高考数学一轮复习 2命题及其关系 充分条件与必要条件精品课件 新人教版.ppt

第二讲命题及其关系 充分条件与必要条件 回归课本 1 命题 1 一般地 我们把用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的陈述句叫命题 其中判断为真的语句叫真命题 判断为假的语句叫假命题 2 若p则q 是数学中常见的命题形式 其中p叫做命题的条件 q叫做命题的结论 3 若原命题为 若p则q 则它的逆命题为若q则p 它的否命题为若 p则 q 它的逆否命题为若 q则 p 4 互为逆否的命题是等价的 它们同真同假 在同一个命题的四种命题中 真命题的个数可能为0 2 4个 5 否命题与命题的否定的区别 首先 只有 若p则q 形式的命题才有否命题 其形式为 若p则q 其他形式的命题只有 否定 而没有否命题 其次 命题的否定与原命题一真一假 而 若p则q 形式的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反 2 充要条件 1 若p则q 为真命题是指由p通过推理可以得出q 这时我们就说由p可以推出q 记作pq 并说p是q的充分条件 q是p的必要条件 2 若既有pq又由qp 则p是q的充分必要条件 记作pq 3 从集合的角度认识充分条件 必要条件 设a b为两个集合 a x p x b x q x 则 若a b 则p是q的充分条件 q是p的必要条件 若b a 则p是q的必要条件 若a b 则p是q的充要条件 3 反证法证明命题的一般步骤 1 否定结论 2 从假设出发 经过推理论证得出矛盾 3 断定假设错误 肯定结论成立 反证法属于间接证法 当证明一个结论成立 已知条件较少 或结论的情况较多 或结论是以否定形式出现 如某些结论中含有 至多 至少 惟一 不可能 不都 等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立 考点陪练 答案 b 2 m 2 是 方程x2 mx m 3 0的两根都大于1 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 不充分不必要条件 2 m 2时 取m 3 此时方程为x2 3x 6 0无实根 即m 2不能推出x1 1且x2 1 由 1 2 知m 2是方程的两根都大于1的必要不充分条件 答案 b 3 2010 陕西 对于数列 an an 1 an n 1 2 是 an 为递增数列 的 a 必要不充分条件b 充分不必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 因为an 1 an an 1 an an 为递增数列 但 an 为递增数列 an 1 an推不出an 1 an 故 an 1 an n 1 2 是 an 为递增数列 的充分不必要条件 选b 答案 b 4 2010 山东 设 an 是等比数列 则 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 由题可知 若a10时 解得q 1 此时数列 an 是递增数列 当a1 0时 解得0 q 1 此时数列 an 是递增数列 反之 若数列 an 是递增数列 则a1 a2 a3成立 所以 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的充分必要条件 故选c 答案 c 5 2010 深圳模拟题 若命题p的逆命题是q 命题p的否命题是r 则q是r的 a 逆命题b 否命题c 逆否命题d 以上结论都不对解析 设p为a b 则q为b a r为 a b q是r的逆否命题 答案 c 类型一判断命题及其真假解题准备 1 判断一个语句是否是命题的依据是命题的概念 2 判断命题的真假 首先分清命题的条件和结论 直接判断 如果不易直接判断 可根据互为逆否命题的等价关系来判断 典例1 反例法 有下列四个命题 1 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 2 若a b 则a2 b2 的逆否命题 3 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 4 若ab是无理数 则a b是无理数 的逆命题 其中真命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 解 1 逆命题为 若x y互为相反数 则x y 0 是真命题 2 原命题为假 其逆否命题为假 3 否命题为 若x 3 则x2 x 6 0 假如x 4 3 但x2 x 6 14 0 故为假 4 逆命题 若a b是无理数 则ab也是无理数 假如则ab 2是有理数 故为假 答案 b 反思感悟 判断一个命题为假命题 只需举出一个反例 无需证明 类型二四种命题及其关系解题准备 互为逆否关系的命题是等价命题 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 所以 当判断一个命题的真假有困难时 可以判断它的逆否命题的真假 原命题 逆命题 否命题 逆否命题这四个命题中真命题的个数可能是0个 2个 4个 典例2 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 命题的否定 并判断它们的真假 1 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 2 若xy 0 则x 0或y 0 3 若x2 y2 0 则x y全为0 解 1 原命题是真命题 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 为真命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 为真命题 逆否命题 若方程x2 2x q 0无实根 则q 1 为真命题 命题的否定 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 为假命题 2 原命题为真命题 逆命题 若x 0或y 0 则xy 0 是真命题 否命题 若xy 0 则x 0且y 