高考数学一轮复习 29等比数列精品课件 新人教版.ppt

第二十九讲等比数列 回归课本 1 等比数列的定义及等比中项 1 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 通常用字母q表示 2 对于正整数m n p q 若m n p q 则等比数列中am an ap aq的关系为am an ap aq 如果a g b成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 且g ab 0 2 等比数列的通项公式及前n项和公式等比数列的通项公式为an a1 qn 1 a1 0 q 0 其前n项和公式为 3 与等比数列有关的结论 1 在等比数列中 每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列 构成的新数列仍然是等比数列 2 若 an 是等比数列 则 an an 皆为等比数列 公比分别为q和 q 为非零常数 3 一个等比数列各项的k次幂 仍组成一个等比数列 新公比是原公比的k次幂 4 等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列 5 若数列 an 与 bn 均为等比数列 则 m an bn 与仍为等比数列 其中m是不为零的常数 6 当q 0 q 1时 sn k k qn k 0 是 an 成等比数列的充要条件 这时 4 等比数列的判定方法 1 定义法 q是不为0的常数 n n an 是等比数列 2 通项公式法 an cqn c q均是不为0的常数 n n an 是等比数列 3 中项公式法 a2n 1 an an 2 an an 1 an 2 0 n n an 是等比数列 4 前n项和公式法 sn qn kqn k k 是常数 且q 0 q 1 an 是等比数列 考点陪练 1 已知数列的前n项和为sn an 2 a是不为0的实数 那么数列 an a 是等比数列b 当a 1时是等比数列c 从第二项起成等比数列d 从第二项起成等比数列或成等差数列 解析 由数列中an与sn的关系 当n 1时 a1 s1 a 2 当n 2时 an sn sn 1 a 1 an 1 经验证n 1时 通项公式不符合 故当a 1时 从第二项起成等比数列 当a 1时 an 0 n 2 数列从第二项起成等差数列 答案 d 2 已知等比数列 an 满足a1 a2 3 a2 a3 6 则a7 a 64b 81c 128d 243解析 an 是等比数列 又 a1 a1q 3 a1 1 a7 a1q6 1 26 64 答案 a 答案 c 4 2010 辽宁 设sn为等比数列 an 的前n项和 已知3s3 a4 2 3s2 a3 2 则公比q a 3b 4c 5d 6 答案 b 5 2010 重庆 在等比数列 an 中 a2010 8a2007 则公比q的值为 a 2b 3c 4d 8解析 依题意得 q3 8 q 2 选a 答案 a 类型一等比数列的判断与证明解题准备 证明一个数列是等比数列的主要方法有两种 一是利用等比数列的定义 即证明 q q 0 n n 二是利用等比中项法 即证明a2n 1 anan 2 0 n n 在解题中 要注意根据欲证明的问题 对给出的条件式进行合理地变形整理 构造出符合等比数列定义式的形式 从而证明结论 典例1 数列 an 的前n项和记为sn 已知a1 1 an 1 sn n 1 2 3 求证 1 数列 是等比数列 2 sn 1 4an 反思感悟 1 等比数列从第2项起 每一项 有穷等比数列的末项除外 是它的前一项与后一项的等比中项 反之也正确 2 只有同号的两个数才有等比中项 且这两数的等比中项互为相反数 类型二等比数列的基本量运算解题准备 在等比数列的通项公式和前n项和公式中 共有a1 an q n sn五个量 知道其中任意三个量 都可以求出其余两个量 解题时 将已知条件转化为基本量间的关系 然后利用方程组的思想求解 典例2 设数列 an 为等比数列 且a1 0 它的前n项和为80 且其中数值最大的项为54 前2n项的和为6560 求此数列的通项公式 将qn 81代入 得 a1 q 1 又 a1 0 q 1 数列 an 是递增数列 从而 a1qn 1 54 a1qn 54q 81a1 54q 联立 解得q 3 a1 2 an a1qn 1 2 3n 1 反思感悟 因为前n项和与前2n项和已知 这为建立方程提供了条件 由此可求得首项a1与公比q之间的关系 进而确定an 求解本题时 有两个易错点 一是不判断q 1而直接利用公式sn 二是不借助a1 0导出q 