数列专题2 求数列的通项公式,方法,习题,答案.doc

数列专题2 求数列的通项公式一等差数列的性质：1当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. Sn/n=d/2 *n+a1-d/2,故数列Sn/n是等差数列。 an=An+B,SN=An2+Bn, 数列为等差数列2若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3当时,则有，特别地，当时，则有.二.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.如（1）在等比数列中，公比q是整数，则=_（答：512）；(2) 当时，这里，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则 （答：1）Sn=aqn-a数列为等比数列。三、数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：_（答：）已知（即）求，用作差法：。如：已知的前项和满足，求 （答：）；数列满足，求 （答：）已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则_ （答：）若求用累加法：。如已知数列满足，则=_（答：）已知求，用累乘法：。如已知数列中，前项和，若，求 （答：）注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。如数列满足，求 （答：）四、1、已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：形如,，an=kan-1+an(，a为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求. 转化为：an+x=K(an-1+x) 求出X=b/(k-1),k=1时无解，an为等差数列， d=b,可以直接写出。 已知，求（答：）；an=Kan-1+AbN 转化为：an+xbN=K(an-1+xbN-1) 求出X=A/(k/b-1),k=b时无解，an/bn为等差 数列，d=A,可以直接写出。 已知，求（答：） 转化为：an+An+B=K(an-1+A(n-1)+B) 求出A= a/(k-1),B=b/(k-1)+ka/(k-1)2， k=1 时无解，只能用累加法。 an=kan-1+a.n 转化为：an+A(n+1)+B=K(an-1+An+B) 同上,求出A ,B(必须设出B,它不为0）2、 形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.如已知，求（答：）；已知数列满足=1，求（答：）3、数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位相减；分裂通项法.例1：已知数列满足，求数列的通项公式。解：法一：等比数列法：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。法二：累加法：，两边同除以2n+1得到：an+1/2n+1 -an/2n =(3/2)an/2n -an-1/2n-1 =(3/2)(5/2)n-1 .。 a3/23 -a2/22 =(3/2)(5/2)2 a2/22 -a1/21 =(3/2)(5/2)1 以上式子想家得到：an/2n -a1/21 =(3/2)(5/2)1 + (3/2)(5/2)2 +.(3/2)(5/2)n-1=3/2(5/2)(5/2)n-1-1)/(5/2-1)整理后答案同上。例2. 已知数列的前n项和Sn满足()写出数列的前3项 ()求数列的通项公式解：当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化简得：上式可化为：故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故 数列的通项公式为：.例3已知数列中，.求数列【解析】依题有，即，可变形为，可知数列是以为首项，为公比的等比数列。从而5、 练习题：1、已知，求（答：）；2、已知，求（答：）；3、已知是递增数列，且对任意nN*，都有恒成立， 则实数的取值范围是A.0 B.-3解3、D 依题意，恒成立，.则2n+1+0-(2n+1)恒成立，-(2n+1)-3，故满足条件的的取值范围是-3.4. 设数列an的前项的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求证数列an为等比数列1. 解: ()由,得 又,即,得. ()当n1时,得所以是首项,公比为的等比数列5. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上（）求数列的通项公式；解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）.6.已知数列的前n项和Sn满足()写出数列的前3项 ()求数列的通项公式 解：当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化简得：上式可化为：故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故 数列的通项公式为：.7. 已知数列满足，求数列的通项公式。本题若用等比数列法：an+1+x2n=2(an+x2n-1) an+1+x2n=2(an+x2n-1)=2an+2x2n-1=2an+x2n,解不出x 解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。8. 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则所以数列的通项公式为9. 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则所以10. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得 ，则，故因此，则11. 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以，则，则所以数列的通项公式为：12、已知：，求数列的通项公式。解：因为所以所以式式得 则 则 所以 由