0 是真命题 逆否命题 若x 0且y 0 则xy 0 是真命题 命题的否定 若xy 0 则x 0且y 0 是假命题 3 原命题为真命题 逆命题 若x y全为0 则x2 y2 0 为真命题 否命题 若x2 y2 0 则x y不全为0 为真命题 逆否命题 若x y不全为0 则x2 y2 0 为真命题 命题的否定 若x2 y2 0 则x y不全为0 是假命题 反思感悟 1 注意 都是 的否定是 不都是 而不是 都不是 因为 x y不都是奇数 包含 x是奇数y不是奇数 x不是奇数y是奇数 x y都不是奇数 三种情况 x 0或y 0 的否定是 x 0且y 0 而不是 x 0或y 0 因为 x 0或y 0 包含 x 0且y 0 x 0且y 0 x 0且y 0 三种情况 2 要注意区别 否命题 与 命题的否定 否命题要对命题的条件和结论都否定 而命题的否定仅对命题的结论否定 类型三充分必要条件的判定与证明解题准备 判断一个命题是另一个命题的什么条件 关键是利用定义 如果p q 则p叫做q的充分条件 原命题 或逆否命题 成立 命题中的条件是充分的 也可称q是p的必要条件 如果q p 则p叫做q的必要条件 逆命题 或否命题 成立 命题中的条件为必要的 也可称q是p的充分条件 如果既有p q 又有q p 记作p q 则p叫做q的充分必要条件 简称充要条件 原命题和逆命题 或逆否命题和否命题 都成立 命题中的条件是充要的 典例3 求证方程ax2 2x 1 0有且只有一个负实数根的充要条件是a 0或a 1 思路点拨 首先应从充分性和必要性两个方面进行证明 其次要注意对参数a的分类讨论 证明 充分性 当a 0时 方程变为2x 1 0 其根为x 方程只有一负根 当a 1时 方程为x2 2x 1 0 其根为x 1 方程只有一负根 当a0 方程有两个不相等的根 且 方程有一正一负根 必要性 若方程ax2 2x 1 0有且仅有一负根 当a 0时 适合条件 当a 0时 方程ax2 2x 1 0有实根 则 4 4a 0 a 1 当a 1时 方程有一负根x 1 若方程有且仅有一负根 综上方程ax2 2x 1 0有且仅有一负实数根的充要条件为a 0或a 1 反思感悟 1 这类证明问题需要证明充分性和必要性两个方面 因此应分清条件和结论 由条件证明结论成立是充分性 由结论证明条件成立是必要性 不能将二者混淆 2 涉及一元二次方程根的问题 主要利用根的判别式进行求解 同时不能忘记对x2项系数的分类讨论 探究 是否存在实数p 使 4x p0 的充分条件 如果存在 求出p的取值范围 分析 4x p0 是结论 先解出这两个不等式 再探求符合条件的p的范围 反思感悟 本题用集合的包含关系去理解更容易解答 注意结合数轴确定p的范围 错源一判断充分必要条件时不注意设问方式 典例1 使不等式2x2 5x 3 0成立的一个充分不必要条件是 a x 0b x2c x 1 3 5 d x 或x 3 错解 由2x2 5x 3 0得x 3或x 当x 3或x 时能推出b选项 但当b选项成立时 不一定能推出x 3或x 所以选b 剖析 本题错误在于没有弄清楚问题的设问方式 混淆了条件和结论而导致的 正确的理解是所选选项是2x2 5x 3 0成立的充分不必要条件 正解 依题意所选选项能使不等式2x2 5x 3 0成立 但当不等式2x2 5x 3 0成立时 却不一定能推出所选选项 由于不等式2x2 5x 3 0的解为 x 3或x 所以应选c 答案 c 错源二四种命题的结构不明致误 典例2 写出命题 若a b都是偶数 则a b是偶数 的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 剖析 解本题易出现的错误有两个 一是对一个命题的逆命题 否命题 逆否命题的结构认识模糊出错 二是在否定一个结论时出错 如对 a b都是偶数 的否定应该是 a b不都是偶数 而不应该是 a b都是奇数 正解 逆命题 若a b是偶数 则a b都是偶数 它是假命题 否命题 若a b不都是偶数 则a b不是偶数 它是假命题 逆否命题 若a b不是偶数 则a b不都是偶数 它是真命题 评析 四种命题的结构与等价关系如果原命题是 若a 则b 则这个命题的逆命题是 若b 则a 否命题是 若 a 则 b 逆否命题是 若 b 则 a 这里面有两组等价的命题 即 原命题和它的逆否命题等价 否命题与逆命题等价 在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时 一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系 技法一等价命题转化法 典例1 若p x y 3 q x 1或y 2 则p是q的什么条件 解 直接判断原命题 若p 则q 的真假比较难 但它的逆否命题即 若x 1且y 2 则x y 3 显然为真 故原命题也为真 即p q 逆命题的真假较难判断 但它的等价命题否命题 若x y 3 则x 1且y 2 显然为假 故逆命题也为假 即q p 所以p是q的充分不必要条件 方法与技巧 当所给命题的充要条件不好判定时 可利用四种命题的关系 对命题进行等价转换 常利用 原命题 逆否命题 否命题 逆命题 一些否定形式的命题常用这种方法判定 技法二快速解题 列表法 典例2 有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛 组委会只设一名特别奖 赛前观众a猜 不是1号就是2号能获特别奖 b猜 3号不可能获特别获 c猜 4 5 6号都不可能获特别奖 d猜 能获特别奖的是4 5 6号中的一个 赛后结果表明 四人中只有一人猜对了 问 谁猜对了 几号歌手获特别奖 快解 将所猜能获奖的记为 不能获奖记为 由题意得下表 从表中可以看出 所猜3号的结果只有一人猜对 是c猜对的 3号歌手得了特别奖 解题切入点 可由c d所猜入手 这两人所猜是对立的 但d与b不能都对 因此 可以c猜对为前提进行推证 分析思维过程 可以明显看出c d所猜是对立的 若c猜对了 则b d都没猜对 再看a a猜1号或2号 因为只有一个猜对 就不可能是1号或2号 只能是3号 如果是3号获特别奖 那么a b d都没有猜对 只有c猜对了 解 将a b c d四人猜的结果分别记为命题pa pb pc p