集分成几个部分 在每一个部分内 绝对值内的式子的符号完全可以确定 这样就去掉了绝对值 值得注意的是分区时要做到不重不漏 共42页 39 技法利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如 x a x b c或 x a x