1 进而判断数列 an 的单调性得出最大项为an 而是想当然地认为an为最大项 类型三等比数列性质的应用解题准备 1 等比数列的单调性 1 若a1 0 q 1或a10 01 则数列 an 是递减数列 3 若q 1 则数列 an 是常数列 4 若q 0 则数列 an 是摆动数列且各项的正负号间隔 2 等比数列的简单性质已知等比数列 an 的前n项和为sn 1 数列 c an c 0 an an bn bn 也是等比数列 a2n 等也是等比数列 2 数列am am k am 2k am 3k 仍是等比数列 3 若m n p q 则am an ap aq 特别地 若m n 2p 则am an a2p 4 a1an a2an 1 aman m 1 5 数列sm s2m sm s3m s2m 仍是等比数列 此时 an 的公比q 1 6 当n是偶数时 s偶 s奇 q 当n是奇数时 s奇 a1 s偶 q 典例3 已知等比数列前n项的和为2 其后2n项的和为12 求再后面3n项的和 解 解法一 利用等比数列的性质 由已知a1 a2 an 2 an 1 an 2 a2n a2n 1 a2n 2 a3n 12 注意到 a1 a2 an an 1 an 2 a2n a2n 1 a2n 2 a3n a3n 1 a3n 2 a4n 也成等比数列 其公比为qn 于是 问题转化为已知 a1 2 a1qn a1q2n 12 要求a1q3n a1q4n a1q5n的值 由a1 2 a1qn a1q2n 12 得q2n qn 6 0 则qn 2 或qn 3 故a1q3n a1q4n a1q5n a1q3n 1 qn q2n 2 q3n 7 14 q3n 解法二 利用求和公式 如果公比q 1 则由于a1 a2 an 2 可知an 1 a3n 4 与已知不符 q 1 由求和公式 得 又 式 除以式 得qn 1 qn 6 q2n qn 6 解得qn 2 或qn 3 反思感悟 由已知条件 根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q及n的两个方程 应能解出a1和q关于n的表达式 这样可能较繁琐又不便于求出结果 若采用整体处理的思路 问题就会变得简单 也可采用等比数列的性质使问题简化 解法一利用等比数列的性质 解法二利用求和公式 但需先确定q 1 否则不可断定用q 1时的公式 类型四等比数列前n项和及其性质解题准备 1 等比数列的前n项和公式 2 等比数列的前n项和公式中涉及的基本量有a1 q an n sn 使用公式时 必须弄清公比q是可能等于1还是不等于1 如果q可能等于1 则需分q 1和q 1两种情况进行讨论 典例4 设正项等比数列 an 的首项a1 前n项和为sn 且210s30 210 1 s20 s10 0 1 求 an 的通项 2 求 nsn 的前n项和tn 分析 1 利用s2n sn s3n s2n 的关系化简210s30 210 1 s20 s10 0 2 利用错位相减法求和 解 1 由210s30 210 1 s20 s10 0得210 s30 s20 s20 s10 即210 a21 a22 a30 a11 a12 a20 可得210 q10 a11 a12 a20 a11 a12 a20 因为an 0 所以210q10 1 解得q 因而an a1qn 1 n n 错源一对公比q的范围 取值考虑不周全 典例1 已知三角形的三边构成公比为q的等比数列 则q的取值范围 错解 设三角形的三边分别为a aq aq2 且a 0 q 0 由三角形的两边之和大于第三边 得a aq aq2 即1 q q2 解得00 当q 1时数列是递增的 aq2是最大边 而当0 q 1时 数列是递减的 此时a是最大边 答案 d 错源二题意理解不透 忽视隐含条件 典例2 一个数列 an 当n为奇数时 an 5n 1 当n为偶数时 an 则这个数列的前2m项和为 错解 当n为奇数时 由an 1 an 5 n 1 1 5n 1 5 知 an 是以a1 6 d 5的等差数列 剖析 将原数列分成奇数项和偶数项两个数列来处理的思路是正确的 但分析是由a1 a3 a5 构成等差数列 由a2 a4 a6 构成等比数列 并不是相邻的两项 正解 当n为奇数时 由an 2 an 5 n 2 1 5n 1 10 知 an 是以a1 6 d 10的等差数列 当n为偶数时 由 2 知 an 是以a 1 2 q 2的等比数列 所以s2m 6m 5m2 m 2m 1 2 答案 5m2 m 2m 1 2 技法一巧用公式 典例1 设等比数列 an 的公比为q 前n项和为sn 若sn 1 sn sn